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麦迪逊Giacofci;索菲·兰贝特·拉克罗瓦;弗兰克·皮卡德

多样本异方差非参数回归的Minimax小波估计。 （英语） Zbl 1468.62270号

J.非参数统计。 30，第1期，238-261（2018）.
本文作者研究了基于函数混合效应模型的多样本噪声曲线的基线信号估计。在质谱分析中，信号是一种光谱，其峰值给出了有关生物样品蛋白质含量的信息。U.阿马托和萨帕蒂纳斯锥虫【高级申请状态5，第1号，21–50（2005；Zbl 1096.62028号)]提出了一种基于观测数据的经验小波系数估计基线的方法，但估计量的收敛性没有从理论上进行评估。本文假设函数固定效应为Besov类。作者提出了一种小波估计器，以达到接近最优的收敛速度，并优于Amato和Sapatinas提出的方法[loc.cit.]。
第二节开始建立一个函数模型，用于（N）曲线（Y_i（cdot））、（i=1，2，dots，N）和（M）均匀分布的时空点（t=[0，1]^M），其中（M=2^J）用于某个整数（J）。第（i）-个个体的观测信号（Y_i（t_j）=\mu（t_j）+E_i（t_j））是一个函数模型，其随机函数（E_i（\cdot））为（1 \leq-i\leq-N），其中（\mu）是表征总体平均分布的主要函数固定效应。表示\（{\mathbf Y}_i=（Y_i（t_1），\dots，Y_i，t_M））为时间网格上的观测矢量，类似地，表示\（}\mu}=（\mu（t_1。目的是从噪声观测中恢复主要功能效应。它的极小极大估计是Besov类（{mathcal F}）上最大风险的极小值，\[R（hat{\mu}^*{N，M}）=\min_{\hat{\ mu}_{N，M}}R（hat{\mu}_{N，M，{\mathcal F}）=\min_\hat{\ mu}_{N，M.}}\sup_{\mu\ in{\ mathcal F}E（\|hat{mu}{N，M2}-\mu\|）。\]面临的挑战是提出一个最优极小极大估计（hat{mu}^*{N，M}）及其相关风险（R（hat[mu}^*{N，M}）=R{N，M.}（{mathcal F}））。
定理2.1和2.2给出了具有多样本数据集（N>1）的非齐次Besov类中（R^2_{N，M}（{mathcal F}））的渐近上界和下界。下界由两项之和给出，一项是方差有噪的最小最大速率（当（N=1）），另一项（当（N>1）网格外没有信息时）是在Besov类中确定的参数的极限项（M^{-2s'}）。通过构造（mu）的小波估计量（hat{mu}_{N，M}）给出了上界。设\（\phi\）是紧支撑的标度函数，\（\psi\）是一个紧支撑的母小波，其中\（\phi_{j'k}（t）=2^{j'/2}\phi（2^{j'}t-k）\）和\（\psi_{jk}[t）=2 ^{j/2}\psi（2^jt-k）是\（L^2[0，1]\）的正交基。因此，\（\mu\）可以由正交基表示\[\μ（t）=\sum_{k=0}^{2^{j'}-1}\alpha_{j'k}^*\phi_{j'k}（t）+\sum_{j\geqj'}\sum_}k=0{2^j-1}\beta_{jk}^*\psi_{jk}（t）。\]因此我们有\[\|\mu\|{spq}=|\alpha^*|+\left（\sum_{j=0}^{\infty}（2^{j（s-1/p+1）/2}\|\beta_j^*\|p）^q\right）^{1/q}。\]《美国统计协会期刊》93，第444号，1461–1474（1998；Zbl 1064.62543号)],W·哈德尔等人在[Biometrika 81，no.3，425–455（1994；Zbl 0815.62019号)],D.L.多诺霍和I.M.约翰斯通在白噪声模型中，非线性小波阈值化利用小波的自然空间自适应性，实现了一类贝索夫类的最优阈值率。对于\（N>1\），Amato和Sapatinas[loc.cit.]提出了三种策略来估计同方差情况下的\（\mu\）。作者采用了Amato和Sapatinas[loc.cit.]中的第三种策略（称为平均然后收缩方法）来显示近极小极大估计。
第三节介绍了阈值化策略，由于理论原因，只有通用阈值（lambda{jk}=hat{sigma}{jk{sqrt{frac{2\logM}{M}}）在主要小波包中非常流行。目标是选择一个能将（L^2）-风险（mathrm{SURE}（lambda；上划线{mathbf d}））的估计值最小化的（lambda\），计算细节见附录a.3。
第四节给出了同方差情形下的异方差阈值估计，以及阈值的选择对实际模拟数据集的影响。通过处理零和非零系数和参数值，作者在定理2.2中考虑了异方差设置下具有通用阈值的SCAD阈值函数，并在表1中给出了平均MISE，其中异方差估计在所有考虑配置的函数重建方面大大优于同方差估计。在异方差背景下，使用SURE阈值可以提高重建主效应的性能。在最后一小节中，给出了本文提出的方法在一项卵巢癌研究中发布的SELDI-TOF质谱数据集中的应用。
第5节处理的是不规则数据，一般信号大小的二次方可能不适合实际的统计应用。可能的方法R.T.奥格登[公共统计，模拟计算26，No.2，467–488（1997；Zbl 0900.62208号)]可以通过将原始的不规则信号插值到大小为2次幂的规则网格，并以最佳尺度数值计算小波细节系数，将问题转换回规则的等间距设计。作者陈述了一些具有\（N=1\）的设计，这些设计可以直接扩展到\（N>1\）。
本文中的一些简短部分值得进行详细介绍。
审核人：李伟平（静水）

引用于1文件

MSC公司：

62克07 密度估算
62G08号 非参数回归和分位数回归
62J12型 广义线性模型（逻辑模型）
62页第10页 统计学在生物学和医学中的应用；元分析
42立方厘米 涉及小波和其他特殊系统的非三角谐波分析

关键词：

函数混合效应模型;最小最大风险;贝索夫类;小波估计器;随机无关随机函数;多样本数据集;非齐次贝索夫类;平均然后收缩法;不规则数据

引文：

Zbl 1096.62028号;Zbl 0900.62208号;Zbl 1064.62543号;Zbl 0815.62019号

软件：

波阈值;波阈值4;曲夫古斯特
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\textit{M.Giacofci}et al.，J.非参数统计30，No.1，238--261（2018；Zbl 1468.62270）
全文： 内政部 arXiv公司

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