伯恩哈德·施密特 分圆整数和有限几何。 （英语） Zbl 0939.05016号 美国数学杂志。Soc公司。 12，第4期，929-952（1999）. 作者提出了一种利用群环方程研究组合结构的新方法。在一篇关于R.J.图林[字符和和差集，太平洋数学杂志.15，319-346（1965；Zbl 0135.05403号)]结果表明，在所谓的自共轭条件下，用于研究群环方程的特征线方法能够很好地工作。回想一下，如果第（m）个分圆域（{mathbb{Q}}（xi_m））（with）（xi_m:=e^{2\pii/m}）中高于（n）的所有素理想在复共轭下都是不变的，则整数（n）称为自共轭模（m）。在这种条件下，绝对值为（n^{t/2}）的（{mathbb{Q}}（\xi_m））中的所有分圆整数都可以为任何整数（t\geq1）确定。对指定绝对值的分圆整数的完整知识是使特征法在自共轭条件下如此有效的关键因素。然而，自共轭是一个非常严格的限制，即自共轭方法在几乎所有情况下都失败了，因为（n）是自共轭模（m）的“概率”在（n）和（m）不同素数除数的数量上以指数速度递减。完全知道指定绝对值的分圆整数将导致基本分圆域的类群模其最大实子域的类群的几乎完全确定。然而，这是代数数论的一个问题，似乎远远超出了当今已知方法的范围。这证明了对具有规定绝对值的分圆整数需要更一般的结果。作者提出了一种解决绝对值问题的新方法。利用素理想的分解群，证明了以下关键结果，其中\（F（m，n）\）是一个积分值函数，其定义过于复杂，此处不再赘述。定理3.5。假设\（X\in{mathbb{Z}}[\xi_m]\）的\（X{\overline X}=n\），其中\（n\）和\（m\）是正整数。然后，对于某些\（j），\（X\xi_m^j\ in{mathbb{Z}}[\xi_{F（m，n）}]\）。子域的这种约简是获得分圆整数绝对值的一般界的关键，其结果是定理4.2。设（X\ in{mathbb{Z}}[\xi_m]\）为形式\（X=\sum_{i=0}^{m-1}a_i\xi_m ^i\）其中，\（a0，\点，a{m-1}\）是对某个常数\（C\）具有\（0\leqa_i\leqC\）的整数。此外，假设\（X{\overlineX}=n\）是一个整数。那么\（n\leq 2^{s-1}C^2F（m，n）\），其中\（s）是\（m）的不同奇素数除数。如果系数（a_i）的假设被\（|a_i |\leq C\）替换，则\（n\leq 2^t C^2 F（m，n）\），其中\（t）是\（m\）的不同素数除数。应用前面的定理导出群差集的一个新的广义指数界：定理5.2。假设群（G）中存在（v，k，lambda，n）-差集（D）。如果（U）是（G）的正规子群，使得（G/U）是循环的（e），那么（e）是（e）的不同奇素数除数。然后将该结果应用于与已知差集相对应的所有参数序列，即Hadamard、McFarland、Spence和Chen/Davis/Jedwab参数。这里获得的结果对循环Hadamard矩阵的（非）存在性有很强的暗示，这将在第（6）节末尾进行概述。第（7）节给出了包含相对差集的组的一般指数界。有了这一点，作者导出了拟正则投影平面存在的强必要条件，这反过来又导致了允许平面函数的阿贝尔群的渐近指数界。最后，在第（8）节中，将本文提出的方法用于研究组不变加权矩阵。审核人：沃尔夫冈·伦普肯（埃森） 引用于1审查引用于42文件 MSC公司： 05年10月 差集的组合方面（数论、群论等） 05B20号 矩阵的组合方面（关联、阿达玛等） 关键词：分圆域;绝对值问题;循环Hadamard矩阵;拟正则射影平面;平面函数;群不变加权矩阵 引文：Zbl 0135.05403号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{B.Schmidt}，J.Am.数学。Soc.12，No.4，929--952（1999；Zbl 0939.05016） 全文： 内政部 参考文献： [1] K.T.Arasu、James A.Davis和J.Jedwab，使用完美二进制数组的阿贝尔梅农差集不存在的结果，《组合数学》15（1995），第3期，311–317·Zbl 0834.05011号 ·doi:10.1007/BF01299738 [2] K.T.Arasu、James A.Davis、Jonathan Jedwab、Siu Lun Ma和Robert L.McFarland，阿贝尔差集族、群、差集和怪物的指数界（俄亥俄州哥伦布，1993）俄亥俄州立大学数学系。Res.Inst.出版物。，第4卷，de 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