亚当斯，亨利;阿米尼亚语、曼努舍尔语;埃琳·法内尔;迈克尔·柯比;乔舒亚·欢乐;雷切尔·内维尔;克里斯·彼得森;克莱顿·肖恩克维勒 通过持久同源性度量的分形维数。 （英语） Zbl 1448.62211号 Baas，Nils（编辑）等人，《拓扑数据分析》。2018年6月4日至8日，挪威盖兰格，阿贝尔研讨会会议记录。查姆：斯普林格。阿贝尔交响乐团。15, 1-31 (2020). 摘要：我们使用持久同调来定义一系列分形维数，对于每个同调维数（i\geq0），用（\dim_{text{PH}}^i（\mu）表示，赋给度量空间上的概率测度。零维同调的情况与J.M.斯蒂尔【《概率年鉴》第16卷第4期，1767-1787年（1988年；Zbl 0655.60023号)]研究随机采样点上最小生成树的总长度。事实上，如果（mu）在欧几里德空间的紧子集（mathbb{R}^m\）上支持（m\geq2），那么Steele的工作意味着，如果（mu）的绝对连续部分具有正质量，则（dim_{text{PH}}^0（mu。实验表明，尽管这是一个悬而未决的问题，但对于高维同源性（0<i<m），也可能存在类似的结果。我们的分形维数是通过考虑以i.i.d.方式从（mu）中选择的随机点的（i）维持久同调区间长度的总和的一个极限来定义的，即点的数目（n）趋于无穷大。对于某些度量，我们可以指定一个更精细的不变量，即当点数趋于无穷大时测量持久同调区间长度极限分布的曲线。我们证明了当（mu）是单位区间上的均匀分布时，在零维同调的情况下存在这条极限曲线，并猜想当（mu）是具有正勒贝格测度的欧氏空间中紧集的重标概率测度时，它存在。关于整个系列，请参见[Zbl 1448.62008号]. 引用于1审查引用于三文件 MSC公司： 62R40型 拓扑数据分析 62兰特 度量空间统计 55N31号 持久同源性及其应用，拓扑数据分析 60B05型 拓扑空间上的概率测度 37楼35 全纯动力系统的共形密度和Hausdorff维数 2015年1月60日 强极限定理 关键词：拓扑数据分析;持久同源性;度量空间上的概率测度 引文：Zbl 0655.60023号 软件：请;学习代数变体;javaPlex公司;持久性图像;裂土器;github PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{H.Adams}等人，阿贝尔交响乐团。2015年1月31日（2020年；Zbl 1448.62211） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 亨利·亚当斯、索菲亚·切普斯塔诺娃、特根·爱默生、埃里克·汉森、迈克尔·柯比、弗朗西斯·莫塔、雷切尔·内维尔、克里斯·彼得森、帕特里克·希普曼和洛里·齐格尔梅尔。持久性图像：持久性同源性的稳定矢量表示。《机器学习研究杂志》，18（1）：218-2522017·Zbl 1431.68105号 [2] 亚伦·阿德科克（Aaron Adcock）、丹尼尔·鲁宾（Daniel Rubin）和冈纳·卡尔森（Gunnar Carlsson）。使用匹配度量对肝脏病变进行分类。计算机视觉和图像理解，121:36-422014·doi:10.1016/j.cviu.2013.10.014 [3] Robert J Adler、Omer Bobrowski、Matthew S Borman、Eliran Subag和Shmuel Weinberger。随机场和复合物的持久同源性。《借力：理论驱动应用——劳伦斯·D·布朗的费斯切里夫》，第124-143页。数学统计研究所，2010年。 [4] Robert J Adler、Omer Bobrowski和Shmuel Weinberger。裂纹：噪音的持续同源性。arXiv预印arXiv:1301.14662013·Zbl 1350.60010号 [5] David Aldous和J Michael Steele。随机点上欧氏最小生成树的渐近性。概率论及相关领域，92（2）：247-2581992·Zbl 0767.60005号 [6] David Aldous和J Michael Steele。目标方法：概率组合优化和局部弱收敛。《离散结构的概率》，第1-72页。斯普林格，2004年·Zbl 1037.60008号 [7] 肯尼斯·亚历山大。连续渗流的RSW定理和欧氏最小生成树的CLT。应用概率年鉴，6（2）：466-4941996·兹比尔0855.60009 [8] 马克·A·阿姆斯特朗。基本拓扑。施普林格科学与商业媒体，2013年。 [9] 乌尔里希·鲍尔。Ripser：用于计算Vietoris-Rips持久性条形码的精简C++代码。可用的软件网址：http://github.com/Ripser/Ripser, 2017. [10] 保罗·本迪（Paul Bendich）、J·S·马龙（J S Marron）、埃兹拉·米勒（Ezra Miller）、亚历克斯·皮埃洛赫（Alex Pieloch）和肖恩·斯科勒（Sean Skwerer）。脑动脉树的持续同源性分析。应用统计年鉴，10（1）：198-218，2016。 [11] 马丁·比洛多和大卫·布伦纳。多元统计理论。施普林格科学与商业媒体，2008年·Zbl 0930.62054号 [12] Omer Bobrowski和Matthew Strom Borman。高斯随机场的欧拉积分和持久同调。拓扑与分析杂志，4（01）：49-702012·Zbl 1260.60070号 [13] Omer Bobrowski和Matthew Kahle。随机几何复合体的拓扑：综述。应用和计算拓扑杂志，2018年·Zbl 1402.60015号 [14] Omer Bobrowski、Matthew Kahle和Primoz Skraba。随机几何复合体中的最大持续循环。arXiv预印arXiv:1509.043472015·Zbl 1377.60024号 [15] Paul Breiding、Sara Kalisnik Verovsek、Bernd Sturmfels和Madeleine Weinstein。从样本中学习代数变化。arXiv预印arXiv:1802.094362018·Zbl 1481.13040号 [16] 冈纳·卡尔松（Gunnar Carlsson）。拓扑和数据。美国数学学会公报，46（2）：255-3082009·Zbl 1172.62002号 ·doi:10.1090/S0273-0979-09-01249-X [17] 弗雷德里克·查扎尔（Frédéric Chazal）、文·德·席尔瓦（Vin de Silva）和史蒂夫·奥多特（Steve Oudot）。几何络合物的持久稳定性。Geometriae Dedicata，第1-22页，2013年·Zbl 1320.55003号 [18] 弗雷德里克·查扎尔和文森特·迪沃。期望持久性图的密度及其基于核的估计。arXiv预印本arXiv:1802.104572018·Zbl 1473.55002号 [19] Aaron Clauset、Cosma Rohilla Shalizi和Mark EJ Newman。经验数据中的幂律分布。SIAM综述，51（4）：661-7032009·Zbl 1176.62001号 [20] 安妮·柯林斯（Anne Collins）、非洲动物园（Afra Zomordian）、冈纳尔·卡尔森（Gunnar Carlsson）和列奥尼达斯·吉巴斯（Leonidas J.Guibas）。曲线点云数据的条形码形状描述符。计算机与图形，28（6）：881-8942004·Zbl 1092.68688号 ·doi:10.1016/j.cag.2004.08.015 [21] Jose A Costa和Alfred O Hero。确定高维形状空间的内在维数和熵。《形状统计与分析》，第231-252页。施普林格，2006年·Zbl 1160.94303号 [22] 贾斯汀·迈克尔·库里。拓扑数据分析和坐标变换。《日本工业与应用数学杂志》，32（2）：333-3712015·兹比尔1323.55002 [23] 科琳·D·卡特勒。吸引子上分布分形维数的行为和估计的一些结果。《统计物理杂志》，62（3-4）：651-7081991年·Zbl 0738.58029号 [24] 科琳·D·卡特勒。分形维数的理论和估计综述。在尺寸估算和模型中，第1-107页。《世界科学》，1993年。 [25] 尤里·达巴基安（Yuri Dabaghian）、法昆多·梅莫利（Facundo Mémoli）、洛伦·弗兰克（Loren Frank）和甘纳·卡尔松（Gunnar Carlsson）。使用持久同源性形成海马空间图的拓扑范式。《公共科学图书馆·计算生物学》，8（8）：e10025812012年。 [26] 文森特·迪沃和沃尔夫冈·波罗尼克。关于持久性图线性表示的权重函数的选择。arXiv预印arXiv:arXiv:1807.036782018·Zbl 1422.60024号 [27] 赫伯特·埃德尔斯布伦纳（Herbert Edelsbrunner）和约翰·哈勒（John L Harer）。计算拓扑：导论。美国数学学会，普罗维登斯，2010年·Zbl 1193.55001号 [28] 赫伯特·埃德尔斯布伦纳（Herbert Edelsbrunner）、A Ivanov和R Karasev。离散和计算几何中的当前开放问题。Modelirovanie i Analiz Informats公司。系统，19（5）：5-172012。 [29] 赫伯特·埃德尔斯布伦纳（Herbert Edelsbrunner）、安东·尼基滕科（Anton Nikitenko）和马蒂亚斯·雷茨纳（Matthias Reitzner）。泊松-德劳奈镶嵌的预期大小及其离散莫尔斯函数。应用概率学进展，49（3）：745-7672017·Zbl 1425.60013号 ·doi:10.1017/apr.2017.20 [30] 肯尼斯·福克纳。分形几何：数学基础与应用；第三版，Wiley，Hoboken，NJ，2013年·Zbl 1285.28011号 [31] J.D.Farmer。信息维与混沌的概率结构。《自然科学杂志》A，37（11）：1304-1326，1982年·doi:10.1515/zna-1982-1117 [32] J.D.Farmer、Edward Ott和James Yorke。混沌吸引子的维数。《物理学D：非线性现象》，7（1）：153-1801983年·Zbl 0561.58032号 [33] 杰拉尔德·福兰德。实际分析。John Wiley&Sons，1999年·Zbl 0924.28001号 [34] 罗伯特·格里斯。条形码：数据的持久拓扑。美国数学学会公报，45（1）：61-752008·Zbl 1391.55005号 ·doi:10.1090/S0273-0979-07-01191-3 [35] 彼得·格拉斯伯格和伊塔马尔·普罗卡西亚。奇异吸引子的特征。《物理评论快报》，50（5）：346-3491983年·Zbl 0593.58024号 ·doi:10.1103/PhysRevLett.50.346 [36] 彼得·格拉斯伯格和伊塔马尔·普罗卡西亚。测量奇怪吸引子的奇异性。《混沌吸引子理论》，第170-189页。斯普林格，纽约州纽约市，2004年·Zbl 0593.58024号 [37] 艾伦·哈切尔。代数拓扑。剑桥大学出版社，剑桥，2002年·Zbl 1044.55001号 [38] 帕特里克·贾利特。关于平面上几何随机问题的性质。运筹学年鉴，61（1）：1-201995·Zbl 0839.90133号 ·doi:10.1007/BF02098279 [39] 马修·卡勒（Matthew Kahle）。随机几何复合体。离散与计算几何，45（3）：553-5732011·Zbl 1219.05175号 ·doi:10.1007/s00454-010-9319-3 [40] 阿尔布雷希特·M·凯勒。平面中随机放置的图形重叠导致的束数。应用概率杂志，20（1）：126-1351983·兹比尔0505.60020 [41] 哈里·凯斯滕和宋楚·李。随机点上加权最小生成树的中心极限定理。《应用概率年鉴》，第495-527页，1996年·Zbl 0862.60008号 [42] 盖迪·科兹玛（Gady Kozma）、兹维·洛特克（Zvi Lotker）和吉迪恩·斯塔普（Gideon Stupp）。最小生成树和上框维数。美国数学学会学报，134（4）：1183-11872006·Zbl 1083.68137号 ·doi:10.1090/S0002-9939-05-08061-5 [43] 约瑟夫·克鲁斯卡尔（Joseph B Kruskal）。关于图的最短生成子树和旅行商问题。《美国数学学会学报》，7（1）：48-501956年·Zbl 0070.18404号 [44] H Lee、H Kang、M K Chung、B N Kim和D S Lee。从树状图的角度看持续的脑网络同源性。IEEE医学成像学报，31（12）：2267-22772012。 [45] 哈维尔·拉马尔·莱昂（Javier Lamar Leon）、安德烈亚·塞里（Andrea Cerri）、埃德尔·加西亚·雷耶斯（Edel Garcia Reyes）和罗西奥·冈萨雷斯·迪亚兹（Rocio Gonzalez Diaz）。使用持续同源性的基于步态的性别分类。JoséRuiz-Shulcloper和Gabriella Sanniti di Baja主编，《模式识别、图像分析、计算机视觉和应用进展》，第366-373页，柏林，海德堡，2013年。施普林格-柏林-海德堡。 [46] 罗伯特·麦克弗森（Robert MacPherson）和本杰明·施韦恩哈特（Benjamin Schweinhart）。用拓扑测量形状。《数学物理杂志》，53（7）：0735162012·Zbl 1278.82073号 [47] Pertti Mattila、Manuel Morán和José-Manuel Rey。度量的维度。数学研究，142（3）：219-2332000·Zbl 1008.28005号 ·doi:10.40064/sm-142-3-219-233 [48] 第A部分。P.Moran。区间的加法函数和Hausdorff测度。《剑桥哲学学会学报》，42（1）：15-231946年·Zbl 0063.04088号 [49] 海因茨·奥托·佩特根、哈特穆特·尤根斯和迪特马尔·索普。混沌与分形：科学的新前沿。Springer科学与商业媒体，2006年·兹比尔1036.37001 [50] 马修·彭罗斯。随机几何图，第5卷。牛津大学出版社，牛津，2003年·Zbl 1029.60007号 ·doi:10.1093/acprof:oso/9780198506263.001.0001 [51] 马修·D·彭罗斯。随机最小生成树的最长边。应用概率年鉴，第340-361页，1997年·Zbl 0884.60042号 [52] Mathew D Penrose等人。最小生成树最长边的强定律。概率年鉴，27（1）：246-2601999·Zbl 0944.60015号 [53] 马修·潘罗斯和约瑟夫·尤基奇。计算几何中一些图的中心极限定理。《应用概率年鉴》，第1005-10412001页·Zbl 1044.60016号 [54] 雅科夫B皮辛。动力系统中的维数理论：当代观点和应用。芝加哥大学出版社，2008年·Zbl 0895.58033号 [55] 罗伯特·克莱·普里姆。最短连接网络和一些概括。贝尔实验室技术期刊，36（6）：1389-14011957。 [56] 阿尔弗雷德·雷尼。关于概率分布的维数和熵。匈牙利数学学报，10（1-2）：193-2151959年·Zbl 0088.10702号 [57] 阿尔弗雷德·雷尼。概率论。北荷兰，阿姆斯特丹，1970年·Zbl 0233.60001号 [58] 凡妮莎·罗宾斯。多分辨率计算拓扑：分形和动力学的基础和应用。科罗拉多大学博士论文，2000年。 [59] M.J.Schervish。统计学理论。统计学中的斯普林格系列。纽约施普林格出版社，1996年·Zbl 0859.62087号 [60] 本杰明·施韦恩哈特（Benjamin Schweinhart）。持久同源性和上盒维数。arXiv预印arXiv:1802.005332018·Zbl 1450.28007号 [61] 本杰明·施韦恩哈特（Benjamin Schweinhart）。分形上随机几何复合体的持久同源性。arXiv预印arXiv:1808.021962018·Zbl 1450.28007号 [62] 本杰明·施韦恩哈特（Benjamin Schweinhart）。随机复合物的加权持久同源和。arXiv预印arXiv:1807.070542018·Zbl 1450.28007号 [63] J迈克尔·斯蒂尔。带幂加权边的欧氏最小生成树的增长率。《概率年鉴》，第1767-1787页，1988年·Zbl 0655.60023号 [64] J迈克尔·斯蒂尔。欧几里德组合优化中的概率和问题。《统计科学》，第48-56页，1993年。 [65] J迈克尔·斯蒂尔。具有随机边长度的图的最小生成树。数学与计算机科学II，第223-245页。斯普林格，2002年·Zbl 1032.60007号 [66] J迈克尔·斯蒂尔（J Michael Steele）、劳伦斯·谢普（Lawrence A Shepp）和威廉·F·埃迪（William F Eddy）。关于欧氏最小生成树的叶子数。应用概率杂志，24（4）：809-8261987·Zbl 0639.60014号 [67] J迈克尔·斯蒂尔和卢克·蒂尔尼。边界控制和更高维中最大近邻链路的分布。应用概率杂志，23（2）：524-5281986·Zbl 0612.60010号 [68] 安德鲁·陶兹（Andrew Tausz）、米凯尔·维迪莫·约翰逊（Mikael Vejdemo-Johansson）和亨利·亚当斯（Henry Adams）。Javaplex：一个用于持久（共同）同源性的研究软件包。在2014年国际数学软件大会上，第129-136页。软件可在http://appliedtopology.github.io/javaplex/。 ·Zbl 1402.65186号 [69] 詹姆斯·泰勒。估计分形维数。JOSA A，7（6）：1055-10731990·doi:10.1364/JOSAA.7.001055 [70] 罗伯特·瓦林。康托集合的元素：与应用程序。John Wiley&Sons，2013年·Zbl 1276.28001号 [71] 夏克林和魏国伟。生物分子数据的多维持久性。《计算化学杂志》，36（20）：1502-15202015·doi:10.1002/jcc.23953 [72] 约瑟夫·尤基奇（Joseph E Yukich）。经典欧几里德优化问题的概率论。斯普林格，2006年·Zbl 0902.60001号 [73] 朱晓金。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。