艾拉·盖塞尔（Ira M.Gessel）。;肖恩·格里芬。;瓦苏·特瓦里 标记二叉树、加泰罗尼亚排列的子排列和Schur正性。 （英语） Zbl 1429.05182号 高级数学。 356，文章ID 106814，67 p.（2019）. 本文研究与上升和标记平面二叉树的下降。这里，平面二叉树是每个内部节点只能有左子节点、右子节点或两者都有。对于具有正整数标签的节点的标签（其中重复的标签为允许），左上移是从节点\（w）到左子节点\（v）的边，这样与（v）和（w）关联的标签\（v^{ell}\）和\（w^{ell{\）分别满足\（v ^｛\ell｝\leq w ^｛\ell｝\）。否则，该边称为左下降。右上坡和右下降的定义类似。标记的的左上移数树\（T\）用\（\operatorname{lasc}（T）\）表示，一个类似的定义\（\operatorname{rasc}（T）\）、\（\operatorname{ldes}（T）\）和\（\operatorname}（D）\）。设\（x_1，x_2，\ldots\）是交换不定项。对于每个标记的树\（T\），关联单项式\（\mathsf{x}^T\）是节点标签索引的变量的乘积。一种是通过定义形式幂级数\[G=\sum_T\上划线{\lambda}^{\operatorname{lasc（T）}}\lambda^{\operatorname{ldes（T）}}\上划线{\rho}^{\operatorname}rasc（T）{}}\rho^{\operatorname{rdes（T）}}\mathsf{x}^T，\]总和是在所有标记的树上。该幂级数的第一个结果是以下函数方程：定理。设\（H（z）=\sum_｛n\geq 0｝H_n z^n\），其中\（H_n\）表示第\（n\）个完全齐次对称函数。然后\[\frac{（1+\overline{\lambda}G）（1+\ overline[\rho}G）}{（1+\lambda G）（1+\ rho G）}=H（（上划线{\lambda}\上划线{\rho}-\lambda \rho）G+上划线{\ lambda}+\上划线{\rho}-\lambda-\rho）因此，（G）是一个对称函数。接下来，证明了\（G\）是Schur正的，从而也证明了第一作者的猜想。事实上提供了\（G\）的表示法，表明它可以表示为半环中带系数的带状Schur函数\（\mathbb{N}[\overline{\lambda}\overline{\rho}，\lambda \rho，\overling{\lampda}+\上划线{\rho}，\lambda+\rho]\）。这个表示的两种不同证明提供了。此外，作者考虑了所谓树冠固定的树木。如图所示Schur正性仍然适用于对具有给定树冠。不同值的\（上划线{\lambda}\）的\（G\）的特殊化，\（\lambda\）、\（\overline{\rho}\）和\（\rho\）与Coxeter的变形有关安排。审核人：斯蒂芬·瓦格纳（斯特伦博什） 引用于2文件 MSC公司： 05C78号 图形标记（优美的图形、带宽等） 2015年1月5日 精确枚举问题，生成函数 05二氧化碳 树 05年10月 平面图；图论的几何和拓扑方面 05年5月5日 对称函数和推广 2018年5月 组合结构上的群作用 05年05月05日 排列、单词、矩阵 2010年5月 表征理论的组合方面 19年5月 组合恒等式，双射组合数学 06A07年 偏序集的组合数学 关键词：标记的树;舒尔阳性;超平面排列;上升-下降 软件：组织环境信息系统 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{I.M.Gessel}等人，高级数学。356，文章ID 106814，第67页（2019；Zbl 1429.05182） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Athanasiadis，C.，《子空间排列和有限域的特征多项式》，高等数学。，122, 193-233 (1996) ·Zbl 0872.52006号 [2] Athanasiadis，C.，《关于编织物排列的自由变形》，《欧洲联合杂志》，第19卷，第7-18页（1998年）·Zbl 0898.5208号 [3] Athanasiadis，C.，根系统的扩展线性超平面排列和Postnikov和Stanley的猜想，J.代数组合，10，207-225（1999）·Zbl 0948.52012号 [4] 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