安德烈斯，简;Górniewicz，莱赫 边值问题的拓扑不动点原理。 （英语） Zbl 1029.55002号 拓扑不动点理论及其应用. 1. 多德雷赫特：Kluwer学术出版社。xv，761页（2003年）。 这是两位杰出专家写的一本极有价值的书。一方面，如果选择得当，它可以用于研究生课程，另一方面，它是一本综合性研究专著，致力于将拓扑不动点理论应用于边值问题，特别强调多值情况（即微分包含）。本演示文稿（在有限的意义上）是自足的–假设读者在分析和拓扑方面有扎实的背景（例如，使用Bochner积分时没有任何解释），但在大多数情况下，作者从无到有，按照严格的逻辑顺序提供了必要的定义和定理。当然，并不是所有的定理都提供了证明（对于哪些定理值得证明的决定有时似乎有点武断），但在大多数情况下，都有大量参考文献（参考文献列表包含一千多个条目）。很难理解为什么读者有时会留下“众所周知……”这样的短语，而在解释手头问题的参考文献列表中，很容易找出一个项目。这本书分为三章（大部分材料载于第三章）和三个冗长的附录。每一章都补充了大量的“评论和评论”，对作者的来源和进一步阅读的提示给予了应有的信任。第一章提供了必要的“理论背景”。在这里，回顾了有关ANR空间和多值映射的事实。讨论了第二位作者定义的“可容许地图”[数学论文，华沙129（1976；Zbl 0324.55002号)]. 如果每个\（X中的X）都有一个空间\（\Gamma\）、一个Vietoris映射\（p:\Gamma\to X\）和一个连续映射\（q:\Gamma\to Y\），则称多值映射\（\phi:X\multimap Y\）是可接受的。使用Leray-traces对容许映射的Lefschetz不动点理论进行了相当广泛的讨论。在定义了局部凸空间中开集收缩上可容许映射的不动点指数和拓扑度之后，作者转向尼尔森理论。在这里，作者提供了完整的证据，因为文献中似乎没有多值映射的尼尔森理论参考。第2章专门讨论“一般原理”，即拓扑不动点理论的结果，可以使用第一章中开发的方法获得。在这里，作者讨论了不动点集的拓扑结构和维数。在讨论拓扑本质的基础上，作者将第1章中发展的Lefschetz和Nielsen理论推广到相关情况，从而获得了两个映射的重合数的下界。尼尔森理论也被用来证明多值映射的周期点定理。不喜欢同调方法的读者会发现本章中对近似方法的广泛讨论特别有用。在这里，作者非常仔细地解释了如何获得不动点结果，以及如何通过单值映射的近似来定义多值映射的拓扑度。本章最后详细讨论了延续原则。第三章是本书的主题，即“微分方程和内含物的应用”。它有365页。作者首先考虑了区间（J）中几乎所有（t）的微分包含在F（t，x（t））中的（dot{x}（t），并且（F（\cdot，x））对所有（x\in\mathbb{R}^n）都是可测量的。如果我们要求（x）属于局部绝对连续函数空间的给定子集（S），则得到了一个边值问题。一个重要的róle由相应的无限维问题扮演，其中\（mathbb{r}^n \）被Banach空间\（E \）取代。这里，再次假设（F）具有非空紧凸值，（F（t，\cdot））是上半连续的，并且（F（\cdot，x））在（J）的每个紧子区间上是强可测的。该解必须是局部绝对连续的，并且在每个子区间（[a，b]\）中几乎所有的\（t）都存在（\dot{x}（t）\），使得L^1（[a、b]、E）中的\（\dot{x}\）。本章的结果需要Eilenberg-Montgomery定理和尼尔森理论。第二部分研究了解集的结构。例如，如果（F:J\times\mathbb{R}^n\multimap\mathbb{R}^n\）如上所述，并且如果（F\）最多有线性增长，则F（t，x（t））中初值问题的解集\（dot{x}（t）\，（x（0）=x_0\）是一个\（R_\delta \）-集。当然，在本节中还有更高级的结果，例如关于解集维数的定理或关于泛函微分包含解集结构的定理。下一节讨论边值问题的类似问题。在第四节中，作者讨论了多值情况下的庞加莱算子，特别是对于泛函微分包含和随机系统。第5节详细讨论了存在性结果。它从半线性微分包含的有界解的存在性开始，通过紧性度量参数的有趣应用。其他结果是通过应用有关解集结构的章节中开发的方法获得的；特别是，关于周期解的存在性有着丰富的结果。然而，所有这些结果都太过技术性，即使在冗长的审查中也无法描述。在第6节中，应用尼尔森理论获得多重性结果。对于（n）维环面上微分包含系统和广义局部多值半过程的周期解的存在性，有一个特别有趣的讨论。在下一节中，作者使用Ważewski型结果再次获得了关于周期解存在性的结果。关于有界函数和引导函数的第8节是本书最长的一节。如果我们再次考虑F（t，x（t））中几乎所有（J=[a，b]\中的t\，S\中的x\）的边值问题\（dot{x}（t）\，那么如果没有解\（x\），那么在（mathbb{R}^n\）中开集的族\（K（t）_{t\，J}\）被称为该问题的有界集，这样的解\（x部分K（τ）中的和\)对于一些人（J中的tau）。作者获得了F（t，x（t））中Floquet边界问题（t）的界，几乎所有的（t）都在[a，b]\中，（x（b）=Mx（a）\中。然后应用该理论获得Floquet边值问题的解。在本节的第二部分中，作者考虑了局部Lipschitz函数的指导势（V:mathbb{R}^n到mathbb}R}^）\如果存在一个\（r_0>0），使得\（inf\{left<p，q\right>\midp，q\in\partial V（x）\}\to 0）for \（x\|geq r_0\），则称（V\）为直接势，其中\（partial V（x）\）表示广义梯度，\（left<\cdot，\cdot\right>\）是内积。如果\（F:[0，a]\times\mathbb{R}^m\multimap\mathbb{R}^m\）是一个具有非空紧值的映射，那么直接势被称为\（F\）的指导函数，如果对于\（|x|\geqr_0\）中的每一个\（t，x）\}\geq 0）（在传统方法中，要求（V）为（C^1）。）假设（F）与本章开头的一样，并且（F（t，x）中的sup\{|y|y\}\leq\mu（x）（1+|x|））对于[0，a]\times\mathbb{R}^n中的所有（t，x）都具有非负可积函数。假设（F）有一个引导函数（V），使得（r）的（deg（部分V，B（0；r），0）不=0，那么F（t，x（t））中的（dot{x}（t）有一种周期解。作者还考虑了右侧不具有凸值的情况。在这种情况下，解集映射既不是上半连续的，也不取闭值，因此作者必须为相关的Poincaré算子发展一个拓扑度理论，使他们能够推断出周期解的存在性，即使在这种情况。第9节是关于“无限多次谐波”。在这里，作者讨论了Šarkovskiĭ型定理的推广。简单的例子表明，对多值情况的明显推广是行不通的，但作者为看似明显的猜测提供了正确的公式和大量的反例。他们也超越了Šarkovskiĭ的结果，他们考虑了二维问题。以下Boju Jiang公司[《当代数学》152183-202（1993；Zbl 0798.55001号)]作者使用辫子不变量来证明在紧致连通曲面（X）上具有至少三个不动点的可容许映射的无限多素数（k）的（k）-轨道的一般存在性。在开始阅读关于“几乎周期性问题”的第10节之前，应该首先查阅附录1，其中收集了大量指导性材料，比较了几乎周期性的各种定义。第10节中应用的不动点原理是相当初级的，即Fréchet空间中凝聚映射的压缩映射原理和不动点定理。主要工具来自概周期函数理论，作者的目标是找到确保微分包含的有界解概周期的条件。这一部分后面是一个包含各种结果的部分。阅读本节需要“Derivo周期单值和多值函数”以及“分形和多值分形”的附录。这本书不容易阅读，它是以简洁、毫不妥协、无意义的风格写成的（第59页上只有一个有趣的印刷错误，即“与紧凑的价值观相矛盾”），几乎没有激励性的文字，但阐述总是清晰可靠的。另一方面，读者在寻找具体信息时会遇到严重困难，这主要是因为主题索引较差。例如，在第306页，我们遇到了表达式“正则指数二分法”，但在索引中找不到这两个术语。然而，糟糕的索引被优秀的参考书目所弥补（如果参考文献是根据标识符排序的，那么使用起来会更容易。例如，当试图查找[KOZ1]时，人们可能会在第736页找到[KN]，然后从这里开始查找。但事实上，[KOZ1]在第732页。这是因为参考文献是按作者姓名排序的，所以如果知道各自的作者是卡门斯基、奥布霍夫斯基和泽卡，那么很容易找到[KOZ1]。）印刷清晰，令人愉快，只有几处打字错误。其中一些原因很简单T型E类X（X）nical错误：第110页的一些行在左边空白处被破坏，而人们想知道第531页（H 2）中的第二行为什么没有斜体（解决方案：在行的开头有一个神秘的“it”，它显然应该是\（\反斜杠\）it）。但这些都是小问题，总的来说，作者把两个臭名昭著的难题（微分包含的代数拓扑和边值问题）结合在一起，做得很好。这位评论员在没有他的“ceterum censeo”的情况下无法结束评论：正如开头所示，这是一本百科全书，如果出版商没有确定每页约0.30欧元的禁止性价格，这将是该领域每一位专家的必读之书。那么出版商提供什么服务作为回报呢？这位评论员怀疑文本是直接由T型E类X（X）-无需复制编辑器的任何干预。这样一位文案编辑本来是必要的，因为这两位作者的母语既不懂定冠词，也不懂不定冠词。要想把文章弄清楚，很容易。当然，像“每一章都以多个注释和评论结束”这样的句子在一读时就可以理解，但“至多总存在一个可数无限集”（第603页）需要稍作思考。一个文案编辑可能也会坚持名字的统一拼写：我们有利普希茨（第660页）、利普希茨安、卡拉塞奥多里和卡拉塞奥多里（第271页），鲍里索维奇是鲍里索维奇，也是鲍里索菲奇，法语的头衔几乎都没有重音。审核人：克里斯蒂安·芬斯克（Gießen） 引用于6评论引用于116文件 理学硕士： 55-02 代数拓扑学的研究综述（专著、调查文章） 34A60型 普通微分夹杂物 37B25型 拓扑动力系统的稳定性 47时05分 单调算子和推广 55平方米 代数拓扑中的不动点和重合 28A80型 分形 34B15号机组 常微分方程的非线性边值问题 34立方厘米25 常微分方程的周期解 34K10型 泛函微分方程的边值问题 35B10型 PDE的周期性解决方案 35B15号机组 偏微分方程的概周期解和伪最周期解 35B37型 与控制问题相关的PDE（MSC2000） 35克30 非线性高阶偏微分方程的边值问题 关键词：固定点;不动点指数;Lefschetz不动点定理;尼尔森数;拓扑重要性;延拓定理;周期点;微分夹杂物;边值问题;庞加莱算子;Ważewski型结果;导向功能;次谐波;分形;多重性 引文：Zbl 0324.55002号;Zbl 0798.55001号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Andres}和\textit{L.Górniewicz}，边值问题的拓扑不动点原理。多德雷赫特：Kluwer学术出版社（2003；Zbl 1029.55002）