乔纳森·杜布尔。;马丁·克鲁帕;马修·德斯罗切斯 大规模随机网络中噪声诱导的鸭式和混合模式振荡。 （英语） Zbl 1344.34070号 SIAM J.应用。数学。 752024-2049年第5号（2015年）. 作者摘要：慢速动力系统，如描述神经细胞可兴奋动力学的系统，可以呈现各种非常微妙的现象，如鸭式爆炸或混合模式振荡（MMO），其中戏剧性的转变发生在参数的微小变化上。在生物环境中，这些可激发系统相互耦合并受到强烈噪声的影响，这可能会破坏这些现象。虽然这对于单个小区或小型网络来说是正确的，但我们表明，大规模网络在存在噪声的情况下确实会显示出可靠的鸭式爆炸和MMO，甚至在噪声标准偏差发生变化时也会发生这些转变。我们通过研究一个相互连接的Wilson-Cowan速率神经元网络，该网络收敛于一个随机过程，其平均值满足一个以噪声为参数的慢速动力系统，从而证明了这一现象与在大种群中发生的平均效应有关。在这个系统中，我们展示了使用关于一般鸭式飞机爆炸和MMO作为噪声发生的分析和数值论据是多种多样的。这一结果为大型随机网络中噪声的定性影响和对精确噪声值的敏感性提供了新的线索。我们进一步研究了有限大小的网络，并表明，在双稳态（不同吸引子之间发生随机切换）或MMO中，由于吸引子的敏感性，有限大小的效应会导致早期跳跃，因此与平均场极限的系统性差异会出现。审核人：Leslaw Socha（华沙） 引用于2文件 MSC公司： 34E17号机组 常微分方程的Canard解 34E15号机组 常微分方程的奇异摄动 34F05型 常微分方程和随机系统 34立方厘米 常微分方程的非线性振动和耦合振子 34C23型 常微分方程的分岔理论 60B10型 概率测度的收敛性 34C25型 常微分方程的周期解 37国集团15 动力系统中极限环和周期轨道的分岔 92B20型 生物研究、人工生命和相关主题中的神经网络 34C60个 常微分方程模型的定性研究与仿真 92C20美元 神经生物学 关键词：平均场方程;低速系统;分岔;鸭式飞机;多媒体操作;噪音;动力系统;随机方程;耦合振子;混合模式振荡;随机网络 软件：自动-07P;AUTO（自动） PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.D.Touboul}等人，SIAM J.Appl。数学。75，第5期，2024--2049（2015；Zbl 1344.34070） 全文： 内政部 参考文献： [1] E.贝诺（Beno），{卡纳兹（Canards）等人}，出版。数学。上伊斯理工学院。，72（1990），第63-91页·兹比尔0737.34018 [2] E.Beno、J.-L.Callot、F.Diener和M.Diener{it Chasse au canard}，收集。数学。，31（1981），第37-119页·Zbl 0529.34046号 [3] N.Berglund、B.Gentz和C.Kuehn，《在嘈杂的环境中狩猎法国鸭子》，《微分方程》，252（2012），第4786-4841页·Zbl 1293.37025号 [4] N.Berglund和D.Landon，{随机Fitzhugh-Nagumo模型中的混合模式振荡和峰间区间统计}，非线性，25（2012），第2303-2335页·兹比尔1248.60059 [5] M.Bröns、M.Krupa和M.Wechselberger，{广义鸭式现象引起的混合模式振荡}，《分岔理论和时空模式形成》，菲尔德研究所通讯。49，AMS，普罗维登斯，RI，2006年，第39-64页·Zbl 1228.34063号 [6] M.Bröns，{压缩机系统喘振格雷策模型中的分歧和不稳定性}，数学。Eng.Ind.，2（1988），第51-63页·Zbl 0836.34009号 [7] N.Brunel和V.Hakim，{低放电率的完整和完整神经元网络中的快速全局振荡}，神经计算。，11（1999），第1621-1671页。 [8] G.Buzsaki，《大脑的节奏》，牛津大学出版社，英国牛津，2009年·Zbl 1204.92017年 [9] R.Curtu，{双细胞抑制神经网络中的奇异Hopf分支和混合模式振荡}，Phys。D、 239（2010），第504-514页·Zbl 1196.37088号 [10] R.Curtu和J.Rubin，{神经模型中鸭式和奇异Hopf机制的相互作用}，SIAM J.Appl。动态。系统。，10（2011年），第1443-1479页·Zbl 1241.34058号 [11] M.Desroches、J.Guckenheimer、B.Krauskopf、C.Kuehn、H.M.Osinga和M.Wechselberger，《多时间尺度的混合模式振荡》，SIAM Rev.，54（2012），第211-288页·Zbl 1250.34001号 [12] E.J.Doedel、R.C.Paffenroth、A.R.Champneys、T.F.Fairgrie、Yu。A.Kuznetsov、B.E.Oldeman、B.Sandstede和X.J.Wang，{it AUTO-07p:常微分方程的连续和分叉软件}，可在http://indy.cs.concordia.ca/auto, 2007. [13] B.Fernandez和S.Meíleíard，{\it McKean-Vlasov模型波动的Hilbertian方法}，随机过程。申请。，71（1997），第33-53页·Zbl 0939.60048号 [14] J.Guckenheimer，{双慢变量系统中的奇异Hopf分岔}，SIAM J.Appl。动态。系统。，7（2008），第1355-1377页·Zbl 1168.37025号 [15] E.M.Izhikevich，{神经兴奋性，尖峰和爆发}，国际。J.比福尔。混沌应用。科学。工程师，第10期（2000年），第1171-1266页·Zbl 1090.92505号 [16] E.R.Kandel、J.H.Schwartz、T.M.Jessell、S.A.Siegelbaum和A.J.Hudspeth，《神经科学原理》，第4卷，McGraw-Hill，纽约，2000年。 [17] M.Krupa、N.Popovicí、N.Kopell和H.G.Rotstein，多巴胺能神经元三时间尺度模型中的混合模式振荡，混沌，18（2008），015106·Zbl 1306.34057号 [18] M.Krupa和P.Szmolyan，将几何奇异摄动理论推广到非双曲点——二维褶皱点和鸭点，SIAM J.Math。分析。，33（2001年），第286-314页·兹比尔1002.34046 [19] M.Krupa和P.Szmolyan，《松弛振荡和鸭式爆炸》，《微分方程》，174（2001），第312-368页·Zbl 0994.34032号 [20] M.Krupa和M.Wechselberger，{折叠鞍节点奇异性附近的局部分析}，《微分方程》，248（2010），第2841-2888页·Zbl 1198.34103号 [21] A.Milik、P.Szmolyan、H.Loefflmann和E.Groeller，《三维自催化器中混合模式振荡的几何》，国际。J.比福尔。混沌应用。科学。工程，8（1998），第505-519页·Zbl 0933.92036号 [22] S.Mischler、C.Mouhot和B.Wennberg，《漂移、扩散和跳跃过程定量混沌传播估计的新方法》，预印本，arXiv:1101.47272011年·Zbl 1333.60174号 [23] I.Stewart，M.Golubitsky和M.Pivato，{对称群胚和耦合细胞网络中的同步模式}，SIAM J.Appl。动态。系统。，2（2003年），第609-646页·Zbl 1089.34032号 [24] P.Szmolyan和M.Wechselberger，《微分方程杂志》，177（2001），第419-453页·Zbl 1007.34057号 [25] A.S.Sznitman，{非线性反射扩散过程，以及混沌和相关涨落的传播}，J.Funct。分析。，56（1984年），第311-336页·Zbl 0547.60080号 [26] A.S.Sznitman，{\it Topics in propagation of chaos}，收录于Ecole d'Ete⁄de Probabilite-S de Saint-Flour XIX-1989，数学课堂讲稿。1464年，柏林施普林格出版社，1991年，第165-251页·Zbl 0732.60114号 [27] J.Touboul，{具有时滞的随机触发状态神经场的平均场方程：导数和噪声诱导跃迁}，Phys。D、 241（2012），第1223-1244页·Zbl 1317.92021号 [28] J.Touboul，《神经场中混沌的传播》，Ann.Appl。概率。，24（2014），第1298-1328页·Zbl 1305.60107号 [29] J.Touboul、G.Hermann和O.Faugeras，《神经平均场动力学中的噪声诱导行为》，SIAM J.Appl。动态。系统。，11（2012），第49-81页·Zbl 1235.92016年 [30] M.Wechselberger，在折叠节点的情况下，鸭翼在（\mathbb｛R｝^3\）中的存在性和分歧，SIAM J.Appl。动态。系统。，4（2005），第101-139页·Zbl 1090.34047号 [31] H.R.Wilson和J.D.Cowan，{模型神经元局部群体中的兴奋和抑制相互作用}，生物物理。J.，12（1972），第1-24页。 [32] H.R.Wilson和J.D.Cowan，《皮层和丘脑神经组织功能动力学的数学理论》，Biol。网络。，13（1973），第55-80页·Zbl 0281.92003号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。