圣埃芬·达托伊斯;埃文，奥列格;卢卡·莱昂尼;文森特·里瓦索;纪尧姆·瓦莱特 旋律湍流。 （英语） Zbl 1436.81095号 Commun公司。数学。物理学。 374，第2期，1179-1228（2020）. 一个共振非线性方程\[i\frac{d\alpha_j}{dt}=\sum_{S=j}^\infty\sum_{k=0}^S C^S_{jk}\bar{\alpha}{S-j}（t）\alpha_k（t）\ alpha_{S-k}（t）\标记{1}\]这是在偏微分方程的弱非线性分析中出现的，其线性扰动的频谱是高度共振的。引言中以一维薛定谔方程线性化问题为例，采用随机张量理论对此进行了说明。主要的主题是（1）解的湍流性质，它可以作为时间上的幂级数来求解。当随机化这个幂级数时（参见[R.M.五月模型生态系统的稳定性和复杂性。作者作了新的介绍。第二版，新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（2001；Zbl 1044.92047号)])，出现了用于量化湍流级联强度的平均Sobolev范数的费曼类微扰理论。结果表明，在许多初始激发低寿命模型的极限下，该扰动的每个阶的主导项都由melonic图给出（§4，定义1，参见[R.古罗，随机张量。牛津：牛津大学出版社（2017；兹比尔1371.81007)]). 作者说，melonic近似已经被称为Dirac相互作用近似[R.H.Kraichnan先生，J.数学。物理学。2, 124–148 (1961;Zbl 0268.76038号)]，它尚未应用于本文所考虑的强共振系统。对于模型（1），本文证明了melonic近似显示能量级联在Sobolev范数增长意义下，至少在一定的初始时间间隔内（§2定理1和§4中证明的定理2）。Sobolev范数由\（S_\gamma（t）=\sum_rr^\gamma\bar{\alpha}_r（t）\alpha_r（t）=\sam_{n\ge0}S_{\gamma，n}t^n）引入。施加协方差（§2（11）），族（C^S_{jk}}{S\in\mathbb{N}}）可以重新编码为随机高斯系综，为（alpha_j）画出了初始条件（§2，（12），（13），（14））。那么本文研究的主要量是平均Sobolev范数{宋体}_\伽马（t）=（S_\gamma（t））{C，\alpha}=\sum_{n\text{even}}\bar{s}_{\gamma，n}t^n\）。由melonic近似得到的相应量用\（S_gamma^{melo}（t）\）等表示。然后本文的主要定理是定理1.平均Sobolev范数的主导增长为{宋体}_\gamma（t）正是melonic图，相应的逼近（S_gamma^{melo}（t。定理2对于任何\（\gamma>1\），存在一个常数\（\delta\），使得\（S_\gamma ^｛melo｝（t）\）在时间上对于\（t\in[0]，\delta]\）单调增长。在解释了如何在§2.2中随机化幂级数之后，在§2.2–2.3中解释了费曼类扰动的树展开。然后从Sobolev范数出发，定义了树（T）和图（G）的振幅（A_r（T））和（A_r（G））（§2（26），（37））。§3给出了微扰理论中第一个非平凡阶（t^2）阶振幅的显式计算。总之，有三种类型的图具有非平凡振幅，而其他类型的图则具有平凡振幅。基于这一事实，情节图在§4（定义1）中进行了定义\（A_r（G））可以用面动量来解释（引理3在附录A中得到证明）。根据这个事实，固定顺序的（A_r（G））和作为（n到infty）的（A_（G）从上面被（n^{-d（G}）（命题1）所限定。然后，证明了melonic图都是支配图，只有支配图（命题3）和（S_gamma^{melo}（t））的局部分析性（命题4），最后一节§4证明了定理1和定理2。审核人：浅田明（高良渚） 引用于4文件 MSC公司： 81T15型 量子场论问题的微扰重整化方法 81T18型 费曼图 81T20型 弯曲时空背景下的量子场论 55年第35季度 NLS方程（非线性薛定谔方程） 35B34型 PDE背景下的共振 81层32 量子场论的矩阵模型和张量模型 81伏73 量子理论中的玻色系统 78A37飞机 离子阱 82B26型 平衡统计力学中的相变（一般） 34L40码 特殊的常微分算子（Dirac、一维Schrödinger等） 46E36型 度量空间上的Sobolev（及类似类型）函数空间；度量空间分析 关键词：随机张量理论;梅隆近似;类费曼微扰;共振系统;能量级联 引文：Zbl 1044.92047号;Zbl 1371.81007号;兹比尔0268.76038 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Dartois}等人，Commun。数学。物理学。374，第2号，1179--1228（2020；Zbl 1436.81095） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Wishart，J.，样本中的广义积矩分布，Biometrika，20A，32（1928） [2] Wigner，E.，无限维加边矩阵的特征向量，《数学年鉴》。，62, 548 (1955) ·Zbl 0067.08403号 [3] Dyson，F.，随机矩阵特征值之间的相关性，Commun。数学。物理。，19, 235 (1970) ·Zbl 0221.62019 [4] 马朱姆达尔，S。；Schehr，G.，《随机矩阵的顶特征值：大偏差和三阶相变》，J.Stat.Mech。(2014) ·兹比尔1456.82019 [5] ‘T Hooft，G.，强相互作用的平面图理论，Nucl。物理学。B、 72461（1974） [6] Di Francesco，P。；金斯伯格博士；Zinn-Justin，J.，《二维重力和随机矩阵》，《物理学》。代表，254，1（1995） [7] 阿美，Rm，一个大型复杂系统会稳定吗？，《自然》，238413（1972） [8] May，Rm，《模型生态系统的稳定性和复杂性》（1973），普林斯顿：普林斯顿大学出版社，普林斯顿 [9] 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