丹尼尔·克雷斯纳;克里斯汀·托布勒 张量积结构线性系统的Krylov子空间方法。 （英语） Zbl 1208.65044号 SIAM J.矩阵分析。申请。 31，第4期，1688-1714（2010）. 应用低张量秩近似，作者发展了求解具有张量积结构的线性系统的有效Krylov子空间方法。例如，这种结构使用张量化有限元基将泊松方程的变分公式离散化为多维超立方体。这些系统可以写成矩阵的（d）Kronecker积之和，例如，在（d=2）的情况下\[（A_1\otimes I_{n_2}+I_{n_1}\otimesA_{n_2}）x=b_1\otIMesb_2，\]其中，（A_s\in\mathbb{R}^{n_s\times n_s}，b_s\in\fathbb{R}^{ns}，s=1,2，\）和（I_{ns}\）表示（ns\times n_s）恒等式矩阵。在重新计算后，给出了控制理论中遇到的著名Sylvester方程。虽然已经为该等式开发了Krylov子空间算法的几个变体，但需要对情况（d>2）进行改进，因为指数缩放的计算成本和内存需求对于更高的维度来说是不利的。高维的低张量秩近似已经由引入L.格拉瑟迪克[计算，72，第3-4期，247-265（2004；Zbl 1058.65036号)]但对于大规模矩阵，该算法中标量倍数的矩阵指数的计算变得昂贵。本文提出的方法仅依赖于矩阵-向量乘法与（A_s）的乘法，计算成本与（d）呈线性增长，而不是指数增长。在得到张量算法、分解和低张量秩近似的一些结果之后，描述了新提出的带有Arnoldi分解的Krylov子空间方法的基本算法以及系数为上Hessenberg形式的压缩线性系统的证明，并给出了一些实现细节。分析了对称正定和非对称正定情形的收敛性。此外，还提出了一种扩展的张量Krylov子空间方法，该方法还允许矩阵-向量乘积与（（A_s）^{-1}）。这些方法是使用MATLAB软件张量工具箱和进行了学术示例验证。应用标准的有限差分离散化方法，以具有由均匀分布的伪随机数组成的可分离右侧的一维泊松方程为对称示例，以对流扩散方程为非对称示例。审核人：乔治·赫伯梅尔（柏林） 引用于2评论引用于85文件 MSC公司： 65层10 线性系统的迭代数值方法 15A69号 多线性代数，张量演算 65号06 含偏微分方程边值问题的有限差分方法 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 35J05型 拉普拉斯算子、亥姆霍兹方程（约化波动方程）、泊松方程 35年25日 二阶椭圆方程的边值问题 65楼30 其他矩阵算法（MSC2010） 15A24号 矩阵方程和恒等式 15甲16 矩阵的指数函数和相似函数 关键词：线性系统;Krylov子空间方法;低张量秩近似;高维性;矩阵的克罗内克积;西尔维斯特方程;MATLAB张量工具箱;泊松方程;元素基础;西尔维斯特方程;算法;矩阵指数;矩阵-向量乘法;阿诺迪分解;海森堡形式;汇聚;有限差分;对流扩散方程 引文：Zbl 1058.65036号 软件：张量工具箱;Matlab公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.Kressner}和\textit{C.Tobler}，SIAM J.矩阵分析。申请。31，第4号，1688--1714（2010；Zbl 1208.65044） 全文： 内政部 链接