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弗朗西斯·博尔塞克斯

范畴代数手册。2：类别和结构。 （英语） Zbl 0843.18001号

数学百科全书及其应用. 51. 剑桥：大学出版社。第十七章，第443页（1994年）。
这是作者关于“范畴代数”的三卷论文的第二卷，在这篇论文中，作者做出了真正的英勇努力，将大约三十页的篇幅浓缩成一个连贯的整体，大多数专家普遍同意的是，50年来对“纯范畴理论”的深入研究取得了重要成果。这绝不是一项容易的任务，因为这项工作大多分散在几十本书、专著、论文、期刊文章、会议记录，甚至预印本和“个人通讯”中。当然，这里并不是全部：“同调代数”和“同伦代数”是最值得注意的遗漏，但即使在这里，函子、自然变换、极限、精确序列、分数范畴等必要的一般范畴背景也被详细介绍，除精确序列外，所有内容都在第一卷中，“基本范畴理论”（1994；Zbl 0803.18001号).
第二卷的副标题是“类别和结构”。它涵盖了加性范畴、交换范畴、正则范畴和精确范畴的所有基础知识，对范畴模型理论进行了一些详细和深入的讨论，并包括对单子和fibrations理论的一个非常简洁的介绍。在大纲形式中，它给出了对称单体范畴和闭范畴的惊人数量的基础知识，以及在这些基础上丰富的基本知识，并且包括但只是顺便提一下拓扑范畴。
前两章专门讨论那些主要类型的范畴，阿贝尔范畴和正则范畴，它们可以公理地被挑选出来，作为具有某些基本类型的有限极限和/或共线，它们通过“精确性”或“交换性质”相互关联。它们引起了广泛的兴趣，因为作为它们公理的结果，它们中有许多绝对基本的构造和定理，可以被视为直接适用于数学中常用的各种结构集和映射。因此，第1章涵盖了阿贝尔范畴（以及预加性和加性范畴）。这是一个合适的开始，因为正是这个理论真正开始了这一切，因为关于核元素和线性映射映像的集合理论论证开始逐渐被视为线性映射本身的属性及其集合理论泛因式分解属性，并且最终，正如“合成”下抽象“态射”的极限和共点属性，即纯粹作为艾伦伯格和麦克莱恩的属性，当时“类别”的概念似乎微不足道。第一章通过Freyd、Mitchell和Lubkin（作者使用了他们的方法）的定位和嵌入定理发展了基本理论。如前所述，从一个具有有趣讽刺意味的精确意义上讲，后一种定理似乎将理论颠倒了，因为它们允许使用模块和它们的元素来验证复杂的抽象“图表追逐”。当然，现在的好处是，在诸如阿贝尔群的滑轮这样的上下文中，“的一个元素”可能已经失去了任何真正的意义，结果是正确的。
第2章，规则（和Barr-exact）类别如下：因为，如果如Freyd所说，“abelian”（带有一个小“a”）仅仅意味着“有一个非常好的结构”，那么“确切的”类别正是那些同样具有“非常好的结构”，但却是“非abelian的”类别。正是在这种背景下，“泛代数”的熟悉的“同余商-映像”因式分解是可能的，而“正则”表态则表现得好像它们是满射映射。这里有一个真正的“关系演算”。然而，作者在这一点上有一个严重的教学问题，因为人们只能通过以如此乏味的细节发展理论，让读者相信，是的，它的行为本质上与集合中的行为一样，才能看到这些类别有多好，或者可以求助于Barr的嵌入定理，该定理有效地将精确的范畴放置在集的滑轮的范畴内（Grothendieck topoi），在那里，表态总是局部上射的，集理论的参数通常就足够了。但层理论是第3卷【层的分类（1994）】论文的一部分。尽管如此，作者还是选择概述巴尔定理，并使用天真的读者肯定会认为是普通的（如果有点挑剔的话）集合理论推理，通过断言这些确实是在尚未完全解释的情况下进行的，为他在关系演算中的证明提供了正当性，“地形的内部语言和逻辑”。坦率地说，这位评论员也不确定如何绕过这个问题。
本卷的第二部分广泛涉及现在所称的“范畴模型理论”。它再次从开头开始：代数理论，第三章，致力于劳弗尔通过“代数理论”的概念，以函数的形式，对“普适代数”进行非常优雅的重铸，对他来说，“代数理论“成为一个小范畴（{mathcal T}），其对象的形式是（X^n），其中（X^n\）要求是对象（X）与自身（n）次的范畴积。“代数理论模型”只是在（{mathcal T}）上的一个保积函子，它的值在另一个范畴中，例如集的范畴中，而“模型的态射”只是这种保积函元的自然变换。本章中的阐述是非常仔细的，详细解释了这种“泛代数的范畴方法”和可能更熟悉的“经典方法”之间的关系，正如Lawvere所说的理论模型和理论本身之间的“结构-理论”二元性（尽管作者没有使用这个术语）。给出了Lawvere的正则投影生成器定理及其“代数函子”变体，该定理刻画了那些基于集合的范畴，这些范畴是代数理论模型的范畴（“代数范畴”）。本章最后讨论了“交换理论”、理论的“张量积”和“盛田对偶性一瞥”。
第一眼看上去，第四章《蒙娜德》可能对初学者来说不合时宜。范畴上的单子（M）（=“三元”）只是范畴上的内函子以及两个自然变换，即所谓的“乘法”和“单位”，它们满足的公理看起来与幺半群公理完全相同，用函子的组合替换了（M）的笛卡尔积。它们出现在同调代数中，是产生分解的有效方法，并且范畴上的每对伴随函子（M=UF）都会产生一个。一种非常正式的结构，单体的Eilenberg-Moore“代数”范畴（仅由从（M（X）到（X）的箭头组成，与（M）的乘法和单位兼容），有一个明显的函子回到原来的范畴，并且这个函子有一个几乎同样明显的左伴随，发送（X）到在\（X\）处计算的乘法，即对象\（X_）上的“自由代数”。这两个函子的组合返回了任何一对伴随函子的单子（M）和右伴随“基本对象”函子（U），这些函子通过这类“代数”进行因子分解。如果因式分解是等价的，则称（U）为“一元”（=“三元”）。令人惊讶和相关的是，这些形式上的“代数”实际上是代数：在集合范畴上，任何一类“泛代数”（包括那些具有无穷运算的泛代数）的基本目标函子只要有左伴随（自由代数），都是一元的。因此，不仅是群、环、模等一元空间，而且是紧Hausdorff空间和完备原子布尔代数。它们的整个结构是通过自由代数捕获的，其中包含了生成器及其单词的级联乘法。所有这些范畴都与Lawvere的有限理论（Barr-）是完全一致的，与\（{mathcal S}ets\）上的“秩单体”相对应。非常值得注意的是，在本章中，作者不仅使这些乍看起来似乎难以置信的事实看起来合理，而且在一章中收集了几乎所有关于函子“单子性准则”的有用定理及其相关的提升和稳定性性质。这是一份真正有用且简明扼要的纲要。他在结束这一章时简要介绍了“模的下降理论”，并在这里解释了它的相关性：“交换环的有效下降映射正是那些与其相关的模函子是（co）一元的”。特别是这一观察，以及本章相当多的真正内容，完全是由于乔恩·贝克这是一个归属无可争议的案例。作者并非总是一丝不苟地遵循不加归因的政策，这对他们都是一种伤害。这里也没有关于“贝克·切瓦利条件”的任何讨论，该条件在示例中得到了满足，也是它发挥作用的原因。不幸的是，第8章中也没有对其进行任何讨论，这是另一个似乎拥有天然家园的地方。这似乎是为数不多的缺失主题之一，大多数专家都会同意，与其他被纳入的主题一样，它也是“主流”。
第五章，可及范畴，更直接地回到范畴模型理论。概括Lawvere的开创性方法，“理论”正式成为一个具有某些“指定（可能为空）结构”的小范畴，而\（{\mathcal s}ets\）中的“模型”成为\（{\ mathcal s}ets）的函子，在某种明确的意义上“保留”结构。这里的目的是在内部描述这些类别，它们是某些特定类型理论的模型类别。因此，将Lawvere的“有限幂”替换为“有限极限”，导致了“局部有限可表示”模型类别的概念，其特征是共完备并具有一组生成器，其中每一个都是“有限可表示”的，即其相关的协变可表示函子保持过滤的共鸣。将“过滤性结肠炎”相应地替换为“（α）过滤性结膜炎”，其中，α是一些常规基数，这导致了“局部（α）可呈现”类别的Gabriel-Ulmer理论。最后，将“保极限函子”替换为“平坦函子”（即，可表示的滤波共线）导致了“可访问类别”的概念及其作为Isbell-Ehresmann“草图”模型类别的最终特征（这些草图是一个小类别，具有一组不同的锥和古柯酮，成为模型中的限制和共鸣）。尽管本章在某种程度上是技术性的，它不可避免地对“可访问程度”进行了基数讨论，它确实提供了对理论计算机科学特别感兴趣的范畴理论这一重要部分的快速浏览，并为“几何理论”的概念及其“分类拓扑”铺平了道路，这些概念在逻辑上将出现在本手册的下一卷中。范畴模型理论，就其本身而言，以本章结束。
第6章简要介绍了“丰富范畴理论”，其中“hom-set”是“丰富的”，即它们在另一个范畴（{mathcal V}）中取值，至少只需要为每对（（a，B）定义一个双函数“乘法”或“张量积”（a\otimes B）\)它的对象。作为范畴上的一个运算，这个张量积被要求是结合的、酉的和交换的，直到（指定的）相干同构，即，（{mathcal V}）是一个“对称单体范畴”。因此，“（{\mathcal B}）是一个（{\mathcal V}）丰富的类别”被定义为“类别的hom-set定义”，只有在这里才是（\operatorname{霍姆}_{mathcal B}（X，Y）只是（{mathcal V}）的一个对象，而（{mathcal V}）丰富范畴的“合成定律”是由一个态射（operatorname）给出的{霍姆}_{\mathcal B}（X，Y）\otimes\operatorname{霍姆}_{\mathcal B}（Y，Z）\to\operatorname{霍姆}_{\mathcal B}（X，Z）\）在\（{\mathcal V}\）中。如果以笛卡尔积为张量的\（{mathcal V}\）是\（{mathcal S}ets），则可以恢复普通范畴，但这里唯一必要涉及的“hom-sets”是\（}）的那些。Lawvere观察到了一个引人注目的例子：扩展正实数的集合（下划线{mathbb{R}}_+\）是一个范畴，因为它是序关系下的偏序集，是作为张量积加法的对称单体范畴。如果（X）是一个度量空间，那么它的距离函数将（X）变成一个（下划线{\mathbb{R}}_+\）丰富的范畴。第六章还简要介绍了张量具有右伴随的对称单体闭范畴。（这本身就是一个主题，特别是当张量是范畴积时，它们被称为笛卡尔闭范畴。）富足范畴理论的基本定义包括（{mathcal V}）-函子、“基的变化”、富足附加词、“加权极限”和广义指数（“函子”）都有保险。他还在本章中讨论了第一卷分销商理论的丰富版本。除此之外，在该卷的第6章中，他证明了“一个小范畴（{mathcal a}）是Cauchy完全的”（意思是“（{mathcal a}\）split中的所有幂等元”）等同于断言“来自1to（{\mathcal A}）有右伴随当且仅当它与中的函子同构1到\（{\mathcal A}\）'。在一系列的练习中（事实上，除了整章的四个练习外，其他练习都是如此），他概述了一个证据，证明在分销商丰富的类别上下文中，如果一个人看到一个度量空间（M）有一个（underline\mathbb{右}_+\)-如上面Lawvere的例子所示，丰富了类别，并注意到\（\underline\mathbb{右}_+\)不仅是加法下的对称单体，而且是完备的、余完备的和闭的（以\（[s，t]=\max\{s-t，0\}\）为余传感器），那么度量空间\（M\）在经典意义上是Cauchy完备的，如果第一卷的恒等式定理在丰富意义上成立；简而言之，“（M）是（经典）柯西完备的，如果它是（underline\mathbb{右}_+\)-丰富（绝对地）柯西完全”。这是第一卷长期以来承诺使用术语“Cauchy complete”作为“所有幂等元在\（{\mathcal A}\）split中的缩写”的理由。虽然结果（本质上是由于Lawvere）像数学一样令人着迷，但用它作为理由，将Cauchy这个庄严的名字附加到这个简单（但非常重要）的分类概念上，这个概念与Cauchy's的工作关联如此之小，似乎还是有点站不住脚。”“Karoubi-complete”或“Lawvere-complete”更为合适，因此错过了重建合理术语的好机会。
作者在本章中选择的主题似乎是合理的，因为这是对“澳大利亚学派”提出的“编织单体类”领域的介绍。但对于最近的Joyal-Street作品，更详细的文本如下G.M.凯利丰富范畴理论的基本概念[Lond.Math.Soc.Lect.Note Ser.64（1982；Zbl 0478.18005号)]可用。
第7章，拓扑分类，非常简短，只有二十多页。范畴理论这一部分的目的是范畴地捕捉拓扑空间和相关函子的范畴的性质。由于只有在极少数情况下（如紧致Hausdorff空间），这些范畴在任何合理的使用中都是代数范畴，因此几乎没有范畴模型理论的任何方法在这里适用，也没有出现过一组看起来令人满意的整齐包装的范畴公理，至少没有什么能与巴尔的“精确类别”概念的优雅相媲美。拓扑空间在分类上是如此“不正常”，以至于格罗森迪克学派正式提出用其上的集值带的范畴来替换空间，因为这一范畴无论如何都包含了他们想要研究的所有主要同调不变量，并且作为一个范畴，几乎与集的范畴一样好。事实上，这就是他们将这种类型的滑轮称为拓扑的原因。然而，普通意义上的空间范畴是丰富的，并且为范畴理论家提供了丰富的例子来源，甚至还有更多的反例！“拓扑范畴”的形式理论，主要是由于H.Herrlich先生合作者提出了一个肯定经久不衰的概念，即拓扑函子的概念。这种函子明确地捕获了布尔巴基的基于集合的初始和最终结构概念（如果它与给定映射族的组合是一个态射，则f是一个状态射），但被重新表述为相对于某些必然忠实的“潜在函子”的态射的小锥或余核的条件。拓扑空间到\（{\mathcal S}ets\）仍然是典型的示例。虽然关于拓扑范畴的文献很多，但这是作者在任何深度上讨论的理论的唯一部分。事实上，这一章的大部分篇幅都致力于讨论对拓扑空间“好范畴”的永恒追求，“好”由具有绝对意识的人定义，“笛卡尔闭合”是一个主要要求。通常的嫌疑人被围捕，“紧凑生成空间”的罪魁祸首被逮捕。
最后的第八章，纤维范畴，试图对格罗森迪克最初的“纤维”范畴理论和贝纳布的新颖想法给予一个明确的初步解释，即在基础中给予纤维绝对的中心地位。这是一个重要的话题，由于文献（术语和普通逻辑）中存在大量混淆，因此迫切需要一些更容易获得的“谎言”信息来源。在大多数情况下，作者以与A.格罗森迪克【Cate gories fibrées et descente，in：SGA1，Lect.Notes Math.224，Exposé6（1971；Zbl 0234.14002号)]但不幸的是，他们研究的真正动机似乎放错了地方。对于Grothendieck，给定范畴\（{mathcal E}\）上的fibrations范畴与\（{mathcal E{\）上反变伪函子范畴的2-等价性（“Grothend ieck构造”）这意味着层理论和下降理论可以放在一个平衡的基础上，而不必背负伪函子的相干同构的包袱。伪函子比比皆是，例如，任何有“回拉”的地方。这个“包袱”不能真正被忽视或“一劳永逸地选择”，仍然属于同一类别[大致上R.Paré和D.舒马赫，抽象族和伴随函子定理，in：索引范畴。应用。，莱克特。数学笔记。661, 1-125 (1978;Zbl 0389.18002号)]从群的同态被视为单对象范畴的函子这一事实可以清楚地看出，它是一个fibration，当它是surpjective时。然后，选择集合理论截面（横截面）是对纤维的“劈开”，而相关的伪函子正是延伸的相关“Schreier因子系统”。上面引用的2-当量是因子系统和群扩展的对应关系。如果可以选择功能分裂，则纤维是“分裂”的，在这种情况下，相应的假函子是函子。但并不是所有组扩展都被拆分。Grothendieck没有提到这个澄清的例子，但他对术语的选择清楚地表明他意识到了这个问题。Grothendieck通过“fibrations”解决的问题类似于想象Schreier因子系统以某种方式自然地出现在各地（就像伪函子一样），最终有人发现它们只是描述更简单的群扩张概念的一种方法。
Benabou有了一个新颖的想法，将Grothendieck为fibrations打算扮演的核心角色再向前推进一步，并为他们提出了在数学新基础中扮演核心角色的建议。他展示了一个范畴的对象族的概念是如何通过fibration很好地描述的，并通过fibrations的属性说明了限制、完整性和可定义性是如何与一些基本范畴在逻辑上和内在地联系在一起的。据审稿人所知，该计划尚未完成，作者提交的全部内容都是以前几乎只是“私下流传”的书面部分。尽管如此，人们还是会为此感到感激，而这一章关于谎言的内容确实汇集了许多人的杰出作品约翰·格雷特别地。像格罗森迪克一样，他们没有被直接引用。
但所有这些批评都是吹毛求疵。到目前为止，这是一项了不起的工作，值得数学界的感激。
审核人：J.Duskin（水牛）

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MSC公司：

18-00 与范畴理论有关的一般参考书（手册、词典、书目等）

关键词：

常规类别;Barr-exact类别;正则表态;泛代数;关系演算;格罗森迪克地形;范畴模型理论;代数理论;结构主义;代数范畴;单子;三元组;一元性标准;模的下降理论;自由代数;可访问类别;Isbell-Ehresmann草图;可达性程度;丰富范畴理论;张量积;对称单体范畴;共传感器;拓扑范畴;拓扑函子;最终构筑物;纤维类;功能性分裂;因子系统;组扩展名;维化理论;伪函子;索引类别;初始结构;阿贝尔范畴;加性类别;泛因子分解性质;限制;上极限;嵌入定理;准确的类别;成套滑轮的类别;正则投影发生器;森田对偶;关闭的类别;笛卡尔闭合;指数运算;分销商;度量空间;柯西完成

引文：

Zbl 0478.18005号;Zbl 0234.14002号;Zbl 0803.18001号;Zbl 0389.18002号
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\textit{F.Borceux}，范畴代数手册。2：类别和结构。剑桥：大学出版社（1994；Zbl 0843.18001）