胡安·卡米诺。;J.W.赫尔顿。;罗伯特·斯凯尔顿（Robert E.Skelton）。;叶洁平 矩阵不等式：自动确定凸性的符号过程。 （英语） Zbl 1046.68139号 积分方程运算。理论 46，第4期，399-454（2003）. 本文描述了确定非对易有理函数为矩阵凸或矩阵正的区域的算法及其背后的理论。本文介绍了在NCAlgebra（数学包）中实现的算法及其许多使用示例。在第一部分（约25页）中，工程科学专业人士故意选择了这种风格，以便于阅读，其中涉及矩阵及其逆多项式的不等式以及相关的优化问题变得非常重要；矩阵凸性，特别是内点方法的应用。第二部分（剩余30页）专门讨论理论结果和证明。设\（vec{A}=\{A_1，\ldots，A_m\}，\vec{X}=\\{X_1，\ ldot，X_k\}\）为非对易变量，\（\Gamma（\vec}A}，\ vec{X}）为待分析的非对易有理函数；例如\（\Gamma（A，D，E；X，Y）=A（I+DXD^T）^{-1}甲^T+E（YXY^T）E^T，）\（X=X^T，\）其中上标\（T\）表示对合。实际上，（vec{A}）代表已知矩阵，（vec{X}）表示未知矩阵，上标（T）表示转置。通过抑制\（\vec{A}，\）（这样写\（\Gamma（X）\）就有意义了）和定义\（\ve c{Z}=（\vec{A}，\vec}X}），符号通常会被简化方向导数\（D\Gamma（\vec{X}）[\vec}H}]=\lim_{t\rightarrow0}\frac{1}{t}（\Gamma-（\vec{X}+t\vec{H}）-\ Gamma]=\frac{D^2}{dt^2}\Gamma（\vec{X}+t\vec{H}）|{t=0}\）的定义大体上与通常一样。请注意，Hessian在\（\vec{H}.\）中是二次的。形式表达式\（{\mathcal G}_\rho:=\{\vec}Z}:\rho_j（\vec{Z}）\geq 0，j=1，\dots，r\}\）称为符号不等式域（SID）\（{mathcal M}（{mathcal G}_\rho））是产生半正定矩阵的所有矩阵（！）-元组（\vec{Z}）的集合，（j=1，\dots，r.）一个非交换有理函数（Q（\vec{Z}）[\vec}H}]中的二次型在SID上称为矩阵正二次型，\）只要在（{mathcal M}（{matchcal G}_rho）中选择矩阵元组\（vec{Z}），则所有矩阵元组都是正半定的函数（\Gamma（\vec{A}，\vec}X}）被称为SID上的矩阵凸w.r.t.}（{\mathcal G}_\rho）为了传达更多涉及的数学知识，我们提到了以下几点：a.二次型非交换有理函数的表示定理（\vec{H}；）b.非交换LDU算法的一个定理：具有非交换有权函数项的对称矩阵可以用形式\（LDL^T，\）分解，其中\（L\）是下三角，而\（D\）是“大致”对角线；c.关于形式为（S={[（Hv_1）^T，dots（Hv_l）^T]^T:H\text{对称实}n次n的子空间余维的结果审核人：Alexander Kovačec（科英布拉） 引用于三评论引用于23文件 MSC公司： 68瓦30 符号计算和代数计算 47升99 线性空间与算子代数 93A99型 一般系统论 15A39型 矩阵的线性不等式 14页99 实代数和实解析几何 关键词：非交换代数;Groebner基地;正半定;凸性;NCAlgebra大学;算法 软件：NCAlgebra大学 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.F.Camino}等人，《积分方程操作》。理论46，第4期，399--454（2003；Zbl 1046.68139） 全文： 内政部