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埃里希·格拉德尔;维德州帕库萨

秩逻辑死了，秩逻辑万岁！ （英语） Zbl 1425.68134号

J.塞姆。日志。 84，第1号，54-87（2019）.
带后继定点逻辑的PTIME可计算性识别[N.Immerman公司，J.计算。系统。科学。25，76-98（1982年；Zbl 0503.68032号);M.瓦尔迪，“关系查询语言的复杂性”，摘自：第14届ACM计算理论研讨会论文集，STOC'82。纽约州纽约市：计算机机械协会（ACM）。137–146（1982）]有时被认为是不充分的，因为有必要增加继任者[M.格罗，“寻求逻辑捕获PTIME”，载于：IEEE第23届计算机科学逻辑研讨会论文集，LICS’08。加利福尼亚州洛斯·阿拉米托斯：IEEE计算机协会。267–271 (2008;doi:10.1109/LICS.2008.11)]. 这激发了一些可能等同于PTIME的逻辑建议，包括[A.达瓦尔等，“带秩算子的逻辑”，载于：IEEE第24届计算机科学逻辑研讨会论文集，LICS’09。加利福尼亚州洛斯·阿拉米托斯：IEEE计算机协会。113–122 (2009;doi:10.1109/LICS.2009.24)]. 在本文中，我们证明了所提出的秩逻辑严格弱于PTIME，尽管本文中提出的扩展可能是等效的。
给定一个素数（p\）、一个二进制谓词（\varphi\）和一个域\（a\）的结构\（\mathfrak a\）以及与\（\varfi\）具有相同签名的结构，定义秩运算符\（\mathsf{rk}点\)如下所示。设（mathbb F_p）是（p）元的有限域，并假设（M=M_{varphi}^{mathfrak A}）是这样的矩阵，对于每个（A，b\ in A\），如果（（{mathfrak A}，A，b）models\varphi\），则第（A，b。然后\（[\mathsf{rk}点\，\varphi（x，y）]^{\mathfrak A}\）是\（\ mathbb F_p\）中\（M\）的秩。（对于任何\（n\），可以为arity \（2n\）的\（\varphi\）定义秩运算符。）设FPR是由\（\mathsf扩展的定点逻辑{rk}点\)对于所有素数\（p\），让FPR*是由操作符\（\mathsf{rk}^*\）扩展的定点逻辑，其中\（[\mathsf{rk}^*\，\varphi（x，y），p]^{\mathfrak A}=[\mathsf{rk}点\，\varphi（x，y）]^{\mathfrak A}\）。第一个主要（技术）结果的一个结果是FPR\（<\）FPR*\（\leq\）PTIME。该技术成果是对蔡建友（J.-Y.Cai）等[Combinatorica 12，No.4，389–410（1992；Zbl 0785.68043号)]：对于每个素数\（p\），都有一类结构\（\mathcal K_p\），它具有一个保持秩的自同构群，因此\（\mathsf{rk}点\)定点逻辑需要在\（\mathcal K_p\）上捕获PTIME。但是，\（\mathsf｛rk｝^*\）不能在FPR中，所以FPR\（<\）FPR*，但FPR*和PTIME之间的关系仍然不确定。
第二个主要结果涉及可解性算子（请参见[A.达瓦尔等，Log。方法计算。科学。9，第4期，第12号论文，26页（2013年；Zbl 1314.68147号)])：给定域\（a\）的二元谓词\（\varphi\）、\（\mathfrak a\）（如上所示），我们得到如上所示的\（M=M_{\varphi}^{\mathfrak a}\）和\（[\mathsf{slv}p如果方程（M\vec x=\mathbf 1）在\（\mathbb F_p\）中是可解的，那么，\varphi（x，y）]^{\mathfrak A}\）是\（1），否则，其中\（\mathbf 1。然后，对于每个\（p\），一阶逻辑扩展为\（\mathsf{slv}p\)严格弱于由\（\mathsf）扩展的一阶逻辑{rk}点\).
这篇论文基本上是自足的，虽然证明很长很复杂，但它们相对容易获得。
审核人：格雷戈里·洛伦·麦科姆（坦帕）

引用于1文件

MSC公司：

19年第68季度 描述复杂性和有限模型
03C13号机组 有限结构模型理论
15B33型 特殊环上的矩阵（四元数、有限域等）
20对25 代数、几何或组合结构的有限自同构群

关键词：

有限模型理论;描述性复杂性;带计数的定点逻辑;集体行动;秩逻辑;可解算子

引文：

Zbl 0503.68032号;Zbl 0785.68043号;Zbl 1314.68147号
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\textit{E.Grädel}和\textit{W.Pakusa}，J.Symb。日志。84，编号1，54-87（2019；Zbl 1425.68134）
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参考文献：

[1] 阿布扎伊德。，希腊。，格罗赫姆。，和巴基斯坦。，具有小阿贝尔色类的结构上的无选择多项式时间，《2014年计算机科学数学基础》（Csuhaj-VarjöE.，DietzfelbingerM.和EsikZ.，编辑），《计算机科学讲义》，第8634卷，柏林斯普林格出版社，2014年，第50-62页·兹比尔1426.68106
[2] Atserias公司。，布拉托夫。，和达瓦拉。，仿射方程组和计数无穷逻辑。理论计算机科学，第410卷（2009），第1666-1683.10.1016/j.tcs.2008.12.049页·Zbl 1168.68040号 ·doi:10.1016/j.tcs.2008.12.049
[3] BuntrockG公司。，赫斯特兰夫大学。，大坝C。，和MeinelC。，logspace-mod-class的结构和重要性，《91年计算机科学理论方面研讨会》（ChoffrutC.andJantzenM.，编辑），柏林斯普林格出版社，1991年，第360-371页·Zbl 0764.68041号
[4] CaiJ.、。，FürerM和ImmermanN。，用于图形识别的变量数的最佳下界。Combinatorica，第12卷（1992），第4期，第389-410.1007/BF01305232页·Zbl 0785.68043号 ·doi:10.1007/BF01305232
[5] 达瓦拉。，带计数的定点逻辑的性质和威力。SIGLOG新闻，第2卷（2015年），第8-21页。
[6] 达瓦拉。，希腊。，霍尔姆B。，科普钦斯基。，和巴基斯坦。，群和环上线性方程组的可定义性。《计算机科学中的逻辑方法》，第9卷（2013年），第4期·Zbl 1314.68147号
[7] 达瓦拉。，格罗赫姆。，霍尔姆B。，和LaubnerB。，《带秩算子的逻辑学》，第24届计算机科学逻辑年度研讨会论文集，LICS 2009，IEEE计算机学会，华盛顿特区，2009年，第113-122页。
[8] 达瓦拉。和HolmB。，《具有代数规则的圆石游戏》，《自动机、语言和编程——2012年国际CALP》（CzumajA.、MehlhornK、PittsA.和WattenhoferR.编辑），柏林施普林格出版社，2012年，第251-262页·Zbl 1367.68105号
[9] 埃宾豪斯-D.和FlumJ。，有限模型理论，第二版，Springer-Verlag，柏林，1999年·Zbl 0932.03032号
[10] 希腊。，科莱提斯省。，利比金。，三月。，SpencerJ.，VardiM，威尼斯。，和温斯坦。，有限模型理论及其应用，Springer，2007年·Zbl 1133.03001号
[11] 格罗赫姆。，寻求逻辑捕获PTIME，第23届计算机科学逻辑年度研讨会论文集，LICS 2008，IEEE计算机学会，华盛顿特区，2008，第267-271页。
[12] 古里维奇。和ShelahS。，关于有限刚性结构，本期刊，第61卷（1996年），第02期，第549-562页·Zbl 0860.03029号
[13] 大厅。，群体理论，美国数学学会，普罗维登斯，RI，1976年。
[14] 赫斯特兰夫大学。，赖斯S。，和VollmerH.，关于logspace mod类的闭包属性的注释。《信息处理信函》，第75卷（2000），第3期，第91-93.10.1016/S0020-0190（00）00091-0页·Zbl 0953.68549号 ·doi:10.1016/S0020-0190（00）00091-0
[15] 霍尔姆B。，线性代数的描述复杂性，博士论文，剑桥大学，2010年。
[16] LaubnerB。，图的结构和多项式时间表征的新逻辑，博士论文，柏林洪堡大学，2011年。
[17] 奥托姆。，有界变量逻辑与计数：有限模型研究，Springer，柏林，1997·Zbl 0869.03018号
[18] 巴基斯坦。，线性代数算子有限模型理论，Staatsexamensarbeit，RWTH亚琛大学，2010年。
[19] 巴基斯坦。，线性方程组和多项式时间逻辑特征的研究，亚琛RWTH大学博士论文，2016年。
[20] 帕帕迪米特里奥。，计算复杂性，Addison-Wesley，波士顿，1995年·Zbl 0557.68033号
[21] 托兰岛。，关于图同构的硬度。SIAM计算机杂志，第33卷（2004），第5期，第1093-1108.10.1137/S009753970241096X页·Zbl 1055.05106号 ·doi:10.1137/S009753970241096X
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