阿纳斯塔西奥斯·马利奥斯 通过向量带轮对微分几何进行公理化处理。应用。 （英语） 兹比尔0910.53013 数学。日本。 48，第1期，93-180（1998）. 毫无疑问，微分流形和纤维束的几何学是一个与许多数学领域和众多应用相互作用的丰富理论的核心。然而，光滑流形的理论（基于普通微分学）不足以处理像圆形、带角点或奇点的空间等空间。这些缺陷导致了对各种微分空间的研究，一般来说，这些微分空间中考虑了新的光滑函数类，扩大了普通函数类。大约在1998年，本论文的作者从一个完全不同的角度出发，提出了用（X）上的酉、交换和结合（mathbb{C}）-代数的任意层（{mathcalA}）替换先前空间（当然包括经典情况）的函数结构层的想法，从而得到了（mathbb{C}）代数化空间（（X，{mathcalA}）的概念。他进一步假设与\（X，｛\mathcal A｝）\）相关联的是一个微分三元组\（（｛\mathcal A｝，\partial，\Omega）\），其中\（\Omega\）是\（X\）上的\（｛\mathcal A｝\）-模，\（\partial:｛\mathcal A｝\ to \ Omega\）A \（\mathbb｛C｝\）-满足莱布尼茨条件\（\partial（s\cdot t）=s\cdot\partial（t）+t\cdot\partial（s）\）用于打开{\mathcal A}（U）\）和\（U\subseteq X\）中的任何本地节\（s，t\）。应该注意的是，虽然所使用的术语让人联想到经典理论，但并不涉及任何类型的可微性，这样一个三元组的结构实际上是由卡勒（代数）微分理论所保证的。前面的考虑构成了作者开发的抽象微分几何的基础，他在这方面的研究计划在最近的两卷本书中达到了顶峰[A.马利奥斯，'矢量滑轮的几何结构。《微分几何的公理化方法》（《数学应用》第439页，Kluwer，Dordrecht）（1998年；Zbl 0904.18001号,Zbl 0904.18002号)]. 本文主要是对之前工作的广泛总结（约90页。当然，本研究最重要的对象是矢量带轮及其连接。通过前者，我们表示\（{mathcal A}\）-模\（{mathcal E}\）over \（X\），其局部看起来像\（{mathcal A}^n \）（如果\（{mathcal E}\）的秩是\（n E}），这样\（D（\alpha\cdot s）=\alpha\ cdot D（s）+s \otimes\ partial（\alpha）\），用于打开任何\（\ alpha\ in{\mathcal A}（U）\）、\（s \ in{\ mathcal E}（U）\）和\（U\subseteq X\）。在此基础上建立的理论是对普通向量丛上的连接理论的抽象，并包含诸如存在定理、诱导连接、局部连接形式等“经典”主题的类似物。Christoffel符号、黎曼和厄米特连接，以及各种曲率、Cartan结构方程、Bianchi恒等式、平面连接、Chern类、Weil积分定理、Maxwell场的分类（即具有连接的线束），以及许多其他。令人惊讶的是，在这个抽象框架中，通过仅应用带轮和带轮同调理论中的代数-拓扑方法，就可以获得大量标准微分几何，而不存在任何可微性。当然，在某些情况下（例如，Bianchi恒等式、基于抽象Frobenius可积条件的各种平坦性概念的等价性、Weil的完整性定理、Maxwell场的分类），还应添加一些其他公理。如果我们考虑到当前框架的一般性和可用的工具很少，这是很自然的，与经典案例中存在的丰富手段相比，这是因为微积分的灵活性和丰富性。在这方面，在某些阶段，人们应该假设（单独或组合）广义德拉姆复形的精确性\[0\到\mathbb{C}\到{mathcal A}@>\partial>>\Omega\equiv\Omega ^1@>d^1>>\欧米茄^2\到\cdots\到\Ome加^n@>d*n>\cdots\]（其中\（Omega^n:=\wedge^n\Omega\）和\（d^i）是\（偏）\的适当扩展），指数层序列的精确性\[0\到\mathbb{Z}@>i>>{\mathcal A}@>e>>{\ mathcal A}^\bullet\到1\]\（（{mathcalA}^bullet）是（{matHCalA}）和（e）适当指数态射的可逆元素的群层，以及等式\[{1\over2\pii}\widetilde\partial\circe=\partial，\]\（\widetilde\partial\）是由\（\widetilde\partial（s）：=s^｛-1｝\cdot\partial（s）\）给出的对数微分，对于任何\（s\in｛\mathcal A｝^\bullet（U）\cong｛\mathcal A｝（U）^\bullet \）和\（U\substeq X\）开。然而，合适的拓扑代数滑轮提供了满足先前假设的条件。本文还包括两章，讨论了带轮理论、上同调和向量带轮代数的基础知识，一章涉及各种示例和应用，以及前面提到的三个附录。没有证据。大量的概念、陈述和评论。这一阐述不仅解释了这种新方法中发生的事情，而且澄清了从经典理论到抽象概念的转变过程中出现的所有微妙之处。总之，本文是对标题中主题的一个非常信息性的介绍，在研究了这一主题之后，感兴趣的几何学家一定会转向上述同一作者的书，以获取详细信息。审核人备注。主滑轮的几何形状（在这个抽象的背景下模拟主捆）是评审员研究项目的目标；例如，看他的文章[E.瓦西里奥，“主滑轮上的连接”，载于《微分几何的新发展》（布达佩斯，1996），459-483（1999））和本论文的参考文献。审稿人了解到，A.Mallios正在完成第三卷，以同样的精神处理规范理论和变分问题。审核人：E.Vassiliou（雅典） 引用于4评论引用于13文件 理学硕士： 53二氧化碳 联系（一般理论） 2015年1月18日 抽象流形和光纤束（分类理论方面） 57兰特 微分拓扑中的特征类和特征数 58A03型 可微流形的拓扑理论方法 58B20型 无穷维流形上的黎曼、芬斯勒等几何结构 53二氧化碳 向量束上的特殊连接和度量（Hermite-Einstein，Yang-Mills） 58D27个 微分几何结构的模问题 37J35型 完全可积有限维哈密顿系统，积分方法，可积性检验 37K10型 完全可积无穷维哈密顿和拉格朗日系统、积分方法、可积性检验、可积层次（KdV、KP、Toda等） 55N30型 代数拓扑中的剪切上同调 18层20 预提升和滑轮、堆垛、下降条件（理论方面） 14层05 滑轮、滑轮衍生类别等（MSC2010） 关键词：抽象微分几何;矢量滑轮 引文：兹标0904.18001;Zbl 0904.18002号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Mallios}，数学。日本。48，编号1，93--180（1998；Zbl 0910.53013）