查尔斯·西姆斯。 有限呈现群的计算。 （英语） Zbl 0828.20001 数学百科全书及其应用.48。剑桥：剑桥大学出版社。xiii，604 p.（1994年）。 马克斯·德恩在1911年提出的有限呈现（f.p.）群的词、共轭和同构问题的公式可能是对研究群的算法提出明确要求的第一个例子。到1955年，Novikov、Boone和其他人证明了Dehn问题以及随后许多其他最自然的问题（例如，如果给定的f.p群是平凡的、有限的、阿贝尔的等）的算法不可解性，这可能对研究f.p.群的计算方法的希望是一个致命的打击。那么，一本600页的关于f.p.群计算方法的书还剩下什么呢？确实有很多不同的方法。它有助于将这些内容分为两部分：一方面，存在“试错法”程序，在大多数情况下以回溯法的形式，对于这种程序，可以证明“如果由有限表示给出的组确实是有限的，那么该方法最终将验证这一事实”。作者创造了一个非常合适的术语“验证方法”，与之相对应的是（决策）算法。另一方面，对于f.p.群的阿贝尔、幂零或可解因子群的计算，也有确定性方法。这两部分各占全书约一半的篇幅，第一章2-7，第二章8-11。作者的中心目标是尽可能不把书中描述的许多技术上完全不同的方法作为不相关工具的盒子，而是作为相当一般的数学思想的实例。作为一个主要的这样的想法，他使用了重写系统的理论及其与自动机的联系。这需要大量使用理论计算机科学家比群体理论家更熟悉的概念，事实上，作者表示，他打算以一种双方都能理解的方式讲述他的故事。第一章“基本概念”总结了幺半群和群的基本概念。它还介绍了计算机科学中的一些概念，如可计算性和回溯搜索，并解释了书中描述过程的方式。第2章介绍“重写系统”。这是对规范形式、汇合测试和重写策略的思想的一个非常清晰和精确的描述，这些思想导致了Knuth-Bendix过程。它不仅提供了一个安全的数学基础，而且基于作者在该领域程序设计方面的长期经验提供了许多启发式提示。与前一章一样，也在第3章“自动机和理性语言”中，概念的引入不仅非常注重准确性，而且还通过许多精心挑选的示例进行了说明。然而，群理论家必须在这里学习许多新的术语和概念，由于高度的通用性和形式性，以及特殊类型自动机的复杂命名，使得这有点困难，通过这种命名，最终将所有这些应用于f.p.群的目的有时可能会迷失。第3.5节解释了引入自动机的一个主要原因，即自动机用作重写系统的索引结构。此外，在第4章和第5章中，它们在解释所谓的“陪集枚举方法”方面发挥了中心作用。然而，考虑到在自动机理论上投入的所有努力，令人惊讶的是，“自动组”的主题刚刚在第3章的开头提到，其中引用了B.爱泼斯坦等人，《分组中的文字处理》（1992年；2017年7月64日)给出了。当然，当西姆斯写这本书时，人们普遍认为（当然是这位评论家），自动群的概念局限于一类特殊的群，这些群具有一定的几何相关性，爱泼斯坦等人的书已经充分涵盖了这一点。然而，与此同时，某些著名的f.p.群抵制了所有其他方法，例如由Derek f.Holt证明是无限的，使用Knuth-Bendix方法确定它们是自动的，然后检查自动结构。由于这一经验表明，试图构建和研究群的自动结构的方法可能是“用f.p.群进行计算”的一个普遍有用的工具，回顾过去，人们可能会后悔决定从Sims的书中完全忽略这个主题。第4章讨论了处理有限多个循环群的自由积的有限生成子群的方法。在本章的大部分内容中，由于技术原因，后者被假定为无穷大或二阶，而在最后一节中，将讨论对上述群类的推广。正如作者本人在论文中首次观察到的，不仅对于理论结果，而且对于算法方法，一个关键概念是子群的“重要”陪集。根据Schreier陪集图（组合群理论家可能比自动机理论语言更熟悉），这些陪集属于陪集图圈中的点。作者证明并利用了上述积的子群是有限生成的当且仅当它们只有有限多个重要陪集。如前一章所述，自动机理论提供了所使用的语言，尤其是（Todd-Coxeter）陪集枚举的思想是在这里首先使用这个术语来介绍循环群的自由积中的有限指数子群。标准、标准约简和完整标准陪集表的引入导致了作者发明的方法，主要是在六十年代，用于枚举最多具有给定数量的重要陪集或最多具有给定索引的所有子群。第5章，题为“余弦枚举”，然后将这些思想推广到它们的主要应用领域，即任意的f.p.群。众所周知，Todd-Coxeter方法的基本思想允许在“定义顺序”和“后果处理”方面有许多变化。作者讨论了几种这样的变体，并通过一些例子比较了它们的效率。虽然这些讨论和实验得出了一些似是而非的经验法则，但他正确地强调，问题的本质不允许采用普遍最优的策略。根据这一点，应该指出的是，已经提出了进一步的策略，并且仍在寻找好的策略。本章最后一节介绍了低指数子群方法，并对实际实施提出了几点建议，并对Todd-Coxeter方法和Knuth-Bendix方法进行了比较。虽然作者的陈述巧妙地将Todd-Coxeter方法嵌入到了他建立的自动机理论的一般背景中，不得不说，Todd-Coxeter方法试图通过回溯方法构造传递置换表示这一相当简单的基本思想，在处理自动机的伪装下并不容易理解。此外，在不贬低Knuth-Bendix方法及其作者所做的一些应用的重要性的情况下，以及他可以证明其相对于Todd-Coxeter程序的实际优势的实例，必须说，Todd-Coxeter方法和相关技术更像是f.p.群程序系统中的工作马，以及将此类程序系统应用于f.p.组的具体问题。因此，从一个正在使用这种实现的读者的角度来看，如果他想了解自己正在使用什么而不需要太多的努力，那么他可能会后悔，在本文中，访问这些相当重要的工具并不容易。第6章“Reidemeister-Schreier程序”为f.p.群的研究提供了进一步的重要工具，即获得子群表示的方法，然后可以使用所有可用的方法对其进行研究。介绍了“扩展陪集表”的方法（在文献中通常称为“修改陪集表“），并通过实例进行了演示。文中提到了Tietze变换在简化如此获得的有限表示中的可能用途。第7章“广义自动机”通过引入额外的表讨论了Todd-Coxeter方法的可能捷径，这些表对应于用生成器中标有单词的边替换陪集图中的整个路径。本书的第二部分遵循了群论中更为传统的描述方式。第八章，“阿贝尔群”，对发现f.p.阿贝尔群结构的各种方法进行了非常清晰的解释。从有限秩自由阿贝尔群的定义出发，构造性地发展了有限生成阿贝尔群理论，并将其与整数矩阵的Hermite和Smith正规形式的求法联系起来。对于后者，给出了积分和模技术，非常清楚地表明，实际计算的关键点是避免中间矩阵的“系数爆炸”。这里应该提到的是，最近（本书出版后）乔治·哈瓦斯提出了新的积分技术，将整数序列的gcd表示为这些小系数的线性组合。在实践中，这些方法很可能优于以前使用的积分算法，用于寻找关于系数控制的Hermite和Smith正规形式。第8.6节和第8.7节对格约简方法（LLL和改进的LLL算法）进行了很好的处理，并且作者根据自己的实验，再次对基本思想和有价值的启发式进行了非常可读的处理。最后三章（9-11）系统地阐述了确定f.p.群的多环因子群的可能性。一般理论结果表明，多环-b-有限群是f.p.群中最大的子类，基本上可以用算法完成用元素和子群计算的基本任务。从实际的角度来看，必须作出一些区分。一旦用多环表示法给出了有限可解群，就有许多可实现的方法。自1974年伊恩·D·麦克唐纳（Ian D.Macdonald）及其追随者的工作以来，也有非常强大的方法来寻找f.p.群的有限因子群。最近，这些基本思想被推广到确定f.p.群的任意幂零因子群的方法中，特别是作者本人。相比之下，确定f.p.群的非幂零多环因子群的任务仍处于早期发展阶段。本书的优点是旨在为这些方面建立一个共同的基础。在第9章“多环群”的第一节中，从交换子微积分和幂零群、可解群和多环群出发，提供了必要的群理论背景。第9.4节介绍了多循环演示的基本思想，并比较了与多循环演示相关的“收集”技术。第9.5-9.6节介绍了在多循环呈现群中处理子群、同态和共轭类的方法。第9.8节对以下所有内容都特别重要，它处理了基于循环扩展理论的多环表示一致性概念。最后三节考虑幂零群。第10章，“模基”，设置了一个场景，用作者在Baumslag、Cannonito和Miller的一个相当理论性的提议的背景下使用Gröbner基开发的方法来处理f.p.群的非幂零多环因子群。第10章从算法的角度介绍了积分多项式环和Gröbner基的理论，最终得出了多环群积分群环上的有限生成模。第11章，“商群”，然后系统地描述了f.p.群的阿贝尔商、幂零商、元贝拉商和多环商的确定算法。最后一节描述了商算法的变体，该算法允许用户通过执行法则来构造受限的Burnside群。附录讨论了实施问题。这本书有一份精心挑选的全面参考书目。大多数章节都有宝贵的历史笔记作为补充。那么还有什么希望呢？第一：如前所述，有时是关键章节的“侧入口”，这样可以更容易地阅读这些章节，而不必阅读太多早期的材料。第二：这一章将报告，即使只是简短地报告一些攻击有限表示的进一步建议，特别是那些试图构建表示的建议，其中只有林顿的“模块枚举器”在第5章的历史注释中提到。第三，也许是最重要的：这是一章，其中讲述了一些文学作品中的故事，在这一章中，巧妙地混合了本书中描述的几种方法，从而理解了一些f.p.组的结构。仅举一例，M.F.Newman证明斐波那契群（F（2,9））是无限的，将Golod-Shafarevich定理的一个改进版本应用于通过低指数和Reidemister-Schreier方法获得的子群的商算法的分析，这本书如此仔细地描述了这些工具的实际功能，真的能让人感觉到。总结：这是一本非常细心和奉献的书。作者在序言中暗示，他已经研究了十年，这种耐心造就了一篇高质量的文本。定义是以非常清晰的方式给出和解释的，几乎总是通过精心挑选的示例进行例证，方法是以非常容易理解的算法格式描述的。如上所述，作者的第一个目的是让读者了解幕后的数学思想。为此，特别是在本书的某些部分，他还要求读者做出一些奉献。因此，也许这本书首先不会为那些想快速、轻松地大致了解该领域正在发生的事情的人服务，或者那些只想“烹饪”一本可以尝试“破解”给定演示的“食谱”的人服务。然而，对于那些希望获得对该主题最可靠的治疗并寻求对其更深入理解的人来说，它将具有持久的价值。审核人：J.Neubüser（亚琛） 引用于5评论引用于176文件 理学硕士： 20-04 群论相关问题的软件、源代码等 20F05型 组的生成器、关系和表示 2010年1月20日 单词问题、其他决策问题、与逻辑和自动机的联系（群体理论方面） 2019年1月20日 可解群和幂零群的推广 2012年第68季度 语法和重写系统 68瓦30 符号计算和代数计算 20-02 与群论有关的研究综述（专著、调查文章） 20日第15天 有限幂零群，\（p\）-群 20英尺16英寸 可解群，超可解群 2018年1月20日 幂零群 65年第68季度 形式语言和自动机 关键词：有限呈现群;算法;群的计算方法;有限表示;重写系统;自动机;自动分组;Knuth-Bendix方法;Schreier陪集图;Todd-Coxeter陪集枚举;有限指标子群;循环群的自由积;陪集表;子群枚举;子群的表示;Tietze变换;有限生成阿贝尔群;多环有限群;多环呈现;Gröbner碱 引文：Zbl 0794.20017号;兹比尔0764.20017 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.C.Sims}，有限呈现群的计算。剑桥：剑桥大学出版社（1994；Zbl 0828.20001）