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朱里安·罗特;菲利波·邦奇;马塞洛·邦桑格;Damien Pous;简·拉特;亚历山大·席尔瓦

增强的协同脑互模拟。 （英语） Zbl 1380.68300号

数学。结构。计算。科学。 第7号第27页，1236-1264页（2017年）.
本文综述了对余代数互模拟技术的系统研究。这改进、简化和扩展了一大类基于状态的系统的互模拟证明方法，包括标记转换系统，也包括流系统和加权自动机。建议的方法允许对增强的可靠性进行组合推理。应用包括互模拟的稳健性到互相似性、等价性和同余性。可以得出的结论是，该方法为简化的等价共推证明提供了一个强大的模块化框架。
关于互模拟的最初研究属于R.米尔纳[通信系统的微积分。柏林-海德堡-纽约：施普林格-弗拉格（1980；Zbl 0452.68027号)]和D.公园【法学注释计算科学104、167–183（1981；Zbl 0457.68049号)]. 然后，R.米尔纳【Theor.Comput.Sci.25，267–310（1983；Zbl 0512.68026号)]提出了一种用于双相似性模块化推理的互模拟up-to技术。对标记过渡系统的互模拟up-to理论提出了许多改进D.桑吉奥吉[数学结构计算科学8，第5期，447-479（1998，Zbl 0916.68057号)]. 余代数水平上的互模拟up-to的第一个解释是：M.莱尼萨[in:CMCS’99。计算机科学中的聚合方法第二次研讨会论文集。阿姆斯特丹：爱思唯尔。第2号电子文件（1999年；Zbl 0918.68029号)].
[Lect.Notes Compute.Sci.7741，369–381（2013；Zbl 1303.68088号)]. 本文以这一概括为出发点。
在第二节中，作者回顾了余代数和双相似。函子（F:\mathrm{Set}\ to \mathrm{Set}）的余代数是由集合（X\）和函数（alpha:X\ to FX\）组成的对（（X，alpha）。函数\（f:X\到Y\）是\（f\）-余代数\（（X，\alpha）\）和\（Y，\beta）\）if\（Ff\circ\alpha=\beta\circ f\）之间的同态。对于任何关系式\（R\substeq X\times X\），用\（\pi_1:R\to X\）和\（\pi_2:R\to X\）表示定义为\（\pi_1（X，y）=X\）和\（\pi_2（X，y）=y\）的函数。
对于余代数（alpha:X\ to FX\）和关系（R，S\subseteq X\ times X\），我们说\（R\）进展到\（S\），表示为\（R\右箭头S\）。如果（R\右箭头R\），则关系\（R\）称为互模拟。
在附录A中，给出了不同（F）-余代数上的互模拟的标准概念。用\（\sim\）表示的相似性被定义为最大的互模拟。
例如，字母表\（A\）上的确定性自动机可以被视为函子\（FX=2\乘以X^A\）的余代数，因为确定性自动机是一对\（（X，langleo，t\rangle）\），其中\（X\）是一组状态，\，取最终状态的值\（o（x）=1\），否则取（o（x）=0\）；转换函数\（t\）为每个输入字母\（a\中的a\）返回下一个状态。相似性与语言等效的标准概念一致，因此可以通过提供适当的互模拟来证明这一点（例1）。
标签集（a）上的标记转移系统是函子（FX={mathcal P}（a\times X））的余代数。双相似性和互模拟实例化为Milner和Park的经典概念（例2）。
还考虑了其他示例：加权自动机、广义加权自动机和实域上的流系统（示例3-5）。
第3节介绍了余代数的互模拟up-to。
定义2。设（X，α）是余代数，（f:{mathcal P}（X\times X）to{mathcalP}（X\times X）是关系的函数。A类互模拟高达\（f\）是一个关系\（R\），这样\（R\rightarrowtail f（R）\）。我们说，如果（R\subsetq\sim\）对所有\（R\）都是这样的\（f\）是健全的，即\（R\rightarrowtail f（R）\）。
考虑将关系（R）映射到等价闭包（e（R））的函数。达到\（e）的互模拟称为达到等效的互模拟。类似地，人们可以定义直达传递性和直达对称性。
例6显示存在一个确定性自动机（例1）和一个关系，它不是互模拟，而是一个直到等价的互模拟。
对余代数引入了一致性、一致性和等效性以及双相似性互模拟。例7致力于流系统上的互模拟到联合和等价。函数\（b（R）=\sim\circ R\circ\sim\定义了一个最大值为\（b）的互模拟，对应于最大值为双相似性的互模拟概念，其中导数（即到达状态）不需要直接相关，但可能与元素具有双相似性。当余代数的状态空间具有某种代数结构时，可以将其视为上下文的互模拟。内函子（T）的（T）-代数是一对（（X，β），其中（X）是一个集合，（β：TX到X）是函数。对于（T）-代数（（X，β）），关系的上下文闭包（Rsubsteq Xtimes X）定义为\[c_{\beta}（R）=TR\}中的\{langle\beta\circ T\pi_1，\beta\ circ T_\pi_2\rangle\midt。\]每当上下文中明确了\（\beta\），我们就写\（c（R）\）。高达\（c）的互模拟称为上下文互模拟。
在例8中，考虑了上下文闭包\（c（R）\子结构T_{\Sigma}\次T_{\西格玛}\），其中\（\Sigma \）是一组具有相关算术的运算，\（T_{\Sigma}X\）由\（X\）中变量的所有\（\西格马\）项组成。示例9致力于根据上下文对加权自动机进行互模拟。示例10属于J.罗特等【Lect.Notes Compute.Sci.7810，480–492（2013；Zbl 1333.68173号)]. 它致力于对具有字母表\（a\）的所有语言的确定性自动机\（｛\mathcal P｝（a^*）\）的上下文进行互模拟。在例11中，构造了热带半环（mathbb T）的同余互模拟。结果表明，\（R\）并不是一个符合上下文的共刺激。在实施例12中，建立了流系统的关系（R）。结果表明，（R）是一个直到（sim）-并、上下文和等价的互模拟。但\（R\）并不是一种共刺激。
第4节专门讨论增强代数。
定义3。设（f）是二元关系的函数。
–A\（b\）-模拟到\（f\）是一个关系\（R\），这样\（R\subsetq b（f（R））\）；
–\（f）是\（b）-声音，如果\（b \）-相似性中包含所有\（f \）-模拟；
–\（f\）是\（b\）-兼容的，如果它是单调的和\（f\circ b\substeq b\circ.f\）。
定理1。所有兼容的函数都是声音。
在第5节中，我们展示了如何用单调函数来表征互模拟和互模拟。
设（X，α）是一个（F）-余代数。内函数\（\varphi_{\alpha}\）定义在\（{\mathcal P}（X\乘以X）\）上，如下所示：\[\varphi_{\alpha}（R）=\{（x，y）\mid\存在于FR~{\text{s.t.}}~F（\pi^R_1（z））=\alpha（x）~\text{和}~F。\]如果上下文清楚，可以写\（\varphi_{\alpha}\），而不是\（\valphi_{\ alpha}\）。示例13专门讨论确定性自动机、标记转换系统和流系统的\（\varphi_{\alpha}\）。
对于任何余代数（（X，alpha）），函数（varphi{alpha}）是单调的（引理3）。对于任何关系\（R\），\（S\），以下断言成立：\（R\subseteq\varphi_{\alpha}（R）\）iff\（R\rightarrowtail S\）（引理4）。
推论1。对于任何余代数（（X，α）：（R\）是互模拟iff（R\subseteq\varphi_{alpha}（R））。
换句话说，\（\varphi\）-模拟与互模拟相同。
推论2。设（f:{mathcal P}（X\乘以X）到{mathcalP}。对于任何余代数\（（X，\alpha）\）：
1.（R\subsetq X\乘以X\）是最大到\（f\）的互模拟，如果它是最大到（f\；
2.如果\（f\）是\（\varphi_{\alpha}\）兼容的（定义3），那么\（f \）是健全的（定义2）。
在第6节中，证明了互模拟实例的兼容性结果。
回想一下，弱回拉是由满足以下条件的态射\（p_1:p\ to X_1\）、\这样，\（p1\circ h=q1\）和\（p2\circ h=q2\）。（如果态射\（h\）是唯一的，那么我们有一个普通的回调。）
定理2。设（X，α）是函子的余代数。以下函数与\（\varphi_{\alpha}\）兼容：
1.\（r\）–自反闭包；
2.\（s\）–对称闭包；
3.\（uS\）-与\（S\）并集（对于双刺激\（S\））；
如果\（F\）保留弱回调，则以下内容与\（\varphi_{\alpha}\）兼容：
4.\（t\）–传递闭包；
5.（e）–等价闭包；
6.（b）–双相似性；
7.\（e \ circu _S \）–\（S \）-并集和等价（对于共刺激\（S \））。
一般来说，达到互相似的互模拟和达到等效的互模拟是不合理的，因此也不兼容。示例14对此进行了说明。
然后，作者回顾了一些关于弱回拉保持与关系合成相关的基本结果（定理3）。
定义4。设\（T\），\（F\）是集上的内函子。
–一个\（F，T）\）-双代数是一个三元\（（X，beta，alpha）\），其中\（X）是一个集合，\（X，beta）\）是一种\（T）-代数，\（X，alpha）是\（F）-余代数。
–给定一个自然变换（lambda:TF\Rightarrow FT），我们说（（X，β，α）是一个（lambda）-双代数，如果（α\circ\beta=F\beta\circ\ lambda_X\circ T\alpha）。
定理4。设\（（X，\beta，\alpha）\）是\（\lambda:TF\Rightarrow-FT\）的\（\lambda\）-双代数。上下文闭包函数\（c_{\beta}\）与\（\varphi_{\alpha}\）兼容。如果\（F\）保留弱回调，则以下内容也与\（\varphi\）兼容：
1.\（e\circc{\beta}\circr）–同余；
2.\（e\circc_{\beta}\circu_S\）-上下文、自反性和双相似性；
3.（b\circc{\beta}\circr）-上下文、自反性和双相似性。
有一些双代数（（X，beta，alpha）的例子，使得（X，beta，langle\alpha，mathrm{id}\rangle）是一个（lambda）-代数。在这种情况下，需要考虑余代数上的互模拟（-up-to），而不是在余代数上（\langle\alpha，\mathrm{id}\rangle）。该定理为我们提供了上下文闭包的兼容性，但它没有提供兼容性。示例15中给出了反例，该示例由D.磅和D.桑吉奥吉【in：互模拟和共创高级主题。剑桥：剑桥大学出版社。233-289（2012；Zbl 1285.68111号)].
第7节包含了行为等效的up-to技术的类似发展。
对于余代数（alpha:X\ to FX\）和关系（R，S\ subsetq X\ times X\），我们说\（R\）进展到\（S\）（关于行为等价性），表示为\（R\rightsquigarrow S\），如果\（Fq\circ\alpha\circ\ pi_1=Fq\circ\alha\circ\fi_2），其中\（q\）是\（e（S）\）的商映射（定义5）。如果\（R\rightsquigarrow R\），则\（R\）被称为行为等效。
\当（R）的商映射是余代数同态时，（R）是行为等价的。最大的行为等效性用\（\近似\）表示。
定义6。如果函数（f:{mathcal P}（X\times X）到{mathcall P}的\（R\rightsquigarrow f（R）\），那么我们说\（R\）是到\（f\）的行为等价。我们说，如果（r\subseteq\approx\）对所有（r\）都是（r\ rightsgigarrow f（r）\），那么（f\）是健全的（w.r.t.行为等效）。
然后，作者将行为等效描述为单调函数的不动点。它们将函数\（\psi_{\alpha}:{\mathcal P}（X\times X）\定义为\[\psi_｛\alpha｝（R）=｛（x，y）\中Fq\circ\alpha（x）=Fq\circ\alpha（y）\｝\]其中，\（q:X\到X/e（R）\）是\（e（R））的商映射。
对于任何余代数\（（X，\alpha）\），函数\（\psi_｛\alpha｝\）是单调的（引理5）。对于任何关系\（R，S\subsetqX\乘以X\），以下性质成立：\（R\substeq\psi（S）\）iff\（R\rightsquigarrow S\）（引理6）。因此，行为等效性达到任何兼容函数都是合理的。但是，一般来说，它不认为\（\psi（R）\cir\psi（S）\substeq\psi（R\circ S）\）（示例16）。这促使我们直接证明等价闭包的兼容性。
定理5。设\（X，\alpha）\）是任意余代数。以下是\（\psi_{\alpha}\）兼容的：
1.\（r\）–自反闭包；
2.\（e）–等价闭包；
3.\（u_S\）–与\（S\）的并集（用于行为等效\（S_））。
单子\（T，\mu，\eta）\由内函子\（T\）和自然变换\（\mu:TT\Rightarrow T\），\（\eta:\mathrm{Id}\ to T\）组成，这样\（\mo\circ T\eta=\mathrm{Id}=\mu\circ\eta T\）以及\。A（（T，\mu，\eta）\）-代数是\（T）-代数\（（X，\beta）\），因此\（beta\circ\mu_X=\ beta\circ T\beta\）。如果一个单子的基本函子保留了过滤的结肠炎，则称其为有限的。
定理6。设\（（X，\beta，\alpha）\）是分配律\（\lambda:TF\Rightarrow-FT\）（函子之间）的\（\lambda\）-双代数，其中\（\beta\）是有限单子\（（T，\eta，\mu）\的代数。以下是\（\psi_{\alpha}\）兼容的：
1.\（c_{\beta}\circ）–上下文闭包；
2.\（e\circc{\beta}\circr）–同余；
3.（e\circc_{\beta}\circr\circu_S）-上下文、（S\）-并集、自反性和等价性；
4.（\beta\circc{\beta}\circr）-上下文、自反性和双相似性。
在示例17中，具有转换成本（GPA）的一般过程代数[P.Buchholz先生和P.坎佩尔，莱克特。注释计算。科学。2165, 184–199 (2001;Zbl 1007.68130号)]已考虑。将所得定理应用于研究GPA在加权转换系统中的操作语义。
第8节包含结束语。
审核人：艾哈迈特·库萨诺夫（Komsomolsk-om-Amur）

引用于10文件

理学硕士：

68问题85 并发和分布式计算的模型和方法（进程代数、互模拟、转换网等）
18B20型 机器、自动机的类别
18立方厘米 单子（=标准结构，三元组或三元组），单子代数，单子的同调函子和派生函子
18 C50 形式语言的范畴语义
68问题55 计算理论中的语义学
第68季度第70季度 语言代数理论与自动机

关键词：

联合布拉格;造币术;互模拟;双相似性;莫纳德;加权自动机;过渡系统;河流系统;达到等效;统一;共刺激高达;达到相似性;符合上下文;\（λ）-二代数;行为对等

引文：

Zbl 0452.68027号;Zbl 0457.68049号;Zbl 0512.68026号;Zbl 0916.68057号;Zbl 0918.68029号;Zbl 1303.68088号;Zbl 1333.68173号;兹比尔1285.68111;Zbl 1007.68130号
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\textit{J.Rot}等人，数学。结构。计算。科学。27，第7号，1236--1264（2015；Zbl 1380.68300）
全文： 内政部

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