×
菲利普·古思（Philipp A.Guth）。;安德烈亚斯·范·巴雷尔

不确定性优化的多级拟蒙特卡罗方法。 （英语） Zbl 1521.65007号

数字。数学。 154，编号3-4，443-484（2023）.
摘要：本文研究具有不确定对数正态扩散系数的椭圆偏微分方程的平均跟踪误差优化问题。特别地，研究了多级拟蒙特卡罗（MLQMC）方法在梯度估计中的应用，并使用循环嵌入方法对随机场进行采样。结合循环嵌入方法生成的样本，对伴随变量进行新的正则性分析对于梯度的MLQMC估计至关重要。严格的成本和误差分析表明，与普通蒙特卡罗方法相比，随机移位的准蒙特卡罗法导致梯度均方根误差的衰减速度更快，同时考虑多个级别大大减少了计算工作量。数值实验验证了改进的收敛速度，并表明MLQMC方法优于多级蒙特卡罗方法和单层拟蒙特卡罗算法。

引用于2文件

MSC公司：

65二氧化碳 蒙特卡罗方法
65立方米 随机微分和积分方程的数值解
65N21型 含偏微分方程边值问题反问题的数值方法
65千99 数学规划、优化和变分技术的数值方法
49米41 PDE约束优化（数值方面）
35卢比60 随机偏微分方程的偏微分方程

关键词：

多级准蒙特卡罗;不确定性优化;椭圆偏微分方程

软件：

质量管理4PDE;AS 312标准
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{P.A.Guth}和\textit{A.Van Barel}，数字。数学。154，编号：3-4443-484（2023；兹比尔1521.65007）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] 阿德勒，RJ，《随机场的几何》（1981），费城：SIAM，费城·Zbl 0478.60059号
[2] 波茨？，A。；Schulz，V.，偏微分方程控制系统的计算优化（2012），费城：SIAM，费城·兹比尔1240.90001
[3] 波茨？，A。；von Winckel，G.，随机系数抛物线最优控制问题的多重网格方法和稀疏网格配置技术，SIAM J.Sci。计算。，31, 2172-2192 (2009) ·Zbl 1196.35029号 ·doi:10.1137/070711311
[4] 波茨？，A。；von Winckel，G.，用于确定PDE优化中鲁棒控制的POD框架，计算。视觉。科学。，14, 91-103 (2011) ·Zbl 1242.93025号 ·doi:10.1007/s00791-011-0165-5
[5] Chan，G。；Wood，AT，算法AS 312:模拟平稳高斯随机场的算法，应用。Stat.，46，171-181（1997）·Zbl 0913.65142号
[6] 查里尔，J。；Scheichl，R。；Teckentrup，AL，随机系数椭圆偏微分方程的有限元误差分析及其在多级蒙特卡罗方法中的应用，SIAM J.Numer。分析。，51322-352（2013）·Zbl 1273.65008号 ·数字对象标识代码：10.1137/10853054
[7] 陈，P。；Quarteroni，A.，带椭圆PDE约束的随机最优控制问题的加权约化基方法，SIAM/ASA J.不确定性。数量。，2, 364-396 (2014) ·Zbl 1309.35182号 ·doi:10.1137/130940517
[8] 克利夫，KA；贾尔斯，MB；Scheichl，R。；Teckentrup，AL，多层蒙特卡罗方法及其在随机系数椭圆偏微分方程中的应用，计算。视觉。科学。，14, 3 (2011) ·Zbl 1241.65012号 ·doi:10.1007/s00791-011-0160-x
[9] 科恩，A。；DeVore，R。；Schwab，C.，发现了一类椭圆sPDE的最佳N项Galerkin近似的收敛速度。计算。数学。，10, 615-646 (2010) ·兹比尔1206.60064 ·doi:10.1007/s10208-010-9072-2
[10] Dick，J。；勒吉亚，QT；Schwab，C.，全纯参数算子方程的高阶拟蒙特卡罗积分，SIAM/ASA J.不确定性。数量。，4, 48-79 (2016) ·Zbl 1398.65031号 ·数字对象标识代码：10.1137/140985913
[11] 迪特里希，CR；Newsam，GN，通过协方差矩阵的循环嵌入快速准确地模拟平稳高斯过程，SIAM J.Sci。计算。，18, 1088-1107 (1997) ·Zbl 0890.65149号 ·doi:10.1137/S1064827592240555
[12] 加尼姆，RG；Spanos，PD，《随机有限元：谱方法》（2003），Mineola:Courier Corporation，Mineola·Zbl 0722.73080号
[13] Gilbarg，D。；Trudinger，NS，二阶椭圆偏微分方程（2001），柏林：Springer，柏林·Zbl 1042.35002号 ·doi:10.1007/978-3-642-61798-0
[14] Giles，MB，多层蒙特卡罗方法，数值学报。，24, 259-328 (2015) ·Zbl 1316.65010号 ·doi:10.1017/S096249291500001X
[15] 格雷厄姆，IG；Kuo，财政部；尼科尔斯，JA；Scheichl，R。；施瓦布，C。；Sloan，IH，对数正态随机系数椭圆偏微分方程的拟蒙特卡罗有限元方法，数值。数学。，131, 329-368 (2015) ·Zbl 1341.65003号 ·doi:10.1007/s00211-014-0689-y
[16] 格雷厄姆，IG；郭，FY；尼科尔斯，JA；Scheichl，R。；施瓦布，C。；Sloan，IH，对数正态随机系数椭圆偏微分方程的拟蒙特卡罗有限元方法，数值。数学。，131, 329-368 (2015) ·Zbl 1341.65003号 ·doi:10.1007/s00211-014-0689-y
[17] 格雷厄姆，IG；郭，FY；Nuyens博士。；Scheichl，R。；Sloan，IH，随机系数椭圆偏微分方程的拟蒙特卡罗方法及其应用，J.Compute。物理。，230, 3668-3694 (2011) ·Zbl 1218.65009号 ·doi:10.1016/j.jcp.2011.01.023
[18] 格雷厄姆，IG；郭，FY；Nuyens，D。；Scheichl，R。；Sloan，IH，采样平稳随机场的循环嵌入方法分析，SIAM J.Numer。分析。，56, 1871-1895 (2018) ·Zbl 1434.60114号 ·doi:10.1137/17M1149730
[19] 格雷厄姆，IG；郭，FY；Nuyens，D。；Scheichl，R。；Sloan，IH，用QMC嵌入循环：对数正态系数椭圆偏微分方程的分析，数值。数学。，140, 479-511 (2018) ·Zbl 1417.65203号 ·doi:10.1007/s00211-018-0968-0
[20] 宾夕法尼亚州古斯；Kaarnioja，V。；郭，FY；席林斯，C。；Sloan，IH，《不确定性下最优控制的拟蒙特卡罗方法》，SIAM/ASA J.不确定性。数量。，9, 354-383 (2021) ·Zbl 1475.49004号 ·doi:10.1137/19M1294952
[21] 哈布雷希特，H。；彼得斯，M。；Siebenmorgen，M.，具有对数正态分布扩散系数的PDE的多级加速求积，SIAM/ASA J.不确定性。数量。，4, 520-551 (2016) ·Zbl 1343.65006号 ·数字对象标识代码：10.1137/130931953
[22] Herrmann，L.，Schwab，C.：对数正态参数椭圆偏微分方程的乘积权重QMC算法。年：科学计算中的蒙特卡罗和准蒙特卡罗方法国际会议。施普林格，第313-330页（2016年）·兹比尔1422.65017
[23] Karhunen，K.，《安娜·阿卡德研究院wahrscheinlichkeitsrechnung中的线性方法》。科学。芬恩。序列号。A.1数学-物理。，37, 1-79 (1947) ·Zbl 0030.16502号
[24] Kouri，DP，用于优化不确定系数PDE的多级随机配置算法，SIAM/ASA J.uncertain。数量。，2, 55-81 (2014) ·Zbl 1307.49026号 ·doi:10.1137/130915960
[25] Kouri，DP；Surowiec，TM，风险规避PDE约束优化的存在性和最优性条件，SIAM/ASA J.不确定性。数量。，6, 787-815 (2018) ·Zbl 1393.49002号 ·doi:10.1137/16M1086613
[26] Kunoth，A。；Schwab，C.，线性参数椭圆和抛物线偏微分方程约束的控制问题的解析正则性和GPC近似，SIAM J.control。最佳。，51, 2442-2471 (2013) ·Zbl 1278.49043号 ·数字对象标识代码：10.1137/10847597
[27] Kuo，F.Y.：生成向量的格规则。https://web.maths.unsw.edu.au/fkuo/tractice/index.html。2021年9月29日访问
[28] Kuo，财政部；Nuyens，D.，《拟蒙特卡罗方法在具有随机扩散系数的椭圆偏微分方程中的应用：分析和实施综述》，Found。计算。数学。，16, 1631-1696 (2016) ·Zbl 1362.65015号 ·doi:10.1007/s10208-016-9329-5
[29] 郭，FY；Scheichl，R。；施瓦布，C。；伊利诺伊州斯隆；Ullmann，E.，对数正态扩散问题的多级拟蒙特卡罗方法，数学。计算。，86, 2827-2860 (2017) ·Zbl 1368.65005号 ·网址：10.1090/com/3207
[30] 郭，FY；施瓦布，C。；Sloan，IH，找到了一类随机系数椭圆偏微分方程的多层拟蒙特卡罗有限元方法。计算。数学。，15, 411-449 (2015) ·Zbl 1318.65006号 ·doi:10.1007/s10208-014-9237-5
[31] 郭，FY；斯隆，国际卫生组织；Wasilkowski，GW；Waterhouse，BJ，无界被积函数最优收敛速度的随机移位格规则，J.Complex。，26, 135-160 (2010) ·Zbl 1208.65008号 ·doi:10.1016/j.jco.2009.07.005
[32] Loève，M.：二级功能。科学评论。，第195-206页（1946）·Zbl 0063.03614号
[33] Martin，M。；Krumscheid，S。；Nobile，F.，具有不确定参数的PDE约束最优控制问题的随机梯度方法的复杂性分析，ESAIM:Math。模型。数字。分析。，55, 1599-1633 (2021) ·Zbl 1492.35394号 ·doi:10.1051/m2安/201025
[34] Martin，M.，Nobile，F.，Tsilifis，P.：参数不确定的PDE约束最优控制问题的多级随机梯度方法。arXiv:1912.11900（2019）
[35] 尼科尔斯，JA；Kuo，FY，在具有POD权重的加权空间中实现（{mathbb{R}}s）上无界被积函数的（o（n^{-1+delta}）收敛的随机移位格规则的快速CBC构造，J.Complex。，30, 444-468 (2014) ·Zbl 1302.65016号 ·doi:10.1016/j.co.2014.02.004
[36] Van Barel，A。；Vandewalle，S.，使用多级蒙特卡罗方法对随机系数PDE进行稳健优化，SIAM/ASA J.不确定性。数量。，7, 174-202 (2019) ·Zbl 1421.35396号 ·doi:10.1137/17M1155892
[37] 木材，AT；Chan，G.，《（[0,1]^d）中平稳高斯过程的模拟》，J.Compute。图表。统计，3409-432（1994）
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。