穆勒，S。;什维克，V。 带约束的凸积分及其在相变和偏微分方程中的应用。 （英语） Zbl 0953.35042号 《欧洲数学杂志》。社会（JEMS） 1，第4期，393-422（1999）. 设（Omega\subset\mathbb{R}^n）有界，且（u:\Omega\to\mathbb{R}^m）是Lipschitz映射。还考虑\（m\乘n\）矩阵空间中的子集\（K\）。作者研究了一阶偏微分关系（Du在K中），即在Omega中。受晶体微观结构问题的启发，他们以两种方式扩展了Gromov的凸积分理论：第一，允许对Du的子函数进行附加约束；第二，替换Gromov（P）-凸壳（在本文中，“P-凸性”也等同于“层合凸性”)通过一级凸壳。（作者最近使用秩凸壳来构造变分椭圆型方程组的无处正则解）。审核人：O.谎言（达姆施塔特） 引用于2评论引用于65文件 理学硕士： 35J60型 非线性椭圆方程 35J20型 二阶椭圆方程的变分方法 35天10分 偏微分方程广义解的正则性（MSC2000） 关键词：微分关系;凸积分 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.Muller}和\textit{V.Šverák}，《欧洲数学杂志》。Soc.（JEMS）1，No.4，393--422（1999；Zbl 0953.35042） 全文： 内政部 参考文献： [1] R.Aumann，S.Hart：双凸性和双鞅。以色列J.数学。54 , 159-180 (1986) ·Zbl 0607.52001 ·doi:10.1007/BF02764940 [2] V.I.Arnold：几何微分群在流体力学中的应用。格勒诺布尔Ann.Inst.16，319-361（1966）·Zbl 0148.45301号 ·doi:10.5802/如果.233 [3] V.I.Arnold，B.A.Khesin：流体动力学中的拓扑方法。斯普林格，1998·Zbl 0902.76001号 [4] J.M.Ball：变分法中的严格凸性、强椭圆性和正则性。数学。程序。剑桥Phil.Soc.87501-513（1980）·Zbl 0451.35028号 ·doi:10.1017/S0305004100056930 [5] 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98]中给出了更一般情况下的详细证明。为了方便读者，我们为手头的案件草拟了一份证据。映射exp将被构造为由合适的（与时间相关的）向量场v生成的流的时间一映射。如果我们对仅满足varphi（partial）=partial的体积-保留微分形态感兴趣，我们可以将v作为419个不可压缩Euler方程的解。为了实现\varphi|\partial=id，我们使用了Euler方程的一个变体，其中无散度向量场上的正交投影是针对H1标量积而不是0 L2标量乘积进行的。Arnold[Ar 66，AK 98]观察到，欧拉方程的解所生成的流对应于体积预服务微分同态组中的测地线，配有L2向量场标量积给出的平移不变度量，有关详细分析，请参见[EM 70]。下面讨论的流对应于H1标量积引起的度量的测地线。这激发了0映射的表示法exp。我们感谢J.E.Marsden向我们指出，所得方程称为平均欧拉方程，详细研究将出现在以[HKMRS 98]开头的一系列论文中。为了修正这个符号，让H=H1（；Rn），标量积（u，v）=0 Du Dv，并且让Y={v\在H:div v=0}中表示无散度向量场的闭子空间。正交补码Y由（例如，参见[GR 86]，第一章，Cor.2.3）Y\perp={-1 p:p\in L2（）}D给出，其中D=H1\rightarrow H-1是Dirichlet Laplacian。对于H中的u，0正交投影Qu到Y\perp由Qu=-1 p，D给出，其中p是div-1 p=div u.D的唯一解。如果我们让T=div-1 D，那么T是L2（）中L2av={p\的同构（参见[GR 86]，第一章，Cor.2.3和2.4）。此外，通过标准正则性参数，我们可以看到T也是Ck，\alpha av={p\ in Ck，\ alpha（）：p=0}的同构，Q是从Ck，\salpha\partial={v\ in Ck，\alfa（；Rn）：v=0on\ partial}到无散度向量场的子空间Ck，\talpha\ partial，div的有界算子。为了激发流的定义，考虑I中的一个单参数微分同态族eta t:\rightarrow，t，并让v=d\eta。对于任何dt t\circ\eta-1 t函数f:I\times\rightarrow R，通过\？定义材料时间导数？f=\partial t f+（v\cdot D）f=D（f\circ\eta t）\circ\ eta-1。dt t S.Müller，V.Šverák特别是\？v=d2\eta t\circ\eta-1。（A.1）dt2 t最简单的演化方程为？v=0，但这并不保留无发散的约束。为了保持约束，一种自然的方法是寻找一个能产生\？v\单位：Y\perp。现在问\？v=Q\偏tv+Q（v\cdot D）v=\偏t Qv+（v\cdot D）Qv-[v\cdot D，Q]v=（Qv）\cdot-[v\cdot D，Q]v.（A.2）由于我们期望v保持无发散（即Qv=0），因此建议研究方程\？v=-[v\cdot D，Q]v.（A.3）现在的关键点是换向器[v\cdot D，Q]不会失去导数（尽管换向器中的每个项都会失去导数）。声明：映射（u，v）\rightarrow Cuv:=[u\cdot D，Q]v是一个来自Ck的有界双线性（因此是光滑的）映射，\alpha\partial\ times Ck，\alfa\partial/rightarror Ck，\ alpha\ partial for k\geq 2。现在，（A.1）与（A.3）结合，得出了eta t d2\eta t=N\eta t，d\etat，dt2 dt（A.4）d\eta t=v0，e\eta 0=id，dt的以下初值问题，其中N（q，w）=Cw\circ q-1w\cic q-1\circ q，\对于k\geq 1的α偏导数，该权利要求意味着N是光滑的，并且根据Banach流形中odes的一般理论，如果v0 k，α足够小，初值问题（A.4）对于t（-2，2）有一个解。此外，映射exp:v0\rightarrow\eta 1在421的邻域0和D exp|=id中是光滑的。因此，只要在Yk中v0\（符号见引理6.7），就足以验证0\eta t是体积保持的，或者等价地，v是无散度的。引理6.7随后从隐函数定理导出。为了确保v保持无散度，将（A.3）重写为\partial tv=-（v\cdot D）v-（v\cdot D）Qv+Q[（v\cd ot D）v]。由于Q2=Q，因此得出部分t Qv=Q\部分tv=-Q[（v\cdot D）Qv]和（Qv）\cdot=\部分t Qv+（v\cdot D）Q Qv=[v\cdotD，Q]Qv。由于Qv0=0，交换子的有界性和Gronwall不等式意味着Qv\equiv0，因此divv=0。要详细了解这一点，可以定义材料描述（Qv）m:=Qv\circ\eta t。然后，（Qv）\cdot=d（Qv。只需证明双线性映射（u，v）\rightarrow [32] v是从Ck，\alpha\partial\乘以Ck，\ alpha\ partial到Ck的界。注意，Q可以写成Q＝-1 T-1 div，T＝div-1。D D现在的断言来自于重复使用（形式）交换关系 [33] =[A，B1]B2+B1[A，B2]，B[A，B-1]=-[A，B]B-1和 [34] f=uj\部分jf-（uj\局部jf）=-（uj）\部分jf， [35] =u j \部分j（\部分ivi）-\部分i（u j \局部j \部分ivi）=-（\部分iu j）（\部分jvi）。我们把它留给勇敢的读者来验证，对于u，V在C中所有形式的0操作都是合理的。注意，（u\cdot D）f=-（div u）f，因此（u\cdot D）的应用不保留C\infty av，因此未定义[A，T-1]。如果\pi表示投影f\rightarrow f-1||f，那么Q可以写成Q=-1\pi T-1\pi div，交换子\pi[A，T-1\π]是D定义的，并且具有所需的属性。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。