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弥海慈浦;安德烈·杜杰拉;靖国富士田

通过相邻的较小元素对丢番图三元组进行扩展。 （英语） Zbl 1496.11050号

梅迪特尔。数学杂志。 19，第4号，第187号论文，20页（2022年）.
给定一个正整数（m），丢番图元组是一组整数（a_1，a_2，ldots，a_m}），其性质是（a_ia_j+1）是所有（1leqi<jleqm.）In的完美平方[A.杜杰拉J.Reine Angew著。数学。566, 183–214 (2004;兹比尔1037.11019)]第二作者证明了上述定义对于无（m）元组和（mleq6）元组是满足的。然后，在[B.他等，Trans。美国数学。Soc.371，No.9，6665–6709（2019年；Zbl 1430.11044号)]，它表明它必须包含（m\leq 4.）要查看关于丢番图集的完整书目，可以看到[A.杜杰拉，丢番图\（m\）-元组。https://web.math.pmf.unizg.hr/~duje/ref.html]. 文献中的大多数作品都致力于通过连接大于已知三个元素的第四个元素来扩展丢番图三元组。以下推测是目前最感兴趣的公开问题，它是在[J.阿尔金等，Fibonacci Q.17，333–339（1979；Zbl 0418.10021号);D.E.吉布斯，程序。美国数学。Soc.70103-108（1978年；Zbl 0404.18011号);A.杜杰拉，J.数论89，第1期，126-150（2001；Zbl 1010.11019号)].
推测1.1：任何丢番图三元组\（\｛a，b，c \｝\）对丢番图四元组\（\｛a，b，c，d \｝\）都有一个元素\（d>\ max\｛a，b，c \｝\）的唯一扩展
在他们之前的工作中[周期数学，洪.82，No.1，56-68（2021；Zbl 1474.11078号)]通过研究丢番图三元组的可扩性，得出一个小于初始三元组所有元素的整数，本作者指出：
推测1.2：假设\（{a_1，b，c，d\}\）是一个具有\（a_1<b<c<d）的丢番图四元组，那么，对于任何具有\（a _1\neq a_2<b）的整数\（a_2），\（{a_2，b，d，}\）不是一个丢番图四元组
在审查的论文中，作者继续研究，证明：
主要定理：假设（a_1，b，c，d\}）和（a_2，b，c，d\{）是带（a_1<a_2<b<c<d\）的丢番图四元组。然后，以下内容成立：
(1)
\（a_2>\最大\{36a_1^3300a_1^2\}。）
(2)
\（b<a_2^{3/2}）表示\（a_1\geq1），（b<a_2^{4/3}）代表\（a_2\geq2）或\（a_1=1）和\（a_2<4\cdot 10^5）。
(3)
\（a_2>24^3=13824。）
(4)
\（16 a_1^2 b^3<c<16 a_2 b^3。）
他们还证明了上述五元组（a_1，a_2，b，c，d\}）的数量是有限的，并且获得了他们定理的一些有趣的结果，包括推论1.6，它表明猜想1.2意味着猜想1.1。
审核人：萨贾德·萨拉米（里约热内卢）

MSC公司：

2009年11月 二次和双线性丢番图方程
11层37 定期
11J68型 代数数的逼近

关键词：

丢番图\（m\）-元组;佩林方程;超几何方法

引文：

Zbl 1037.11019号;Zbl 1430.11044号;Zbl 0418.10021号;Zbl 0404.18011号;Zbl 1010.11019号;Zbl 1474.11078号

软件：

PARI/GP基因
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.Cipu}等人，Mediter。J.数学。19，第4号，第187号论文，20页（2022年；Zbl 1496.11050）
全文： 内政部

参考文献：

[1] Arkin，J。；霍加特，VE；斯特劳斯，EG，《论欧拉对丢番图问题的解决》，斐波那契Q.，17，333-339（1979）·Zbl 0418.10021号
[2] 贝克，A。；Davenport，H.，方程\（3x^2-2=y^2）和\（8x^2-7=z^2），Q.J.数学。牛津大学。序列号。，2, 20, 129-137 (1969) ·Zbl 0177.06802号 ·doi:10.1093/qmath/201.129
[3] Bugeaud，Y。；杜杰拉，A。；米格诺特，M.，关于丢番图三元组家族。数学。J.，49，333-344（2007）·Zbl 1168.11007号 ·doi:10.1017/S0017089507003564
[4] Cipu，M.，《关于丢番图五胞胎的进一步评论》，《阿里思学报》。，168, 201-219 (2015) ·Zbl 1347.11028号 ·doi:10.4064/aa168-3-1
[5] Cipu，M。；杜杰拉，A。；Fujita，Y.，Diophantine三元组，共有两个最大的元素，Period。数学。挂。，82, 56-68 (2021) ·Zbl 1474.11078号 ·doi:10.1007/s10998-020-00331-4
[6] Cipu，M。；菲利宾，A。；Fujita，Y.，《丢番图五人组II的界限》，Publ。数学。碎片。，88, 59-78 (2016) ·Zbl 1363.11048号 ·doi:10.5486/PMD.2016.7257
[7] Cipu，M。；菲利宾，A。；Fujita，Y.，诱导某些丢番图三元组的丢番图对，《数论》，200433-475（2020）·Zbl 1475.11046号 ·doi:10.1016/j.jnt.2019.09.019
[8] Cipu，M。；Y.Fujita。；Mignotte，M.，唯一可扩展丢番图三元组的双参数族，科学。中国数学。，61, 421-438 (2018) ·Zbl 1419.11054号 ·doi:10.1007/s11425-015-0638-0
[9] Cipu，M。；Y.Fujita。；Miyazaki，T.，关于丢番图三元组的扩张数，国际数论杂志，1899-917（2018）·Zbl 1429.11065号 ·doi:10.1142/S1793042118500549
[10] Dujella，A.，丢番图元组大小的绝对界，《数论》，89，126-150（2001）·Zbl 1010.11019号 ·doi:10.1006/jnth.2000.2627
[11] 杜杰拉，A.，Diophantine五胞胎数量有限，J.Reine Angew。数学。，566, 183-224 (2004) ·Zbl 1037.11019号
[12] Dujella，A.：丢番图元组。网址：https://web.math.pmf.unizg.hr/duje/ref.html·Zbl 1046.11034号
[13] 杜杰拉，A。；Pethő，A.，Baker和Davenport定理的推广，Q.J.Math。牛津大学。序列号。(2), 49, 1998, 291-306 (1998) ·Zbl 0911.11018号 ·doi:10.1093/qmathj/49.3.291
[14] 菲利宾，A。；Y.Fujita。；Togbé，A.，丢番图对的可扩性I：一般情况，Glas。材料序列号。三、 49、69、25-36（2014）·Zbl 1308.11034号 ·doi:10.3336/gm.49.1.03
[15] 菲利宾，A。；Y.Fujita。；Togbé，A.，丢番图对的可扩展性II：实例，J.数论，145604-631（2014）·Zbl 1308.11033号 ·doi:10.1016/j.jnt.2014.06.020
[16] Fujita，Y.，丢番图对的可扩展性（{k-1，k+1），《数论》，128，322-353（2009）·Zbl 1151.11015号 ·doi:10.1016/j.jnt.2007.03.013
[17] Fujita，Y.，《任何丢番图五元组都包含规则丢番图四元组》，《数论》，1291678-1697（2009）·Zbl 1218.11031号 ·doi:10.1016/j.jnt.2009.01.01
[18] Fujita，Y.，固定丢番图对或三重丢番图的不规则丢番图四倍数，Contemp。数学。，768, 105-118 (2021) ·Zbl 1520.11040号 ·doi:10.1090/conm/768/15457
[19] Y.Fujita。；宫崎骏，T.，《丢番图四胞体的规律》，Trans。美国数学。社会学，3703803-3831（2018）·Zbl 1417.11024号 ·doi:10.1090/tran/7069
[20] Gibbs，PE，计算机。公牛。，17, 16 (1978)
[21] 他，B。；多哥，A。；齐格勒，V.，《没有丢番图五倍体》。美国数学。Soc.，371，6665-6709（2019年）·Zbl 1430.11044号 ·doi:10.1090/tran/753
[22] 琼斯，BW，关于丢番图和达文波特问题的第二种变体，斐波那契Q.，16，155-165（1978）·Zbl 0382.10011号
[23] 李，JB；Park，J.，Diophantine对中第三元素形式的一些条件及其应用，J.Korean Math。Soc.，55，425-445（2018）·Zbl 1437.11045号
[24] Matthews，K.：使用LMM方法求解丢番图方程（ax^2-by^2=c）。http://www.numbertheory.org/php/aa.html
[25] Rickert，JH，同步有理逼近和相关丢番图方程，Proc。外倾角。菲洛斯。Soc.，113，461-472（1993）·Zbl 0786.11040号 ·doi:10.1017/S0305004100076118
[26] PARI集团：PARI/GP，2.9.2版，波尔多（2017）http://pari.math.u-bordeaux.fr/
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