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帕维尔·埃廷戈夫;阿列克谢·奥布隆科夫;埃里克·雷恩斯

秩为1的广义双仿射Hecke代数和量子化del-Pezzo曲面。 （英语） Zbl 1118.14003号

高级数学。 212，第2期，749-796（2007）.
由引入了归约根系统的双仿射Hecke代数I.切尔德尼克[国际数学研究，1992年，第9期，171-180（1992；Zbl 0770.17004号)]为了证明麦克唐纳猜想。在Noumi、Sahi和Stokman的著作中引入了（C^vee C_n）型代数，作为（B_n）和（C_n”型Cherednik代数的推广，以证明Koornwinder多项式的Macdonald猜想。本文定义并研究了新代数（H（t，q），它是（C^vee C_n）型双仿射Hecke代数在（n=1）情况下的推广：固定一个星形单格仿射Dynkin图（widehat{D}）（tilde{D} _4个\)，\（\颚化符{E} _6个\)，\（\波浪号{E} _7个\)，或\（\ tilde{E} _8个\)). 设\（m\）是\（widehat｛D｝\）的腿数，\（D_j-1\），\（j=1，\dots，m，\）是第\（j\）个腿的长度。然后，作者定义了一个依赖于参数（q\in\mathbb{C}^\ast\）和（t=（t_{ij}）\）、（t_{kj}\in\mathbb{C}^\ ast\）、\（k=1，\ dots，m，\）\（j=1，\dots，d_k\）、生成器\（t_k\）、\[\prod_{j=1}^{d_k}（T_k-e^{2\piij/duk}T_{kj}）=0，\text{}k=1，\点，m；\文本{}\prod_{k=1}^m T_k=q。\]对于\（\widehat{D}=\tilde{D} _4个\)在（widehat{D}=tilde{电子}_{6,7,8}）结果是新代数，这是本文的主要主题。如果（t_{kj}=1）和（q=1），代数（H（t，q）=H（1,1）是已知与二维晶体学群同构的群（G）的群代数{Z} _l（l）\时间\mathbb{Z}^2，\）\（l=2,3,4,6\）在情况\（\widehat{D}=\ tilde{D} _4个，\颚化符{E} _6个，\颚化符{E} _7个，\颚化符{E} _8个、\）。此外，（H（1，q）是（G）的扭群代数，因此（H（t，q）为（G）扭群代数的变形。作者证明，如果将（log（t{kj}）作为形式参数，那么这种变形是平坦的，如果（q）不是单位根（varepsilon是一个新的形式参数），则（H（t，qe^{varepsilen}）是H（1，q）的普适变形。
作者还证明了一个更精细的代数PBW定理，声称（H（t，q））上的某些滤子具有特定的显式Poincaré级数，与（t）和（q）无关。众所周知，对于\（\widehat{D}=\ tilde{D} 4个\)并且（q=1）代数（H（t，q））在其中心上是有限的，并且（Z（t，q）的谱是仿射三次曲面，通过删除形成三角形的三条线从射影曲面获得。作者证明了这个结果对于作为单位根的（q）也是有效的，并将其推广到了（widehat{D}=tilde{电子}_{6,7,8}\). 在这些情况下，作为单位根的（Z（t，q）的谱是一个仿射曲面（S（t，q）），它是通过删除节点（mathbb{P}^1）分别从度为（3,2,1）的射影del Pezzo曲面（S\)应视为曲面（S（t，1））的代数量化。
此外，（H（t，q）的代数PBW定理意味着关于适当过滤的Rees代数提供了泊松曲面的（非交换）量化。作者回顾了平面晶体群的基本知识。他们考虑了平面晶体群（G）的扭群代数（B（q）=H（1，q）），并将其变形为代数（mathbf{H}（q））。他们证明了（widehat{mathbf{H}}（q））的形式PBW定理，并给出了（B（q）的上同调及其泛形变的结果。
然后，作者定义了\（H（t，q）\）上的递增过滤，即长度过滤。他们证明了这种过滤的庞加莱级数与（t，q）无关。然后，他们使用这个结果来建立\（H（t，q）\）的一般性质。利用Riemann-Hilbert对应，他们定义了从广义双仿射Hecke代数的形式化版本到与图（宽{D}）相关的箭图的变形预投影代数的完备的同态。因此，可以定义从Kleinian奇点的普适变形（mathbb{C}^2/Gamma）到曲面族（S（t，1））的全纯映射。这是\（0\in\mathbb｛C｝^2/\Gamma\）附近分析变体的局部同构，在\（\widehat｛D｝=\tilde）的情况下{D} _4个\)编码PainlevéVI方程的通用解。
作者仔细研究了曲面（S（t，q）：设（mathbf{G}）是对应于图（D）的简单李群。然后证明了代数（H（t，q）只依赖于（t）到最大环面（mathbf{t}\subset\mathbf}-G}）的投影，并且从（mathbf{t}）到仿射del Pezzo曲面模空间的映射（t，1）是Galois，并且Galois群同构于（G）的Weyl群。这也意味着，作为（t）函数的（S（t，1））方程的系数是（mathbf{G}）不可约表示的特征多项式，作者明确地计算了这些多项式。作者给出了变形理论的必要定义和结果，并对文章进行了组织，使基于计算机计算的结果留在文章末尾。
本文涵盖了大量严重依赖于非平凡理论（分析和代数）的结果。这是一篇非常好的文章，涵盖了代数（H（t，q））及其变形理论的几乎所有可能。它包含高质量的结果，需要一些时间才能完全理解它们及其证明。
审核人：Arvid Siqveland（孔斯堡）

引用于21文件

MSC公司：

14A22型 非交换代数几何
17层37 量子群（量子化包络代数）及其变形
20C08型 赫克代数及其表示

关键词：

秩为1的广义双仿射Hecke代数;量化del Pezzo曲面

引文：

Zbl 0770.17004号

软件：

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\textit{P.Etingof}等人，高级数学。212，第2号，749--796（2007；Zbl 1118.14003）
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