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大卫·贝西斯;维克多·雷纳

复杂反射群非交叉分区的循环筛分。 （英语） Zbl 1268.2004年11月

安·库姆。 15，第2期，197-222（2011）.
引言：我们证明了循环筛分现象的一个例子，它发生在生成良好的复反射群的非交叉分区的上下文中。
我们的目标是下面的定理1.1，其术语将在这里进行简要解释，并在下一节中进行更全面的解释。
设（V=mathbb C^n）和（W\subset\text{GL}（V））是有限不可约复反射群，即（W\）由其反射集（R\）生成。我们将进一步假设（W）是“生成良好”的，因为它可以由其反射生成。定义Coxeter数\（h:=d_n\）和\（W\）-\（q\）-加泰罗尼亚数\[\text｛Cat｝（W，q）：=\prod^n_｛i=1｝\frac｛[h+d_i]_q｝｛[d_i]_q｝，\]其中\（[n]q:=1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}=\tfrac{q^n-1}{q-1}\）。设\（c\）是\（W\）的正则元素T.A.施普林格[发明数学.25159-198（1974；Zbl 0287.20043号)]，顺序为\（h\）；这样一个有序的正则元素（h）将存在，因为（W）生成良好；见2.3小节。换句话说，\（c\）具有一个不被任何反射固定的特征向量\（v\ In v\），并且其\（c\）-特征值\（\zeta_h\）是单位的基元\（h\）-根。
设\（\text{NC}（W）：=\{W\在W:\ell_R（W）+\ell_R（W）中^{-1}c)=n\}\），其中\（\ell_R\）是某些\（R\}\中的R_i\）的绝对长度函数\（\ll_R（w）：=\min\{\ell:w=R_1r_2\cdots R_\ell\）。（text{NC}（W））中的首字母“NC”是由特殊情况激发的，其中，（W\）是类型为（A_{n-1}\）的Weyl群，集合\（text{NC}（W\；见下文第2.1小节。
事实上，\（R\）在\（W\）-共轭下是稳定的，这意味着循环群\（C:=\langle C\langle\）通过共轭作用于集\（\text｛NC｝（W）\）：\（W\in\text｛NC｝（W）\）暗示\（cwc^｛-1｝\in\text｛NC｝（W）\）。
定理1.1。在上述设置中，三元组\（（X，X（q），C）\）由\[X=\text{NC}（W），\quad X（q）=\text}Cat（W，q），\quid C=langle C\rangle\cong\mathbb Z/h\mathbbZ，\]显示了以下定义的循环筛选现象V.Reiner，D.斯坦顿、和D.白色[J.Comb.Theory，Ser.A 108，No.1，17-50（2004；Zbl 1052.05068号)]：对于\（c\）中的任何元素\（c^i\），由\（c_i\）固定的\（X\）中元素的子集\（X^{c^i}）具有基数\（|X^{c ^i}|=[X（q）]_{q=\zeta^i_h}）。
在解释了第2节中更多的背景和定义之后，定理1.1在第3节中得到了证明。第4节讨论了（文本{Cat}（W，q））的（部分推测的）解释，从而引发了对第5节定理1.1的更多概念性证明的推测。第6节评论了一些推测的变化。

引用于2评论
引用于30文件

MSC公司：

20层55 反射和Coxeter群（群理论方面）
2018年1月5日 集合的分区
2015年5月 群和代数的组合方面（MSC2010）
2015财年51 反射组，反射几何体

关键词：

复杂反射组;酉反射群;非交叉分区;循环筛分现象;有理Cherednik代数

引文：

Zbl 0287.20043号;Zbl 1052.05068号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛D.Bessis｝和\textit｛V.Reiner｝，Ann.Comb。15，第2号，197--222（2011；Zbl 1268.2004）
全文： 内政部 arXiv公司

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