尊敬的马罗莎·马萨;阿马迪乌·德尔沙姆斯 彼得罗·蒙戈利作品中的欧拉β积分。 （英语） Zbl 1180.01018号 架构（architecture）。历史。精确科学。 63，第3期，325-356（2009）. 彼得罗·蒙戈利（1626-1686）是博洛尼亚的数学家和牧师，是著名的博纳文图拉·卡瓦列里的同事。卡瓦列利于1647年去世后，蒙戈利接替他成为博洛尼亚大学的教授，并在那里度过余生。如本文所述，Mengoli的目标之一是计算具有单位直径的半圆的面积，这对应于计算积分\（int_0^1\sqrt{x（1-x）}\，text{d} x个\).但Mengoli实际上解决了一个更普遍的积分计算问题（int_0^1\sqrt{x^p（1-x）^q}，\text{d} x个\)，其中\（p\），\（q\）是任意整数。他的研究结果发表在两部著作中，Geometriae Speciosae元素a（1659）和马卡罗(1672).如果不是完全严格的话，蒙哥利的方法也是非常新颖的。首先，通过不可分方法和他自己的“拟利润”理论的结合，他得到了结果\[\int_0^1 x^n（1-x）^{m-n}\，\text{d} x个={1\超过（m+1）{m\选择n}}\]（其中\（m\），\（n\）是整数）。其次，他能够插值二项式三角形以获得（{m/2\choose n/2}）的值。然后，前面的结果概括为\[\int_0^1\sqrt｛x^n（1-x）^｛m-n｝｝\，\text{d} x个＝｛1\over（m/2+1）｛m/2\choose n/2｝｝。\]70年后，积分\[\int_0^1x^{p-1}（1-x）^{q-1}\，\text{d} x个\]（其中\（p）和\（q）是任意正数）由Leonhard Euler考虑，现在被称为beta函数。作者指出，蒙哥利的结果很难阅读；莱布尼茨当然知道它们，但欧拉可能不知道。然而，Mengoli应该被视为β积分和β函数历史上的先驱之一。审核人：安东·斯拉维克（普拉哈） 引用于1审查引用于4文件 MSC公司： 01A45号 17世纪数学史 33B15号机组 伽玛、β和多囊膜功能 33-03 特殊功能的历史 05A10号 阶乘、二项式系数、组合函数 关键词：二项式系数;组合三角形;调和三角形;β积分;β函数;准盈利性;Wallis产品 传记参考： 彼得罗·蒙戈利 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.R.M.Esteve}和\textit{A.Delshams}，Arch。历史。精确科学。63，第3号，325--356（2009；Zbl 1180.01018） 全文： 内政部 参考文献： [1] 安徒生，克里斯蒂，1984/1985。卡瓦列里的不可分割方法。精确科学史档案31:291–367·Zbl 0563.01005号 [2] 莱昂·奥格（1962）《非学者梅科努：吉莱斯·佩森·德罗贝瓦尔（1602-1675）》。巴黎A·布兰查德图书馆·Zbl 0101.00803号 [3] 加布里埃尔·巴伦西尼和马尔塔·卡瓦扎。（1986）《彼得罗·蒙戈利的评论》（La corrispondenza di Pietro Mengoli）。奥尔施基·佛罗伦萨 [4] 亨利·博斯曼斯。（1924）《布莱斯·帕斯卡的数学实践》。数学38:1-59 [5] 弗洛里安·卡乔里。1928–1929. 数学符号史，第2卷。芝加哥：公开法庭（多佛，1993年再版）·Zbl 1341.01059号 [6] 罗纳德·卡林格。（1996）莱昂哈德·欧拉：圣彼得堡元年（1727-1741）。Historia Mathematica数学史23:121–166·Zbl 0856.01014号 ·doi:10.1006/hmat.1996.015 [7] 乔瓦娜·西福莱蒂（Giovanna Cifoletti）。1990年《费马之路》：儿子地位与争议。收录于：《科学哲学与历史》，新德里，第33卷。巴黎：法国历史科学与技术学会。 [8] 德尔沙姆斯（Delshams）、阿马迪乌（Amadeu）和马萨（Massa）、马罗莎（Ma Rosa）。（2008）Leonhard Euler（1707-1783）的《关于功能的思考》。Quaderns d’Hist’ria de l’Enginyeria IX:59–82 [9] 勒内·笛卡尔。1954.勒内·笛卡尔的几何学编辑D.E.史密斯和M.L.拉瑟姆。纽约：多佛。 [10] 安东尼·威廉·爱德华兹（2002）（1987年第1版）《帕斯卡的算术三角形》。一个数学思想的故事。牛津大学出版社。，纽约·Zbl 1032.01013号 [11] 利昂哈德·尤勒。1730–1731. 超前进超自夸终端一般代数dari nequeunt。在欧拉歌剧《奥姆尼亚》14（I）：1-24。 [12] 利昂哈德·尤勒。（1739）De productis ex infinitis阶乘。收录：欧拉歌剧院Omnia 14（I）：260-290 [13] 利昂哈德·尤勒。（1753）每个因子的去表示积分。收录：Euler Opera Omnia 17（I）：233–267 [14] 皮埃尔·德·费尔马特（Pierre de Fermat），1891-1922年。机动。编辑P.Tannery和H.Charles，4卷。巴黎：更高的别墅。 [15] 乔瓦尼·费拉罗。（1998）欧拉级数理论的几个方面。Historia Mathematica数学史25:290–317·兹比尔0917.01018 ·doi:10.1006/hmat.1998.2195 [16] 乔瓦尼·费拉罗。（2000）欧拉中的函数、函数关系和连续性定律。Historia Mathematica数学史27:107–132·Zbl 0979.01010号 ·doi:10.1006/hmat.2000.2278 [17] 乔瓦尼·费拉罗。（2004）微积分欧拉基础中的微分和微分系数。Historia Mathematica数学史31:34–61·Zbl 1102.01014号 ·doi:10.1016/S0315-0860（03）00030-2 [18] 乔瓦尼·费拉罗。（2008）作为反微分的积分。欧拉试图将微积分转换为代数微积分的一个方面。Quaderns d’Hist’ria de l’Enginyeria IX:25–58岁 [19] 克雷格·弗雷泽。（1989）作为代数分析的微积分：对18世纪数学分析的一些观察。精确科学史档案39:317–335·Zbl 0761.01004号 [20] 恩里科·朱斯蒂。（1980）Bonaventura Cavalieri和不可分割理论。埃迪齐奥尼乳酪，博洛尼亚·Zbl 0933.01003号 [21] 恩里科·朱斯蒂。1991年，《彼得罗·蒙戈利总理报》。La somma delle serie，《几何学与复变量：博洛尼亚大学第九个百年庆典国际会议论文集》，S.Coen编辑，195-213。纽约：Dekker·Zbl 0741.01010号 [22] 杰里米·格雷。1985年，利昂哈德·尤勒（Leonhard Euler）：1707-1783。贾纳斯：《国际科学史评论》（Revue international de l’historie des sciences，de la médecine，de la pharmacie et de la technique LXXII），1-3:171-192。 [23] 詹姆斯·格雷戈里。1939.《三百周年纪念册》，编辑：H.W.Turnbull，伦敦：Bell。 [24] 皮埃尔·Hérigone。1642–1644. Cursus mathematicus、Nova、Brevi et clara methodo demonstratus、Per NOTAS reales&universales、citra usum cuiuscunque idomatis、intelligence faciles。（第二版），6卷。巴黎：西蒙·皮吉。 [25] 欧内斯特·威廉·霍布森。（1913）使圆圈变直角。这个问题的历史。剑桥大学 [26] 凯瑟琳·杰米。（1988）《中国历史》。精确科学史档案38 1:39–50·Zbl 0698.01004号 ·doi:10.1007/BF00329979 [27] 西1672-1676年，戈弗里德·莱布尼茨。Sämtliche Schriften und Briefe，系列VII:Mathematische Schripten，第三卷：Differenzen-Folgen-Reihen，柏林，2003年，735-748。 [28] 迈克尔·肖恩·马奥尼。1973年皮埃尔·德·费马的数学生涯。普林斯顿：普林斯顿大学（1994年重印）·Zbl 0264.01007号 [29] 安东尼·马莱特。（1996）从不可分到无穷小，研究17世纪无穷小量的数学化。巴塞罗那Autónoma de Barcelona大学·Zbl 0922.01015号 [30] 马萨·埃斯蒂夫（Massa-Esteve），马·罗莎（Ma Rosa）（1994），《博纳文图拉不可分割的厄尔梅托德》。卡瓦列里·巴特利特·德拉塞塔拉纳·德马特马提克（Cavalieri Butletíde la Societat Catalana de Matemátiques）9:68–100 [31] 马萨·史蒂夫，马·罗莎。（1997）Mengoli关于“准比例”。Historia Mathematica数学史24（2）：257–280·Zbl 0884.01014号 ·doi:10.1006/hmat.1996.2147 [32] 马萨·史蒂夫，马·罗莎。1998.彼得罗·蒙戈利（1625-1686）的研究：Taules triangulars i quasi-proporcions coma desenvolupament de l'a lgebra de Viète。特西博士。巴塞罗那：巴塞罗那大学。http://www.tdx.cat/tdx-0506108-144848 . [33] 马萨·史蒂夫，马·罗莎。（2003）La the orie euclidienne des rations dans les“Geometriae Speciosae Elementa”（1659）de Pietro Mengoli。《科学史评论》56（2）：457–474·doi:10.3406/rhs.2003.2196 [34] 马萨·史蒂夫，马·罗莎。（2006a）彼得罗·蒙戈利（1625-1686）的《代数和几何》。数学史33:82-112·Zbl 1097.01014号 ·doi:10.1016/j.hm.2004.12.003 [35] 玛莎·埃斯特维，玛·罗萨。2006年b。《阿尔盖布雷扎奇宫》（L'Algebrizacióde les Matemátiques）。彼得罗·蒙戈利（Pietro Mengoli，1625-1686）。巴塞罗那：加泰罗尼亚学院·Zbl 1097.01014号 [36] 马萨·史蒂夫，马·罗莎。2006年c。La algebrización de las Matemáticas。皮埃尔·海里戈内（1580-1643）。《第九届社会大会学报》，萨迪兹，托莫1号，183-197年。 [37] 马萨·史蒂夫，马·罗莎。2007年，莱昂哈德·欧勒（1707-1783）：《勒霍姆，埃尔克里多里·梅斯特雷》（L’home，el creador i el Mestre）。梅托德，35-38岁。瓦伦西亚：瓦伦西亚大学。 [38] 马萨·史蒂夫，马·罗莎。（2008）早期现代数学中的符号语言：皮埃尔·海里根的代数（1580-1643）。Historia Mathematica数学史35:285–301·Zbl 1174.01006号 ·doi:10.1016/j.hm.2008.05.003 [39] 彼得罗·蒙戈利。1650.博洛尼亚，新四边形算术（Novae Quadrature Arithmeticae seu de Additione Fractionum）。 [40] 彼得罗·蒙戈利。1659.Geometriae Speciosae Elementa（几何元素）。博洛尼亚。 [41] 彼得罗·蒙戈利。1672.马戏团。博洛尼亚。 [42] Natucci，A.1970–1991年。蒙哥利。在《科学传记词典》（Dictionary of scientific biography）中，C.C.Gillispie编辑，第9卷，303–304。纽约：斯克里布纳出版社。 [43] 布莱斯·帕斯卡。（1954年）完整运行。巴黎加里马 [44] 齐格蒙德，普罗布斯特。2009年，莱布尼茨（1672-1676）接受彼得罗·蒙戈利（Pietro Mengoli）的系列作品。2007年6月18日至22日，佩鲁贾，UMI-DMV联合国际会议记录。 [45] 亚伯拉罕·塞登伯格。（1981）圆形和方形的仪式起源。精确科学史档案25:269–327·Zbl 0481.01004号 ·doi:10.1007/BF01395658 [46] 杰奎琳·斯特达尔（2001）《奇迹的发现：解读约翰·沃利斯的无限算术》。精确科学史档案56:1–28·Zbl 1026.01006号 ·doi:10.1007/s004070100040 [47] Volkov，Alexei（1997）赵友琴及其圆周率的计算。Historia Mathematica数学史24:301–331·Zbl 0885.01006号 ·doi:10.1006/hmat.1997.2163 [48] 伊芙琳·沃克。（1986）关于……食用特性的研究。。。罗伯瓦尔。纽约哥伦比亚大学 [49] 约翰·沃利斯。1972年《歌剧数学》第3卷。无限算术，第1卷。纽约：奥尔姆斯·Zbl 0229.01031 [50] Youschkevitch，Adolf P.1970-1991年。欧拉。在《科学传记词典》（Dictionary of scientific biography）中，C.C.Gillispie主编，第9卷，467-484页。纽约：斯克里布纳出版社。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。