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阿贝尔·迪亚斯·冈萨雷斯;皮耶拉·卡布雷拉，赫克托;哈维尔·金特罗·罗巴

Sobolev（p\）范数中离零最小偏差的多项式。 （英语） Zbl 1489.30003号

牛市。马来人。数学。科学。社会（2） 45，第2号，889-912（2022）.
作者研究零偏差最小多项式（经典情形：确定度为（n）的一元多项式（P_n）的存在唯一性和特征{Z}（Z）_{+}），其中（P_n）是多项式线性空间中的范数，（mathbb{P}）是次多项式子集的范数{Z}（Z）_{+}\）关于定义如下的规范：
●
\（1），
●
\（\mu=（\mu_0，\mu_1，\ldots，\mu_m）\）与\（m\in\mathbb{Z}（Z）_{+}\）度量向量，其中\（mu_k\）是满足\（operatorname{supp}\mu_k\subset\mathbb{R}\）的正有限Borel度量，
●
\（k=0,1，\ldots，m\）的（\mathbb{P}\子集L^1（\mu_k）\），
●
\（\Delta_k\）是\（\operatorname{supp}\mu_k\，

然后，对于一个函数（f）（带有（f^{（k）}）的（k）阶导数）[f\|{p，\mu}=left（sum_{k=0}^m\，\|f^{（k）{\|^{p}_{k，p}\右）^{1/p}=\左（\sum_{k=0}^m\，\int_{\Delta_k}\，|f{（k）}|^pd\mu_k\right）^{1/p}。\标记{1}\]在之前的一篇论文中[Bull.Math.Sci.11，No.1，Article ID 1950019，18 p.（2021；Zbl 1465.42001号)]作者证明了
定理1。考虑以下内容：Sobolev（p\）-norm（（1）\）for（1<p<infty）。则monic多项式\（P_n\）是第\（n\）个Sobolev极小多项式当且仅当\[\langle P_n，q\rangle=\sum_｛k=0｝^m\，\int_｛\Delta_k｝\，q^｛（k）｝\运算符名称｛sgn｝\left（P_n^｛（k）｝\right）\left | P_n^｛（k）｝\right|^{p-1}天\mu_k=0，\]对于每个多项式{P}（P）_{n-1}\）。
论文布局如下：
§1.引言（3页）：
特殊规范（连续Sobolev、离散Sobolef）的历史背景和定义，以及在所谓的续集中使用的特殊规范离散情况.
给定\（N \ in \ mathbb{Z}（Z）_{+}，\，\Omega=\{c_1，\ldots，c_N\}\subset\mathbb{c}，\\{m_0，\ltots，m_N\}\subset\mathbb{Z}（Z）_｛+｝\）和\（m=\max\｛m_0，\ldots，m_N\｝\）。
1
\（\mu_0=\mu+\sum_{j=1}^N\，A_{j，0}\delta_{c_j}\），其中\（A_{j,0}\geq0，\\mu\）一个有限正Borel测度，\（operatorname{supp}\mu\ subsette\mathbb{R}\）具有无穷质量点，\（\mathbb2{P}\subsette L^1（\mu）和\（\deltax\）表示质量点为1的Dirac测度●●●●。
2
对于\（k=1，\ldots，m\），我们有\（\mu_k=\sum_{j=1}^N\，A_{j，k}\delta_{c_j}\），其中\（A_{j,k}\geq0，\A{j，m_j}>0\）和\（A_{j，k}=0\）if\（m_j<k\leqm\）。

§2.当（p=1）（6页）：
定理1的推广到情况（p=1）。在定理2中，给出了充分性的一般条件，该条件被证明不是必要的（示例2和3），也不保证唯一性（示例1）。
最后，他们的定理3建立了一个充要条件，在这个充要条件下，定理1中的公式在（p=1）时具有关于（1）的极小性。
定理3。设\（\mu=（\mu_0，\mu_1，\ldots，\mu_m）\）是连续的标准向量测度。
那么\（P_n\）是关于\（\|\cdot\|_{1，\mu}\）的第（n）个Sobolev极小多项式当且仅当\[langle P_n，q\rangle_{1，\mu}=\sum_{k=0}^m\，\int_{\Delta_k}\，q^{（k）}\operatorname{sgn}\left（P_n^{{P}（P）_{n-1}.\]
§3.缺项和非缺项离散Sobolev范数（第5页）：
现在的焦点是离散Sobolev范数（对于每一个（k=1，ldots，m\）测度（mu_k\）在有限多个点上得到支持），范数的形式如下\[\|f\|{p，\mu}=\left（\sum_{k=0}^m\，\int_{Delta_k}\，\left|f^{（k）}\right|^p d\mu_k\right）^{1/p}=\ left（\ int_{\Delta}\，|f|^pd\mu+\sum_{j=1}^N\sum_k=0{m_j}\，A_{j，k}|f^}{（k）}（c_j）|^p \右）^{1/p}.\标记{2}\]主要结果如下：
定理4。如果（2）本质上是非缺的，则最小多项式序列的零点集是一致有界的。
定理5。考虑一个Sobolev（p）-范数（2），使得\（mu\in\mathbf{Reg}\）和\（Delta）是丰富的实数区间。
如果（P_n）是关于（2）的一元极小多项式序列，那么对于所有（j geq 0）\度量}弱拓扑中的[\lim_{n\rightarrow\infty}\，\|P_n^{（j）}\|_{Delta}^{1/n}=\operatorname{cap}（\Delta）\text{和}w-\lim_{n\right arrow\finfty{\，\theta\left
§4.序列有序离散Sobolev范数（7页）：
规范（2）被称为按顺序排序如果\[\Delta_k\cap\mathbf{Co}\left（\cup_{i=0}^{k-1}\Delta_i\right）^{\circ}=\emptyset，\k=1,2，\ldot，m，\]我们有\[\Delta_0=\mathbf{Co}（\Delta\cup\{c_j\，：\，A_{j，0}>0\}）。\]此外，\（d^｛\ast｝＝|\｛A_｛j，k｝＞0\，：\，j=1，\ldots，N，\k=0,1，\ldots，m_j\｝|\）whre \（|U|\）是设置\（U\）。
现在，新结果如下：
定理7。设（mu）是标准向量测度，并且（1<p\leq\infty）。如果\（\|\cdot\|{p，\mu}\）是如（2）中所示的顺序Sobolev范数，其中\（\mu\）以这样一种方式取值，即\（c_j\ not\in\Delta^{\circ}\），那么\（p_n\）至少具有\
审核人：马塞尔·德布鲁因（Heemstede）

MSC公司：

30立方厘米10 多项式与一个复变量的有理函数
30立方厘米 多项式、有理函数和一个复变量的其他分析函数的零点（例如，具有有界Dirichlet积分的函数的零点）

关键词：

零偏差最小多项式;极值多项式;索波列夫范数;零位置

引文：

Zbl 1465.42001号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Díaz-González}等人，公牛。马来人。数学。科学。Soc.（2）45，No.2，889--912（2022；Zbl 1489.30003）
全文： 内政部 arXiv公司
OA许可证

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