F.莫林。 实现椭圆曲线素性证明算法的渐近快速版本。 （英语） Zbl 1127.11084号 数学。计算。 76，编号257493-505（2007）。 本文作者与A.O.L.阿特金【数学计算61，第203号，第29–69号（1993年；Zbl 0792.11056号)]给出了所谓的椭圆曲线的素性证明（ECPP），它基于经典Pocklington定理的椭圆版本，并使用复数乘法技术：设（D）是一个（基本）判别式，使得待测数字在二次域的整数环中分裂这样，\（m=N+1-\pi-\overline{\pi}\）是一个合适的基数（\（m=cN'\）表示小整数\（c>1\），\（N'\）表示可能素数）。设\（H_D（X）\in\mathbb Z[X]\）是Hilbert的多项式，\（j）是\（H-D（X）\bmod N\）的根。那么，在（F_N）（N）上具有（j）-不变量的任意椭圆曲线都有基数（m）。ECPP在\（\log（N）\）中有预期的运行时多项式，它们的执行提供了一个证明书表示\（N\）的素性。本文作者描述了J.O.Shallit（参见A.K.伦斯特拉和H.W.伦斯特拉《理论计算机科学手册》，J.van Leeuwen（编辑），北荷兰，674–715（1990；Zbl 0900.68250号)]带有推测成本\（\ tilde{O}（（\log N）^4）\）（其中\（\tilde{O}（f）\）表示\（O（f\log f）^{O（1）}）\））。本文第3节给出了ECPP算法的草图，而第4节描述了fastECPP。与ECPP的主要区别在于采用判别式（D）的方式，以减少必须计算的平方根数。第5节讨论了fastECPP实现的一些细节：计算类数（h（-D））、Cornacchia算法、因子分解（m）（检查条件（m=cN'））等。第6节，基准，给出了实现fastECPP的实验结果（使用前20个1000、1500和2000位数字的素数）。表1、表2和表3给出了上述三种情况中每种情况的时间（最小、最大和平均）。审核人：胡安·特纳·阿尤索（巴利亚多利德） 引用于12文件 MSC公司： 11年11月 原始 11G05号 全局场上的椭圆曲线 11国集团15 阿贝尔变种的复乘法和模 11G20峰会 有限域和局部域上的曲线 2016年11月 数字理论算法；复杂性 关键词：素性证明;ECPP算法;复数乘法;计算复杂性 引文：Zbl 0792.11056号;Zbl 0900.68250号 软件：MPC公司;MPFR公司;ECPP公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛F.Morain｝，数学。计算。76，编号257，493--505（2007；Zbl 1127.11084） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Leonard M.Adleman、Carl Pomerance和Robert S.Rumely，《区分质数和合成数》，《数学年鉴》。（2） 117（1983年），第1期，173-206·Zbl 0526.10004号 ·doi:10.2307/2006975 [2] Manindra Agrawal、Neeraj Kayal和Nitin Saxena，《PRIMES》收录于《数学安·P》。（2） 160（2004），第2期，781–793·Zbl 1071.11070号 ·doi:10.4007/annals.2004.160.781 [3] A.O.L.Atkin和F.Morain，椭圆曲线和素性证明，数学。公司。61（1993），第203号，第29–68页·兹比尔0792.11056 [4] 穆罕默德·阿亚德（Mohamed Ayad），分数\-entiers des courbes elliptiques，数学手稿。76（1992），第3-4、305-324号（法语）·Zbl 0773.14014号 ·doi:10.1007/BF02567763 [5] D.伯恩斯坦。在阿格拉瓦尔·凯亚尔·萨塞纳之后证明了首要性。http://cr.yp.to/papers/aks.ps，2003年1月。 [6] D.伯恩斯坦。在四次期望时间内证明素性。网址：http://cr.yp.to/piers/quartic.ps，2003年1月。 [7] 佩德罗·贝里兹贝蒂亚（Pedro Berrizbeitia），锐化“PRIMES is in？”对于一大类数字，数学。公司。74（2005），第2522043–2059号·Zbl 1071.11071号 [8] Reinier Bröker和Peter Stevenhagen，具有给定点数的椭圆曲线，算法数论，计算机课堂讲稿。科学。，第3076卷，施普林格出版社，柏林，2004年，第117–131页·Zbl 1207.11065号 ·doi:10.1007/978-3-540-24847-78 [9] 齐成，通过ECPP中的一轮和AKS中的一次迭代进行素数证明，密码学进展-2003，计算机课堂讲稿。科学。，第2729卷，施普林格出版社，柏林，2003年，第338-348页·Zbl 1122.68456号 ·数字对象标识代码：10.1007/978-3-540-45146-4_20 [10] H.Cohen和H.W.Lenstra Jr.，数域类群的启发式，数论，Noordwijkerhout 1983（Noordwij kerhout1983），数学课堂笔记。，第1068卷，施普林格出版社，柏林，1984年，第33-62页·doi:10.1007/BFb0099440 [11] H.Cohen和H.W.Lenstra Jr.，素数测试和雅可比和，数学。公司。42（1984），编号165，297–330·Zbl 0578.10004号 [12] Jean-Marc Couveignes和Thierry Henocq，关于CM点的模对应的作用，算法数论（Sydney，2002），计算讲义。科学。，第2369卷，施普林格出版社，柏林，2002年，第234–243页·Zbl 1057.11026号 ·doi:10.1007/3-540-45455-1_19 [13] David A.Cox，形式的素数²；+\？\²；，《威利国际科学出版物》，约翰·威利父子公司，纽约，1989年。费马，类场论和复数乘法。 [14] Richard Crandall和Carl Pomerance，《素数》，Springer-Verlag出版社，纽约，2001年。计算视角·Zbl 1088.11001号 [15] A.工程师。通过浮点近似进行类多项式计算的复杂性。预印本，2004年2月·Zbl 1208.11136号 [16] 安德烈亚斯·恩格（Andreas Enge）和弗朗索瓦·莫林（François Morain），比较虚二次域类域的不变量，算法数论（Sydney，2002），计算讲义。科学。，第2369卷，施普林格出版社，柏林，2002年，第252-266页·Zbl 1058.11077号 ·文件编号：10.1007/3-540-45455-1_21 [17] Andreas Enge和François Morain，具有已知伽罗瓦群的多项式的快速分解，应用代数，代数算法和纠错码（图卢兹，2003）Comput讲义。科学。，第2643卷，施普林格，柏林，2003年，第254–264页·Zbl 1030.11078号 ·doi:10.1007/3-540-44828-4_27 [18] 安德烈亚斯·恩格（Andreas Enge）和莱因哈德·谢尔茨（Reinhard Schertz），《复合水平的模块化曲线》（Modular curves of composite level），《阿里斯学报》（Acta Arith）。118（2005），第2期，129–141·Zbl 1158.11322号 ·doi:10.4064/aa118-2-3 [19] A.Enge和P.Zimmermann。mpc&具有精确舍入功能的多精度复数运算库，2002年。版本0.4.1，可从http://www.lix.polytechnique.fr/Labo/Andreas.Enge。 [20] J.Franke、T.Kleinjung、F.Morain和T.Wirth，用快速ECPP证明超大数的素性，算法数论，计算机课堂讲稿。科学。，第3076卷，施普林格出版社，柏林，2004年，第194-207页·Zbl 1125.11359号 ·doi:10.1007/978-3-540-24847-7_14 [21] J.Franke、T.Kleinjung、F.Morain和T.Wirth。使用fastecpp的一个新的大型素性证明。http://listserv.nodak.edu/archives/nmbrthry.html2004年7月·Zbl 1125.11359号 [22] W.F.戈尔韦。素数计算函数的解析计算。Urbana-Champaign大学博士论文，2004年。http://www.math.uiuc.edu/高威/博士论文/。 [23] Joachim von zur Gathen和Jürgen Gerhard，《现代计算机代数》，剑桥大学出版社，纽约，1999年·Zbl 0936.11069号 [24] Alice Gee，Shimura互易定律的类不变量，J.Théor。Nombres Bordeaux 11（1999），编号1，45-72（英语，含英语和法语摘要）。《Les XXèmes Journées Arithmetiques》（利摩日出版社，1997年）·Zbl 0957.11048号 [25] Alice Gee和Peter Stevenhagen，使用Shimura互易生成类字段，算法数论（波特兰，俄勒冈州，1998年），计算机课堂讲稿。科学。，第1423卷，施普林格出版社，柏林，1998年，第441-453页·Zbl 0912.11045号 ·doi:10.1007/BFb0054883 [26] GNU（全球通用单位）。GNU Multiple Precision算术库。可从以下位置获得网址：http://www.swox.com/gmp/。 [27] Shafi Goldwasser和Joe Kilian，使用椭圆曲线的原始性测试，J.ACM 46（1999），第4期，450–472·Zbl 1064.11503号 ·数字对象标识代码：10.1145/320211.320213 [28] G.Hanrot、V.Lefèvre和P.Zimmermann等人.mpfr——一个具有精确舍入功能的多精度浮点计算库，2002年。GMP中包含的版本。可从以下位置获得http://www.mpfr.org。 [29] G.Hanrot和F.Morain，从算法角度看部首的可解性，《2001年符号和代数计算国际研讨会论文集》，美国计算机学会，纽约，2001年，第175-182页·Zbl 1356.12010年 ·doi:10.1145/384101.384125 [30] A.K.Lenstra和H.W.Lenstra Jr.，《数论中的算法》，《理论计算机科学手册》，A卷，Elsevier，阿姆斯特丹，1990年，第673-715页·Zbl 0900.68250号 [31] H.W.Lenstra，Jr.和C.Pomerance。高斯周期的素数测试。预打印。可用作http://www.math.dartmouth.edu/carlp/PDF/complexity072805.PDF，2005年7月。 [32] Stéphane Louboutin，二次数域类数的计算，数学。公司。71（2002），第240、1735–1743号·Zbl 1030.11079号 [33] P.米哈伊莱斯库。快速卷积满足蒙哥马利。预印本，2004年3月·Zbl 1183.11081号 [34] P.Mihailescu和R.Avanzi。改进AKS的高效准确定性素性检验。可从以下位置获得http://www-math.uni-paderborn.de/preda/papers/myaks1.ps，2003年4月。 [35] F.Morain，《使用椭圆曲线的素数证明：更新》，《算法数论》（波特兰，俄勒冈州，1998年），《计算讲义》。科学。，第1423卷，施普林格出版社，柏林，1998年，第111-127页·Zbl 0908.11061号 ·doi:10.1007/BFb0054855 [36] 弗朗索瓦·莫林（François Morain），《La primaliteéen temps多项式》（La primliteéen-temps polymplicy）（黄德拉普斯·阿德曼（d'après Adleman）；阿格拉瓦尔（Agrawal），凯亚尔（Kayal），萨克森那（Saxena）），《阿斯特里斯克》294（2004），viii·Zbl 1097.11059号 [37] Władys \322]aw Narkiewicz，代数数的初等和分析理论，PWN-波兰科学出版社，华沙，1974年。Monografie Matematyczne，Tom汤姆57岁·兹标0276.12002 [38] 阿卜杜拉赫曼·尼塔吉（Abderrahmane Nitaj），《科纳奇亚算法》（L'algorithme de Cornacchia），博览会。数学。13（1995年），第4期，358–365（法语，带英语摘要）·Zbl 0852.11074号 [39] Reinhard Schertz，重新审视了韦伯的类不变量，J.Théor。Nombres Bordeaux 14（2002），编号1，325–343（英文，附有英文和法文摘要）·Zbl 1022.11056号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。