伦斯特拉，A.K。;伦斯特拉，H.W.jun。;马纳塞，M.S。;J.M.波拉德。 第九个费马数的因式分解。 （英语） Zbl 0792.11055号 数学。计算。 61，第203号，319-349（1993）. 本文对第九个费马数（F9=2^{512}+1）是如何因式分解的进行了详细而有指导意义的描述。1990年6月15日上午，大约700台工作站和一台超级计算机在四个月的时间里遭到协同数字处理攻击，随后发现了两个新的因子F_9，分别为49和99位十进制数字。使用的方法是数字域筛选（NFS），它依赖于代数数字域中的算术。对于\（F_9），这个字段是\（\mathbb{Q}（{2}}的{root5\）。本文首先概述了费马数及其在数论和历史中的地位。接下来讨论了一类通用的因式分解方法，它基于寻找整数（x），其中（x^2\equiv1\bmodn），NFS是一个特例。利用F9的实际素因子，解释了为什么早期用椭圆曲线法等其他方法对其进行因子分解的尝试失败了。在列出代数数论的几个基本事实之后，作者描述了数域筛，以及如何将其应用于（F_9）。接下来讨论实际的筛分过程，最后一步是求解（mathbb）上的大型稀疏线性系统（226688乘以199203）{F}（F）_2）平均每行50个非零元素。通过消除某些仅在某些所谓的重列中导致填充的稀疏列，该系统被缩减为较小的系统（72413乘以72213）。最终的系统是在65536处理器的连接机上通过普通高斯消去法求解的，代价是三个小时的CPU时间。将（F_9）分解为素因子被认为是一项重大成就，只有将代数数论、计算数学和计算机科学的高超技能结合起来，才能取得这项成就。审核人：H.J.J.te Riele（阿姆斯特丹） 引用于三评论引用于17文件 MSC公司： 2005年11月 保理化 11年40 代数数论计算 关键词：因子分解算法;第九费马数;数域筛法 软件：ECPP公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.K.Lenstra}等人，《数学》。计算。61，No.203，319--349（1993；Zbl 0792.11055） 全文： DOI程序 参考文献： [1] 乔治·安德鲁斯（George E.Andrews），《分区理论》（The theory of partitions），艾迪生-韦斯利出版公司（Addison-Wesley Publishing Co.），马萨诸塞州雷丁——伦敦-阿姆斯特丹，1976年。数学及其应用百科全书，第2卷·Zbl 0371.10001号 [2] A.O.L.Atkin和F.Morain，《椭圆曲线和素性证明》，研究报告1256，印度自然资源研究所，1990年6月·Zbl 0792.11056号 [3] R.P.Brent，使用椭圆曲线的一些整数分解算法，Austral。公司。科学。Comm.8（1986），149-163。 [4] -，第十一个费马数的因式分解（初步报告），Abstracts Amer。数学。Soc.10（1989），89T-11-73。 [5] Richard P.Brent，整数分解的并行算法，数论和密码学（悉尼，1989），伦敦数学。Soc.课堂讲稿Ser。，第154卷，剑桥大学出版社，剑桥，1990年，第26-37页·Zbl 0709.11074号 [6] 理查德·布伦特和约翰·波拉德，第八费马数的因式分解，数学。公司。36（1981），第154、627–630号·Zbl 0476.10007号 [7] John Brillhart、D.H.Lehmer、J.L.Selfridge、Bryant Tuckerman和S.S.Wagstaff Jr.，《因子分解\（^{n}）\pm 1，第2版，当代数学，第22卷，美国数学学会，普罗维登斯，RI，1988年=2,3,5,6,7,10,11,12高倍·Zbl 0659.10001号 [8] Johannes Buchmann，Voronoĭ单位算法的推广。一、 J.数论20（1985），第2期，177–191，https://doi.org/10.1016/0022-314X（85）90039-3 Johannes Buchmann，Voronoĭ单位算法的推广。二、 J.数论20（1985），第2期，192-209·doi:10.1016/0022-314X（85）90040-X [9] J.A.Buchmann和H.W.Lenstra，Jr.，《数值域中整数的逼近环》，准备中·Zbl 0828.11075号 [10] J.P.Buhler、H.W.Lenstra，Jr.和C.Pomerance，使用数字域筛对整数进行因子分解（待发布）·Zbl 0806.11067号 [11] 亨利·科恩（Henri Cohen），《计算代数数论课程》，《数学研究生教材》，第138卷，施普林格-弗拉格出版社，柏林，1993年·Zbl 0786.11071号 [12] H.Cohen和A.K.Lenstra，新素性测试的实施，数学。公司。48（1987），编号177，103–121，S1–S4·Zbl 0608.10001号 [13] H.Cohen和H.W.Lenstra Jr.，素数测试和雅可比和，数学。公司。42（1984），编号165，297–330·Zbl 0578.10004号 [14] J.H.Conway，《数字与游戏》，学术出版社[Harcourt Brace Jovanovich，出版商]，伦敦-纽约，1976年。伦敦数学学会专著，第6期·兹比尔0334.00004 [15] A.坎宁安和A.E.韦斯特，《论费马的数字》，Proc。伦敦数学。《社会学杂志》（2）1（1904），175。 [16] A.J.C.Cunningham和H.J.Woodall，因子分解；y=2，3，5，6，7，10，11，12\）高功率（n），Hodgson，伦敦，1925年。 [17] L.E.Dickson，《数论史》，第一卷，华盛顿卡内基研究所，华盛顿，1919年。 [18] L.Euler，《Fermatiano aliisque ad numeros primos spectantibus理论观察》，美国科学院。科学。Petropol石油公司。6 (1732/1733), 103-107; 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