尤利亚·库兹涅佐娃 关于可测群表示和同态的连续性。 （英语） Zbl 1290.22002年 学生数学。 210，第3期，197-208（2012）. 作者关注不可分离的希尔伯特空间，因此选择研究与相关公理系统的一致性。K·哥德尔[连续体假设的一致性。新泽西州普林斯顿：普林斯顿大学出版社（1940；Zbl 0061.00902号)]表明连续统假设与集合论的公理是一致的。连续统假设与ZFC（Zermelo-Fraenkel，选择公理）的独立性以及选择公理与其余ZFC公理的独立性如下K·哥德尔【《美国数学》，周一，54，515–525（1948；兹比尔0038.03003)]和P.J.科恩[美国国家科学院院刊50，1143–1148（1964；Zbl 0192.04401号)]. 这两个结果都假设ZFC公理本身不包含矛盾。作者还讨论了马丁公理D.A.马丁和R.M.索洛维【数学与逻辑年鉴2，143–178（1970；Zbl 0222.02075号)]这表明所有小于连续统基数（c）的基数都表现为（\aleph{0}）；囊性纤维变性。D.H.弗雷姆林[Manuscr.Math.3387–405（1981年；Zbl 0459.28010号)].设（G）表示局部紧群\（U）Hilbert空间（H）上的酉表示，（mathcal{L}（H））上有界线性算子的空间具有弱算子拓扑。这里的可测性是从属于由Borel集族生成的（sigma）-代数的意义上理解的。在本文的第一部分中，作者证明了从（G）到（mathcal{L}（H））的Haar可测映射是弱（等价强）连续的。这对于可分离的（H）来说是很清楚的，因为它涉及到到复杂值函数的映射，并且由于大小的原因没有复杂的问题。局部紧群的证明基于Polish空间的结果（参见。S.巴纳赫[瓦沙，瓦沙大学数学研讨会（1932；JFM 58.0420.01号)]他证明了波兰空间之间的可测量地图是连续的）。J.布尔祖乔夫斯基等人[《科学与政策》，《科学与数学》27，447-448（1979；Zbl 0433.28001号)]证明了如果（mathcal{A}）是波兰空间中具有非空并的空集的点有限族，则存在具有非可测并的不可测函数的子族。作者的引理1.4将他们的工作推广到基数不超过（c）的（sigma）-紧局部紧群（G）。如果（U^{-1}（V））对（mathcal{L}（H））中的每个开集（V）都是可测的，则称为弱可测算子。作者在定理1.5中证明了（G）的每个弱算子可测幺正表示都是连续的。证明涉及到利用每个局部紧群都有一个开放的pro-Lie子群这一事实。作者指出，这一结果在ZFC中是已知的，但即使（mathcal{A}）是点可数的，也不可能取代族（mathcal{A}\）是点有限的假设，并且还评论了由E.Hewitt和K.A.Ross（来自外部正则测度）和D.H.提出的Haar测度方法之间的差异。Fremlin（来自内部正则测度），但表示她的定理1.5在两种方法下都有效。为了简洁起见，评审员不会引用Hewitt-Ross本地空集。在文章的第二部分中，作者考虑了自动连续性，即从局部紧群到任意拓扑群的每个可测同态都是连续的（参见。B.J.佩蒂斯[安.数学.（2）52993–308（1950；Zbl 0037.30501号)])从波兰群到可分群的任何Baire可测同态都是连续的。策略是使用某种可测量条件来确保自动连续性。作者称\（A\subet G\）是额外可测量的，如果\（SA\）对每个\（S\subet G\）都是可测量的。然而，作者的定理2.4表明，在马丁公理下不存在超可测集。定理2.1声称，从（G）到拓扑群（H）的不连续可测同态的存在意味着零非空超可测集的存在。然而，（H）不是任意的，而是通过将（G）中的恒等式邻域的基改变为（2.1）中指定的族，从拓扑群（G）构造而来。如果存在可测且不连续的连续同态（G到H），则条件（2.1）保证基可以由非空零可测集组成。在阿贝尔（G）的情况下，自动连续性应该等价于这个空可测集序列的存在（命题2.2）。作者指出，根据定理2.4，非空零集不可超测度与ZFC是一致的，因此从局部紧群到任何拓扑群的每个可测同态都是连续的也是一致的（但这里添加了马丁公理）。对于波兰群的群同态的自动连续性，Haar可测性可以替换为泛可测性。波兰空间（X）的一个子集（A）是普适可测的，如果它对于度量（X）所有Borel子集的（X）上的每个完整概率测度都是可测的。A.克莱普纳[《美国数学学会学报》第106卷第2期，第391-395页（1989年；Zbl 0693.22004号)]基于Hewitt-Ross-Haar测度获得了同态的自动连续性。他证明了超可测集的存在性，并假设了（G到H）映射的“半可测性”，以便在（G）中有Borel集，而在（H）中有对应的Borel集合。假设Martin公理，作者得到以下结果（指与a.Kharazishvili的通信）：对于局部紧Polish群中的非空空集（a\），存在一个集（s\子集G\），使得（SA\）是不可测的。定理2.4将其推广到局部紧（G）（利用G中的开放pro-Lie子群）。作者通过结合定理2.1和2.4声称同态（G到H）的自动连续性，但评论家对作者将Thorem 2.1用于任意拓扑群感到不满。在最后的评论中，作者定义了如果基数小于（c）的（S）的每个平移族的并集为空，则（S子集G）为小。马丁公理保证每个空集都是小的。审核人：奥布里·沃尔夫松（考文垂） 引用于2评论引用于2文件 MSC公司： 22日第10天 局部紧群的酉表示 43A05型 关于群和半群等的度量。 03E50型 连续统假设与马丁公理 28A05号 集合类（Borel域、（sigma）-环等）、可测集、Suslin集、分析集 54甲11 拓扑组（拓扑方面） 关键词：自动连续性;波兰团体;群表示;群的同态;不可测量的工会;空集的并集;ZFC公理与集合论的一致性 引文：Zbl 0037.30501号;兹比尔0693.22004;JFM 58.0420.01号;Zbl 0061.00902号;Zbl 0038.03003号;兹比尔0192.04401;Zbl 0222.02075号;Zbl 0459.28010号;Zbl 0433.28001号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{Y.Kuznetsova}，数学研究生。210，第3号，197--208（2012；Zbl 1290.22002） 全文： DOI程序 arXiv公司