Sofos，E。 圆锥束中各向同性纤维密度的Serre问题。 （英语） Zbl 1355.14019号 程序。伦敦。数学。社会（3） 113，第2期，261-288（2016）. 设（pi:X\rightarrow\mathbb{P}^1_{mathbb{Q}}）是一个非奇异二次曲线束，具有（n）个非分裂纤维。让\[N（B）：=\#\{x\in\mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}}:H（x）\leq B，\，\pi^{-1}（x）\text{有有理点}，\]其中，\（H（x）\）是通常的堰高。例如，有人可能会问，对于带有（max（|s|，|t|）\leq B\）的整数的多少个互质对，方程式\[sY_1^2+t（Y_2^2+Y_3^2）=0\]有一个非平凡的解决方案吗？这里，（s，t）=（1,0）表示分裂光纤，而（s，t）=（0,1）表示非分裂光纤，因此，（n=1）。J.-P.塞尔[C.R.科学院，巴黎，SéR.I 311，No.7，397-402（1990；Zbl 0711.13002号)]直接使用大筛子表明\[N（B）\ll B^2（\log B）^{-N/2}，\]他问相应的下限是否也成立。这里应该要求至少有一根平滑的纤维在（mathbb{Q}）上是各向同性的，这显然是必要的。本文的主要结果是\[N（B）\asymp\frac{B^2}{（\log B）^{N/2}}\]在上述假设下，当\（\pi\）的“秩”最多为3时。这里，秩定义为对应于非分裂光纤的场扩展度之和，如下所示A.N.斯科罗波加托夫【《美国数学杂志》第118卷第5期，第905–923页（1996年；Zbl 0880.14008号)]. 在上面的示例中，秩为\（[\mathbb{Q}（i）：\mathbb{Q}]=2\）。为了证明这一点，作者首先利用二次曲线的Hasse原理构造了各向同性纤维特征函数的算术表达式。将这些求和产生由形状（2^{-\omega（k）}）的尴尬因子加权的除数和。为了处理这些问题，使用了一个由限定筛重构造的下限。这个被称为“胡利中和剂”的想法来自C.胡利他的工作[J.Reine Angew.数学.267，207–218（1974；Zbl 0283.10031号)].遇到的除数和是这样的\[\sum_{|s|，|t|\leq B}\；\prod_{i=1}^n\；\sum_｛d_i | \Delta_i（s，t）｝\left（\frac｛F_i（s，t）｝｛d_i｝\right）\]其中雅可比符号涉及偶数度的形式\（F_i\），并且其中\（\Delta_i\）是其度总计至多为3的形式。已经对此类金额的特殊案件进行了多次调查。然而，即使在（n=1）和（F_1=1）的情况下，只有当（Delta_1）的阶数最多为3时，才能在（B）中实现节能。由于本文中的方法需要节电，这就解释了等级的限制。审核人：D.R.Heath-Brown（牛津） 引用于6文件 MSC公司： 14G05年 理性点 2009年11月 二次和双线性丢番图方程 11点45分 丢番图方程的计数解 11号36 筛分法的应用 11号45 代数和拓扑结构计数函数的渐近结果 14日第10天 算术地面场（有限、局部、全局）和族或fibrations 关键词：圆锥束;各向同性纤维;Serre问题;除数和;胡利中和剂;下限;筛子，筛子 引文：Zbl 0880.14008号;Zbl 0283.10031号;Zbl 0711.13002号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{E.Sofos}，程序。伦敦。数学。Soc.（3）113，No.2，261--288（2016；Zbl 1355.14019） 全文： 内政部 arXiv公司 链接 参考文献： [1] M.Bhargava、J.E.Cremona、T.Fisher、N.G.Jones和J.P.Keating，“变量中的随机积分二次型具有积分零点的概率是多少？”国际数学。Res.不。(12) 2016 (2015) 3828-3848. ·Zbl 1404.11035号 [2] T.Browning和M.Swarbrick Jones，“利用圆锥束结构计算del Pezzo曲面上的有理点”，《阿里斯学报》。，163 (2014) 271-298. ·Zbl 1318.14021号 [3] S.Daniel，“关于二进制形式的除数和问题”，J.reine angew。数学。，507 (1999) 107-129. ·Zbl 0913.11041号 [4] F.Enriques，“Sulle irrazilitáda cui puófarsi dipendere la risoluzione’un equazione algebrica”（F（x，y，z）=0）con funzioni razioni di due parametri，数学。《年鉴》，49（1897）1-23。 [5] C.R.Guo，“关于三元二次型的可解性”，Proc。伦敦数学。Soc.，（3）70（1995）241-263·Zbl 0839.11016号 [6] C.Hooley，“关于两个平方和数字之间的间隔。三世，J.reine angew。数学。，267 (1974) 207-218. ·Zbl 0283.10031号 [7] C.Hooley，“关于表示零的三元二次型”，Glasg。数学。J.，35（1993）13-23·Zbl 0774.11019号 [8] C.Hooley，“关于表示零的三元二次型。II’，J.reine angew。数学。，602 (2007) 179-225. ·Zbl 1146.11023号 [9] V.A.Iskovskih，“任意场上有理曲面的最小模型”，Izv。阿卡德。Nauk SSSR序列。材料，43（1979）19-43·Zbl 0412.14012号 [10] H.Iwaniec和E.Kowalski，分析数论，美国数学学会学术讨论会出版物53（美国数学学会，普罗维登斯，RI，2004）·Zbl 1059.11001号 [11] D.Loughran，“一个家族中包含理性点的品种数量”，Preprint，2013年，http://arxiv.org/abs/1310.6219。 [12] D.Loughran和A.Smeets，《理性点少的纤维组织》，预印本，2015年，http://arxiv.org/abs/1511.08027。 ·Zbl 1357.14028号 [13] Y.I.Manin，《立方形式》，第二版，北荷兰数学图书馆4（北荷兰出版公司，阿姆斯特丹，1986年）·Zbl 0582.14010号 [14] H.L.Montgomery和R.C.Vaughan，乘数理论。I.经典理论，《剑桥高等数学研究97》（剑桥大学出版社，剑桥，2007年）·Zbl 1142.11001号 [15] B.Poonen和J.F.Voloch，“随机丢番图方程”，高维代数变体的算术（Palo Alto，CA，2002），《数学进展》226（Birkhäuser Boston，Boston、MA，2004）。Jean‐Louis Colliot‐Thélène和N.M.Katz的附录，175-184年·Zbl 1208.11050号 [16] J.‐P.公司。塞雷，“Spécialisation deséléments de\（\text{Br}2（mathbf{Q}（T1，\ldots，Tn））”，C.R.Acad。科学。巴黎。我数学。，311 (1990) 397-402. ·Zbl 0711.13002号 [17] A.N.Skorobgatov，《关于投影线上的谎言的下降》，Amer。数学杂志。，118 (1996) 905-923. ·Zbl 0880.14008号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。