×
何塞·费尔南多。;甘博阿，J.M。

关于半代数集的半代数Stone-Cech紧化的余项。 （英语） Zbl 1408.14184号

J.纯应用。代数 222，第1期，第1-18页（2018年）.
通篇让\（M，N）是半代数集，并使用符号\（\ mathcal{S}（M），\ mathcal{S}^*（M）{规格}_s^\对于连续半代数函数和映射的代数，以及与作者在其他论文评论中相同意义上的相关谱，请参见diamond（M）等[Zbl 1291.14085号,Zbl 1330.14095号].
（M）的半代数紧化是一对（X，j），由欧氏空间中的紧半代数子集（X）和半代数嵌入（M）组成，使得在（j）下的（M）图像，即（j（M），在（X）中是稠密的。本文继续作者的文章【Trans.Am.Math.Soc.364，No.7，3479–3511（2012；Zbl 1281.14046号)]其中证明了，定义为Zarisk谱中的极大理想族{规格}_s^*（mathcal{S}（M））素理想的（M）是（M）的Hausdorff紧化，称为（M）半代数Stone-Cech紧化。之所以选择这个名称，是为了将其与经典名称区分开来，因为它具有一些模拟特性。例如，在本文中，证明了\（beta_s^*（M），\）是\（M）的所有半代数紧化的逆极限，与经典情形一样，它定义了关于支配的有向系统。然而，请注意，\（\beta_s^*（M）\）和同胚\（\beta_s（M）不半代数集。
本文特别考察了余数（部分M=beta_s^*M\set-M）。它努力区分（beta_s^*M）和（M）的点，这也是经典Stone-Tech压实中的一个问题。本文利用由H.代尔夫斯和M.Knebusch先生[局部半代数空间.柏林：Springer（1985；Zbl 0582.14006号)]：（beta_s^*M\）中的这组点等于（M_{text{lc}}\cup（\text{氯}_{\beta_s^*M}（上划线｛M｝_｛\leq 1｝）\setminus\overline{米}_｛\leq 1｝）\）。有关符号，请参见下文第2节。
在第1节和第2节中，作者做出了有效的努力，以方便访问他们高度专业化的文章，该文章使用了作者之前至少六篇文章的结果（并引用了八篇），以及在这部分真实代数几何中另一个伟大的名字尼尔斯·施瓦茨（Niels Schwartz）的五篇文章。
第1节介绍了Schwartz建立双射的论点\（\mathcal{s}（M，N）\leftrightarrow\text{霍姆}_{\mathbb{R}}（\mathcal{S}（N），\mathca{S}（M）），由此可推导出（M）和（N）是半代数同构的当且仅当\（mathcal{S}（M）\）和\（mathcal}（N\）是\（mathbb{R}）-代数同构。我们还可以推断，当且仅当（M\setminus\eta（M））和（N\setminus \eta。这里，拓扑空间（X）的端点集表示为（eta（X）），点（p）称为端点如果它有一个开邻域（U），它是半代数同胚，其中\（[0,1[\），\（p\）对应于0。
在经典代数几何中，M中的点定义了最大理想{m} _（a）^\钻石），所有的（f）在（a）和（M）上消失{m} _（a）^\菱形\in\text{规格}_s^\菱形（M）{规格}_s^\菱形（M）作为致密的底面。由于代数同态诱导的Zarisk谱之间的同胚是非常特殊的，作者提到了一些关于一般同胚的有趣事实（参见引用的评论），并指出了（beta_s^*M）和（偏序M）对于解决有关（M）和环（mathcal{s}^钻石（M）的问题很有用的例子\).
第2节以预期的方式定义了点（x-in\text{Cl}（M））处（M的欧氏闭包）的局部维数（M_x）。将（M_{\leq1}：=\{x\ in M:\dim（M_x）\leq1\}）和允许其他类似符号，在他们早期论文或其他文章中的大量事实中，提到了以下内容：\（\cdot\）\（M_{\geq2}\cap\上划线{米}_{\leq1}\）是有限集\（\cdot\）如果\（M_{\geq2}\）是紧的，那么\（M=M_{lc}\）。从\（M\）到\（N\）的映射之间的关系；来自\（\text{规格}_s^\菱形（N）到（\text{规格}_s^\给出了菱形（M）和从（β^*（N）到（β^*（M））的关系。通过（mathfrak{M}\mapsto\mathfrak{M}^*：=）包含素理想的唯一极大理想，存在一个定义良好的映射（\beta_sM\rightarrow\beta_s^*M）。参见引用的早期评论。一个重要的角色稍后将由\（\mathcal{S}^\diamond（M）\）的最大理想扮演，它们是不格式为\（\mathfrak{m} a（_a）^\菱形；\）这些被称为自由的最大理想。
重要新材料的介绍从第3节开始：参见回顾[Zbl 1330.14095号]对于–和–（M，N，M_F，N_F，i{M，F}，F_F，\psi_p）等的定义之间的关系，这里提到的构造特别适用于实Puiseux级数的实闭域\（F_1:=\mathbb{R}（（t^*））\和实Puisuex级数的代数上的实闭场\（F_0=\mathbb{R{（t^））_{text{alg}}）\）\)代替\（F\）。
A类形式路径是一个（m）元组（alpha=（alpha_1，\dots，\alpha_m）\in\mathbb{R}[[t]]^m\），并且应用于（0\in[0,1]\）的右邻域的形式路径是半代数映射，正是其中的那些映射。接下来显示\（\psi_\alpha（\mathcal{S}^*（M））\subseteq\mathbb{R}[[t^*]]^M\）。因此可以应用求值映射\（\mathbb{R}[[t^*]]^m\ni\alpha\mathop{\mapsto}\limits^{ev_0}\alpha（0）\in\mathbb{R}\{米}_\alpha^*：=\text{ker}（\varphi_\alpha）\）。在M\中的情况\（\alpha（0）\ not\）中，这是与形式路径相关联的自由最大理想。我们定义了\（hat{\partial}M:={\text{与形式路径相关联的自由最大理想}\}\），并在本例中找到了\（mathfrak{米}_\alpha:=\text{ker}（\psi_\alpha）{米}_\alpha\cap\mathcal{S}^*（M）\子集\mathfrak{米}_\字母^*.\）在本节的其他结果中，显示了\（eta（\beta_s^*M）=\ eta（M）\cup（\text{氯}_{\beta_s^*M}（上划线{米}_{\leq 1}）\setminus\上划线{米}_{\leq 1}）是一个有限集。
对于第4节，现在让（tilde{partial}M:={）与半代数路径相关联的自由极大理想。然后清楚地表明，在定理4.3中，（tilde{\partial}M\subset\hat{\partical}M\s子集\partial M.）在（\partial-M）中是稠密的，并且在（M=M_{\geq2}）是非紧的限制下，（\partical M\setminus\hat}M\）在（\ partial M\）和M\setminus\tilde{\partial}M\）在\（hat{\paratil}M\）中是稠密的。证明这一点需要一些引理。在这些结果中，我们发现了运算符\（tilde\partial\）和\（hat\partial_）的结果：例如，每当\（Y\）是\（M\）的闭半代数子集时，\（had\partialY=\had\ partialM\cap\partial Y\）；此外，（hat\partial M=hat\partical M_{geq 2}\sqcup\hat\paratil上划线{米}_{\leq 1}\）（大概是指拓扑和）。
下一小节专门讨论具有可计数邻里基础的点。命题4.8表明，如果\（\｛U_k\｝_k\）是点\（p\ in M\）邻域的可数基，则\（\｛\text｛Cl｝_{\beta_s^*M}（U_k）是\（beta_s ^*M\）中\（p\）邻域的可数基础。这之后是定理4.9，根据该定理，\（\hat\partial M\）的每个点都有\（\beta_s^*M\）中邻域的可数基。推论4.11给出了与代数的联系：（mathcal{S}（M））的最大理想集，它是（S^*（M）的主理想的Jacobson根等于（M\cup\eta（beta_S^*M））。在定理4.12中，证明了开始段落中宣布的事实。在其证明中，作者在其早期的论文[loc.cit.]中证明了最大谱是可度量空间的半代数集正是最大谱同胚于半代数集的那些集。
本文以一个附录作为结论，表明半代数集之间的非半代数同胚的行为对于其扩展到半代数Stone-Coech紧化是不可预测的。
博奇纳克、科斯特和罗伊的书[J.博奇纳克等，实代数几何。Transl.公司。来自法国。修订版和更新版柏林：施普林格（1998；Zbl 0912.14023号)]对于那些敢于详细说明或理解证据的人来说，这将是很有价值的，但同时它也将显示出距离有多远，也许是过度专业化了这部分或真正的代数几何从那时起就出现了。
审核人：亚历山大·科瓦切克（科英布拉）

引用于1文件

MSC公司：

第14页 半代数集和相关空间
54天35分 空间的扩展（压缩、超压缩、补全等）
54立方30 一般拓扑中的实值函数
第12天15 与平方和相关的字段（形式上为实数字段、毕达哥拉斯字段等）

关键词：

半代数集;半代数映射;半代数函数;压实;Zarisk光谱;Puiseux系列;形式路径

引文：

Zbl 1291.14085号;Zbl 1330.14095号;Zbl 1281.14046号;Zbl 0582.14006号;Zbl 0912.14023号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.F.Fernando}和\textit{J.M.Gamboa}，J.Pure Appl。代数222，No.1，1--18（2018；Zbl 1408.14184）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] Bochnak，J。；Coste，M。；罗伊，M.-F.，《实代数几何》，埃尔格布。数学。伊赫勒·格伦茨盖布。，第36卷（1998年），《柏林春天》·Zbl 0633.14016号
[2] Bourbaki，N.，《一般拓扑》，（《数学原理》（1989），施普林格出版社：施普林格出版社，柏林），第1-4章·兹比尔0683.54003
[3] Brumfiel，G.W.，半代数等价关系的商空间，数学。Z.195，169-78（1987年）·Zbl 0601.14017号
[4] Delfs，H。；Knebusch，M.，半代数空间中的分离、收缩和同伦扩张，Pac。数学杂志。，114, 1, 47-71 (1984) ·Zbl 0548.14008号
[5] Delfs，H。；Knebusch，M.，局部半代数空间，Lect。数学笔记。，第1173卷（1985年），《施普林格-弗拉格：柏林施普林格》·Zbl 0582.14006号
[6] Fernando，J.F.，《关于半代数函数环中素理想链》，Q.J.Math。，65, 3, 893-930 (2014) ·Zbl 1303.14066号
[7] Fernando，J.F.，《关于半代数函数环的替换定理》，J.Inst.Math。Jussieu，14，4，857-894（2015）·Zbl 1330.14095号
[8] Fernando，J.F.，《关于由半代数嵌入引起的光谱图光纤的尺寸》，数学。纳克里斯。，289, 14-15, 1760-1791 (2016) ·Zbl 1375.14192号
[9] 费尔南多，J.F。；Gamboa，J.M.，关于半代数集之间的开态射和闭态射，Proc。美国数学。《社会学杂志》，140，4，1207-1219（2012）·Zbl 1256.14060号
[10] 费尔南多，J.F。；Gamboa，J.M.，《关于半代数函数环的谱》，Collect。数学。，63, 3, 299-331 (2012) ·Zbl 1291.14085号
[11] 费尔南多，J.F。；Gamboa，J.M.，《关于半代数集的半代数Stone-Cech紧化》，Trans。美国数学。《社会学杂志》，364，7，3479-3511（2012）·Zbl 1281.14046号
[12] 费尔南多，J.F。；Gamboa，J.M.，OnŁojasiewicz不等式和半代数函数环的Nullstellensatz，J.Algebra，399475-488（2014）·Zbl 1314.14106号
[13] 费尔南多，J.F。；Gamboa，J.M.，关于半代数函数环的Krull维数，Rev.Mat.Iberoam。，31, 3, 753-756 (2015) ·Zbl 1362.14059号
[14] 吉尔曼。；Jerison，M.，《连续函数环》，弗吉尼亚大学。高等数学。，第1卷（1960），D.Van Nostrand公司·Zbl 0093.30001号
[15] Schwartz，N.，实闭环，（Habilitationsschrift，Habilittionsschriff，München（1984））·Zbl 0616.14019号
[16] Schwartz，N.，《实闭环》，（代数与序。代数与序，Luminy-Marseille，1984年。代数与秩序。《代数与秩序》，Luminy-Marseille，1984年，《数学研究与实验》。，第14卷（1986），赫尔德曼：赫尔德曼-柏林），175-194·Zbl 0616.14019号
[17] Schwartz，N.，实闭空间的基本理论，Mem。美国数学。Soc.，77，397（1989）·Zbl 0697.14015号
[18] Schwartz，N.，作为实闭环的连续函数环，（有序代数结构。有序代数结构，库拉索，1995（1997），Kluwer Acad。出版物：Kluwer学院。出版物。多德雷赫特），277-313·Zbl 0885.46024号
[19] Schwartz，N.，部分序环的表晶扩张和Prüfer扩张，Manuscr。数学。，102, 347-381 (2000) ·Zbl 0966.13018号
[20] 施瓦茨，N。；Madden，J.J.，《半代数函数环和偏序环的反射器》，Lect。数学笔记。，第1712卷（1999年），《施普林格-弗拉格：柏林施普林格·Zbl 0967.14038号
[21] Shiota，M。；Yokoi，M.，《亚分析集和局部亚分析流形的三角剖分》，Trans。美国数学。《社会学杂志》，286，2727-750（1984）·Zbl 0527.57014号
[22] Tressl，M.，《o-极小结构中连续可定义函数的实谱》（Séminaire de structures Algébriques Ordonnées.Sémin aire de structures Algébriques Ordn es，1997-1998，vol.68（1999）），1-15
[23] Tressl，M.，超实闭环，Fundam。数学。，194, 2, 121-177 (2007) ·Zbl 1121.03044号
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。