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西普里安·德米特

傅里叶约束、解耦和应用。 （英语） Zbl 1471.42001号

剑桥高等数学研究184.剑桥：剑桥大学出版社（ISBN 978-1-108-49970-5/hbk；978-1-108-158440-1/电子书）。xvi，第332页。(2020).
这本书集中于傅里叶分析中两个有趣且高度热门的问题，即傅里叶限制/扩展问题和解耦理论。超曲面的Fourier约束问题（mathcal{M}={（xi，psi（xi））：在U}中的xi，其中（U\subset\mathbb{R}^{n-1}）是一个开的有界集，（psi:U\tomathbb}R}）为一个光滑函数，用于确定对（1/p，1/q）在[0,1]^{2}中精确的范围，其中（|widehat{F}|{铝{M}}\|_{L^{q}（\mathcal{M}）}\lesssim\|F\|_{L^{p}（\mathbb{R}^{n}）{）保持隐式常量独立于\（F\in\mathcal{S}（\ mathbb}R}^}}）\）。这个问题通常通过对偶来解决，伴随算子（E），也称为扩张算子，由下式给出\[Ef（x）=\int_{U}f（\xi），e^{i（x_1\xi_1+\cdot\cdot\ cdotx_{n-1}\xi_{n-1}+x_n\psi（\xi））}d\xi。\]例如，如果\（U=\｛（\xi_1，…，\xi_｛n-1｝）：|\xi_i|<1\｝\）和\（\psi（\xi）=|\xi|^｛2｝\），则\（E\）是与抛物面\（\mathbb｛P｝^｛n-1｝=\｛（\xi，\psi（\xi））：\xi\ in U\｝\）相关的扩展运算符。以下猜想等价于\（mathbb{P}^{n-1}\）上限制算子的期望估计范围的猜想：\[\|Ef\|_{L^{p^\素数}（\mathbb{R}^{n}）}\lesssim\|f\|{L^}\infty}（U）}\]对每个\（p'>\ frac{2n}{n-1}\）保持不变。
对于\（n=2\），验证了猜想。对于（n \geq 3），这个猜想仍然是开放的，然而，近年来已经取得了很多进展。这些新结果和旧结果都反映在这本书中。
在前八章中，作者很好地向我们介绍了各种超曲面的限制/扩张问题的当前状态，主要侧重于球面和抛物面，以及攻击它的技术和实现：波包、双线性和多线性限制估计，布尔根-高斯归纳法和多项式方法。还考虑了曲线上的约束问题。
剩下的章节专门讨论解耦理论及其应用。解耦是一种傅里叶分析工具，由T.沃尔夫【地理功能分析10，第5期，1237–1288（2000；Zbl 0972.42005号)]后来由作者J.Bourgain和其他人进行了改进。这个强大的工具可以解决以前看起来难以解决的问题。它们的例子是维诺格拉多夫主要猜想的证明[J.布尔甘等，《数学年鉴》。（2） 184，编号2633-682（2016年；Zbl 1408.11083号)]以及限制估计的获取等。
这本书的优点之一是作者努力在不牺牲主要新颖性的前提下，尽可能简单地说明和讨论不同的技术。此外，每节末尾的大量示例和练习使读者能够更好地使用工具，并更好地理解整本书中的主题。
这本教科书由十三章组成。每章的内容如下：第一章首先介绍了（mathbb{R}^{n}）中某些流形的限制问题。证明了Stein-Tomas约束定理对于所有高斯曲率在每个点上都非零的光滑超曲面（mathcal{M}\subset\mathbb{R}^{n}）。上面写着\[\|\widehat{F}|_{\mathcal{M}}\|_{L^{2}（\mathcal{M}）}\lesssim \|F\|__{L_{p}（\ mathbb{R}^{n}）{，\，\，\text{代表}\，\。\]端点情形（p=frac{2（n+1）}{（n+3）}）更为精细，并证明了它适用于（n=3）和（mathcal{M}=mathbb{S}^{2}）。通过一个例子，它表明范围\（1\leq p\leq\frac｛2（n+1）｝｛（n+3）｝\）是尖锐的。本章最后介绍平方根抵消和构造性干扰现象，以及它们与限制估计的关系。
第二章讨论抛物面扩张算子的波包分解。
正如作者所说，第三章是“对双正交性的长期反思”。主要结果是在中建立的抛物面的最佳双线性约束估计[陶喆（T.C.Tao），几何。功能。分析。13，第6期，1359–1384（2003年；兹比尔1068.42011)]. 本章包括对情形（n=2）和情形（n=3）的这种估计的证明，其中情形（n+3）完全代表一般情形（n/geq 3）。
在第四章中，应用第三章的双线性估计，与抛物面相关的约束问题打破了Stein-Tomas屏障。
第5章和第6章分别讨论了平方函数和Kakeya型估计，以及它们与线性和多线性背景下的限制猜想的联系。
本质上，布尔根-高斯方法将结构结果与尖锐的多重线性估计相结合，以获得线性约束估计。第7章在线性约束问题的两个典型例子中说明了这种方法，一个涉及力矩曲线，另一个涉及抛物面（mathbb{P}^{2}）。
第八章介绍了多项式分割方法及其在抛物面约束问题（mathbb{P}^{2}）中的应用。这个论点改进了上一章中得到的估计。
第9章很好地介绍了解耦。在第10章中，由于J.布尔甘和C.德米特【数学年鉴（2）182，第1期，351-389（2015；2014年12月13日)]建立并证明了抛物面（mathbb{P}^{n-1}）的情形。第11章讨论了力矩曲线的急剧解耦。
在第12章中，将前几章的尖锐解耦扩展到更一般的流形。
解耦在广泛主题中的应用见第13章。其中，我们可以找到Vinogradov主猜想的证明，圆环上Schrödinger方程的Strichartz估计，解耦和限制猜想，以及关于波动方程局部光滑化的有趣讨论。
这本书以丰富的参考书目结尾。
这本书的目的是展示傅里叶限制问题的最新进展，并提请人们注意成功地使用解耦来解决数论和偏微分方程中的问题。
以下观众可以从这本精彩的书中受益：对学习这些主题感兴趣的学生，活跃于调和分析的数学家，以及数论和偏微分方程领域的研究人员（但不限于）。
毫无疑问，这本书将成为该主题中不可或缺的参考资料。
审核人：巴勃罗·阿莱杭德罗·罗查（布宜诺斯艾利斯）

引用于30文件

MSC公司：

42-02 关于欧氏空间调和分析的研究综述（专著、调查文章）
94-02 与信息与传播理论相关的研究展览（专著、调查文章）
42B10型 Fourier和Fourier-Stieltjes变换以及其他Fourier类型的变换
35 S30 傅里叶积分算子在偏微分方程中的应用
35甲18 PDE背景下的波前设置
42B37型 谐波分析和偏微分方程
94A20个 信息与传播理论中的抽样理论
11升07 指数和的估计
11B30型 算术组合学；高度均匀性
46E30型 可测函数空间（L^p－空间、Orlicz空间、Köthe函数空间、Lorentz空间、重排不变空间、理想空间等）

关键词：

傅里叶约束问题;\（\ell^{2}\）-解耦;挂谷猜想;卡基亚估计;斯特里哈特估计;傅里叶分析工具;多线性约束理论;天平上的布尔根-高斯感应

引文：

Zbl 0972.42005号;Zbl 1408.11083号;Zbl 1068.42011号;2014年12月13日
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.Demeter}、傅里叶限制、解耦和应用。剑桥：剑桥大学出版社（2020；Zbl 1471.42001）
全文： 内政部