米尔顿·F·马里茨。 关于逻辑图精确解的注记。 （英语） Zbl 1446.39018号 混乱 30，第3期，033136，7页（2020年）. 物流图，\[Y_{n+1}=\lambda Y_{n}（1-Y_{n}），\左（Y_{0}在（0，1）\右），\标签{1}\]这可能是一个简单系统通过倍周期达到混沌状态的最著名的例子。自引入以来，逻辑映射（以及其他离散非线性映射，例如，Mann迭代）一直是深入研究的主题，因为它展示了决定论和混沌之间令人惊讶的关系，并且因为混沌的路径是由一个相当简单的非线性映射生动地说明的。逻辑图（1）显示了不同范围的\（\lambda\）的混沌解。由于它能以最小的计算工作量产生混沌，因此也被用于各种应用中，以生成随机数或随机序列。本文的主要目的是遵循不同的方法，并明确显示如何计算用于获得逻辑图解的基础函数。特别有趣的是，当解处于混沌状态时，E.施罗德[数学年鉴3，296–322（1871；JFM 02.020.01版)]表明存在形式为（1）的解析解\[Y_n=\sin^2（2^{n}X_0），\tag{2}\]其中，\（X_0\）是真实的，必须选择为\（Y_0=\sin^2（X_0）\）。这个解析解说明了混沌的本质。（sin^2（x））的周期是（pi），这是无理的，而（2^n）是一个整数。假设\（X_0\）是有理的。然后以有理值对具有无理周期的函数进行采样，并排除任何有限阶的周期不动点。本文的目的是证明对于（2，4）中的\（λ\）的其他值也存在一个通解，尽管人们认为它不能用已知的分析函数来表达，而是用这里引入的一个特殊函数来表达。作者还提出了一种数值评估该函数的方法。审核人：Eszter Gselmann（德布勒森） 引用于4文件 MSC公司： 39A33型 差分方程解的混沌行为 37C05型 涉及光滑映射和微分同态的动力系统 26甲18 实函数在一个变量中的迭代 37D45号 奇异吸引子，双曲行为系统的混沌动力学 39A10号 加法差分方程 关键词：周期加倍;混乱;显式解 引文：JFM 02.020.01版 软件：物流地图;LogMapBaseFunction日志映射基函数;github;数学软件 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛M.F.Maritz｝，《混沌30》，第3期，033136页，第7页（2020年；Zbl 1446.39018） 全文： DOI程序 链接 参考文献： [1] 艾特肯，A.，《关于伯努利代数方程的数值解》，Proc。爱丁堡皇家学会，46，289-305（1926）·doi:10.1017/S0370164600022070 [2] Alligood，K.T。；Sauer，T.D。；Yorke，J.A.，《混沌：动力系统导论》（1996），Springer:Springer，纽约·Zbl 0867.58043号 [3] Andrecut，M.，Logistic map as a random number generator，《Logistic映射作为随机数生成器》，《国际期刊杂志》。物理学。B、 921-930年12月（1998年）·Zbl 1229.37022号 ·doi:10.1142/S0217979299800051X [4] Ausloos，M。；Dirickx，M.，《物流地图与混沌之路：从开始到现代应用》（The Logistic Map and The Route to Chaos：From The Beginnings to Modern Applications）（2006年），施普林格出版社：纽约施普林格·Zbl 1085.37001号 [5] Bailey，D.H.和Borwien，J.M.，“混沌理论中的分岔点”，摘自《实际实验数学》（A.K.Peters，Wellesley，MA，2007），第2.3.2节，第33-36页。 [6] Baptista，M.S.，《混沌密码学》，物理学。莱特。A、 240、50-54（1998年）·Zbl 0936.94013号 ·doi:10.1016/S0375-9601（98）00086-3 [7] Crownover，R.M.，《分形与混沌导论》（Introduction to Fractals and Chaos）（1995），琼斯与巴特利特出版社：琼斯与巴特利特出版社，伯灵顿 [8] Devaney，R.，《混沌动力系统导论》（1989），Addison-Wesley:Addison-Whesley，加利福尼亚州红木市·Zbl 0695.58002号 [9] Diamond，P.，差分方程组的混沌行为，国际期刊系统。科学。，7, 8, 953-956 (1976) ·Zbl 0336.93004号 ·网址：10.1080/00207727608941979 [10] Holmgren，R.，《离散动力系统第一课程》（1996），Springer-Verlag:Springer-Verlag，纽约·Zbl 0855.58042号 [11] Li，T.Y。；约克，J.A.，《美国数学》第三期暗示混乱。周一。，82, 10, 985-992 (1975) ·Zbl 0351.92021号 ·doi:10.1080/00029890.1975.11994008 [12] Mann，W.R.，《迭代中的平均值方法》，Proc。美国数学。Soc.，4，506-510（1953年）·Zbl 0050.11603号 ·doi:10.1090/S0002-9939-1953-0054846-3 [13] May，R.M.，《具有非常复杂动力学的简单数学模型》，《自然》，261459-467（1976）·Zbl 1369.37088号 ·doi:10.1038/261459a0 [14] Milosavljevic，医学硕士。；布雷克利，J.N。；Beal，A.N。；Corron，N.J.，《通过倍周期路径实现混沌的分析解决方案》，Phys。版本E，95，062223（2017）·doi:10.1003/PhysRevE.95.06223 [15] 拉宾诺维奇，R。；Berkolaiko，G。；Buldyrev，S。；Shehter，A。；Havlin，S.，“物流图”：分析解决方案，Physica A，218，457-460（1995）·doi:10.1016/0378-4371（95）00163-2 [16] 拉宾诺维奇，R。；Malyutin，V。；Havlin，S.，逻辑图的显式解决方案，Physica A，264，222-225（1999）·doi:10.1016/S0378-4371（98）00439-7 [17] RanferíGutiérrez，M。；Reyes，M。；Rosu，H.，关于Verhulst逻辑方程和相关逻辑图的注释，J.Phys。A、 43，1-6（2010）·Zbl 1190.39002号 ·数字对象标识代码：10.1088/1751-8113/43/20/205204 [18] Schroder，E.，数学。安，3296（1870）·doi:10.1007/BF01443992 [19] Swartzlander，E.E.，《计算机算术》（1990），IEEE计算机学会出版社：IEEE计算机协会出版社，洛斯阿拉米托斯·Zbl 0744.68029号 [20] Volder，J.E.，“CORDIC计算技术”，《西方联合计算机会议论文集》（国家联合计算机委员会，旧金山，1959年），第257-261页。 [21] Wagon，S.，“二次映射的动力学”，收录于《Mathematica in Action》（W.H.Freeman，纽约，1991），第4.4节，第117-140页·Zbl 0770.65001号 [22] Weisstein，E.W.，参见http://mathworld.wolfram.com/LogisticMap.html有关逻辑图的更多信息，请访问MathWorld-A Wolfram web资源。 [23] Wiggins，S.，《应用非线性动力学和混沌导论》（1990），Springer:Springer，纽约·Zbl 0701.58001号 [24] 补充材料见https://github.com/mfmaritz/LogMapBaseFunction网站用于MATHEMATICA代码以及计算（F_\lambda（x））及其逆函数的MATLAB代码。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。