阿努尔夫·詹岑;彼得·克劳登 随机偏微分方程的泰勒近似。 （英语） Zbl 1240.35001号 CBMS-NSF应用数学区域会议系列83.宾夕法尼亚州费城：工业和应用数学学会（SIAM）（ISBN 978-1-611972-00-9/pbk）。xiv，220页。(2011). 这本书提出了进化型随机偏微分方程泰勒展开式的系统理论。作者展示了如何使用泰勒展开式导出随机偏微分方程的高阶数值方法。这本书还包括随机常微分方程和随机微分方程数值方法的新发展。重点是路径和强收敛。第1部分专门讨论随机和随机常微分方程，由三章组成。第一章是引言，主要介绍常微分方程的泰勒展开及其积分表示。第2章介绍了随机常微分方程的泰勒展开式和数值格式。作者强调了随机常微分方程与随机微分方程的等价性。给出了RODE-Taylor格式，并得到了局部离散化误差的估计。给出了标量RODE的RODE-Taylor格式的一些显式例子。考虑了两个具有代表性的噪声过程：布朗运动和分数布朗运动，赫斯特系数为（H=3/4）。在第三章中，作者考虑了随机常微分方程（SODE）。提出了SODEs的伊藤-泰勒数值格式，并讨论了该格式的路径收敛性。考虑了Euler-Maruyama格式的反例，其中不存在强收敛性和弱收敛性。第4章讨论了非标准假设下SODE的数值方法。特别地，作者考虑了无一致有界系数的SODE和限制区域上的SODEs。第2部分专门讨论随机偏微分方程，由四章和附录组成。在第五章中，作者考虑了随机偏微分方程（SPDEs），这是一类抛物型随机演化方程。本章的主要定理建立了具有全局Lipschitz连续系数的SPDE温和解的存在性、唯一性和正则性。所考虑的抽象设置涵盖了几种类型的示例，包括有限维SODE、具有二阶和四阶空间微分算子的SPDE以及具有时间相关系数的SPDEs。在第六章中，作者讨论了如何利用解的温和形式表示来构造随机偏微分方程解的泰勒展开式。第七章研究了带加性噪声的SPDE的泰勒近似。虽然SPDE（dX{t}=[AX{t}+f（X{t{）]dt+B（X{t}）dW{t}）是由Wiener过程驱动的，这是一个鞅，但求解过程通常不是半鞅。特别是，对于所考虑类型的SPDE的解，不存在一般的Ito公式。因此，对于有限维SODE的解，无法导出所考虑SPDE的随机泰勒展开式。在第7章中，我们解释了如何获得具有加性噪声的SPDE的鲁棒泰勒展开式，并以温和的形式进行了解释。对于加性噪声，可以获得驱动噪声过程（如分数布朗运动）的强收敛结果。研究了解的性质，并讨论了一个自治过程。解的增量\（\Delta X\）可以用一些积分运算符表示。利用这些积分算子的性质，导出了SPDE解的各种泰勒展开式，并确定了它们的收敛阶。给出了由泰勒展开得到的数值格式，如指数Euler格式和Runge-Kutta格式。在第八章中，作者考虑了带乘性噪声的SPDE的泰勒近似。推导含非加性噪声SPDE解的高阶泰勒展开式的关键思想与含加性噪声的SPDE基本相同。简单地说，我们使用漂移的经典泰勒展开式和温和形式的SPDE扩散系数，然后递归地插入该SPDE解的低阶泰勒展开式，以获得带余数的闭合形式。迭代此过程可以得到任意高阶SPDE解的泰勒展开式。第8章中考虑的乘性噪声情形在技术上比加性噪声情形要求更高，它是针对具有对角生成器的解析半群而非一般半群，以及噪声仅限于Wiener过程的情况提出的。得到的收敛性是强收敛性，而不是路径收敛性。此外，还引入了一种包含随机树和树的组合表示法，以实现泰勒近似和任意阶数值格式的紧凑表示。SPDE的规律性估计见附录。参考书目由125篇参考文献组成。审核人：Aleksandr D.Borisenko（基辅） 引用于1审查引用于77文件 MSC公司： 35-02 关于偏微分方程的研究综述（专著、调查文章） 35卢比60 随机偏微分方程的偏微分方程 60甲15 随机偏微分方程（随机分析方面） 第35页 偏微分方程背景下的理论近似 关键词：随机常微分方程;伊藤-泰勒展开;数值格式;温和的溶液;解的存在性、唯一性和正则性;加性噪声;乘性噪声;高阶数值方法 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Jentzen}和\textit{P.Kloeden}，随机偏微分方程的泰勒近似。宾夕法尼亚州费城：工业和应用数学学会（SIAM）（2011；Zbl 1240.35001）