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安蒂·诺尔斯;尹、军

变形Wigner矩阵的异常值。 （英语） Zbl 1306.15034号

安·普罗巴伯。 42，第5期，1980-2031（2014）.
设（H）是一个Wigner矩阵，即一个条目独立于对称约束的（N乘N）矩阵。让我们考虑与\（H\）属于同一对称类的有限秩矩阵\（a\）对\（H\）的加性变形。众所周知（Weyl定理），当（N\rightarrow\infty）时，这种变形不会影响特征值的全局统计。实际上，变形矩阵（H+A）和初始矩阵（H）的特征值密度具有相同的大规模渐近性，并且它们满足半圆定律。然而，在这种变形下，单个特征值可能会发生变化。更准确地说，这种变形矩阵可能会出现离群值，即与体谱分离的特征值。对于一级扰动，它们首先由Z.Füredi公司和J.科姆洛西[Combinatorica 1，233–241（1981年；Zbl 0494.15010号)]. 离群值的产生与（a）的特征值（d_{k}）的幅度超过阈值1的急剧跃迁有关（假设（H）的谱是由区间（[-2,2]）渐近给定的。当（d_{k}）大于（1）时，（H+A）的最大非离群特征值从体谱中分离出来，成为离群值。这种转变被推测发生在标度（d_{k}-1\sim N^{-1/3}）上。该尺度是针对（H）为高斯（分别为高斯正交系综和高斯酉系综）的特殊情况而建立的。
A.诺尔斯和J.尹【公共纯应用数学66，第11期，1663-1749（2013；Zbl 1290.60004号)]考虑了具有次指数衰减项的Wigner矩阵的有限秩变形。他们证明了矩阵（H+A）的非离群值高精度地粘在（H）的极值特征值上，前提是（A）的每个特征值（d_{k}）满足（||d_{k}|-1|geq（\log N）^{C\log N}N^{-1/3}）。另一方面，他们分析了单个离群值的渐近分布，假设它与体谱（[-2,2]）至少分离了（（log N）^{C\log N}N^{-2/3}），并且它与任何其他离群值（H+a）都不重叠。
在本文中，假设矩阵a具有固定秩且其范数有界，给出了异常值的联合渐近分布的完整描述。因此，允许重叠的离群值，并导出所有离群值的联合渐近分布。重叠野值的分布比不重叠野值更复杂，因为重叠野值具有类似于Wigner矩阵整体特征值之间的水平排斥。异常值之间排斥的机制与高斯幺正系综特征值的机制相同。将特征值-特征向量项与矩阵项联系起来的雅可比矩阵具有范德蒙德行列式结构，如果两个特征值重合，雅可比行列式将消失。由于这种水平排斥，重叠的离群值不是渐近独立的，这一事实对于非重叠离群值来说是强调的，这是这一贡献的主要和新颖的结果之一。这种缺乏独立性并不是由水平排斥引起的，而是由（H）的分布和（A）特征向量的几何结构之间的相互作用引起的。所审查贡献的主要结果表明，在（H）和（A）的适当条件下，两个离群值可以在极限（N\rightarrow\infty）中强相关，即使它们相距很远。
该证明依赖于各向同性局部半圆定律，它构成了局部半圆法则的推广，因为它给出了关于（langle\mathbf{v}，（G（z）-m（z））\mathbf{w}\rangle）的最佳高概率估计，其中\（mathbf}v}）和\（mathbf{w}）是任意确定性向量，\（m（z）\)表示维格纳半圆定律的Stieltjes变换，（G（z））是（H）的预解式。
四步战略是主要工具之一。首先，预解式\（G\）的分布的约简，其次是高斯和几乎高斯\（H，\）的情况，最后是一般\（H\）的情况。另一方面，结合特征值的近简并微扰理论，对异常值进行了两级划分。根据异常值是否重叠，将其划分为块。
审核人：弗朗西斯科·马塞兰（Leganes）

引用于2评论
引用于29文件

MSC公司：

15B52号 随机矩阵（代数方面）
60对20 随机矩阵（概率方面）

关键词：

随机矩阵;普遍性;变形;离群值;维格纳矩阵;特征值密度;渐近的;半圆定律;体光谱;高斯正交系综;高斯幺正系综;特征向量;Stieltjes变换

引文：

Zbl 0494.15010号;Zbl 1290.60004号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit｛A.Knowles｝和\textit｛J.Yin｝，Ann.Probab。42，第5期，1980--2031（2014；Zbl 1306.15034）
全文： DOI程序 arXiv公司 欧几里得

参考文献：

[1] Baik，J.、Ben Arous，G.和Péché，S.（2005）。非零复样本协方差矩阵最大特征值的相变。安·普罗巴伯。33 1643-1697. ·Zbl 1086.15022号 ·doi:10.1214/00911790500000233
[2] Benaych-Georges，F.、Guionnet，A.和Maida，M.（2011年）。随机矩阵有限秩变形的极值特征值的涨落。电子。J.概率。16 1621-1662. ·Zbl 1245.60007号 ·doi:10.1214/EJP.v16-929
[3] Benaych-Georges，F.、Guionnet，A.和Maida，M.（2012）。矩阵随机变形的极值特征值的大偏差。普罗巴伯。理论相关领域154 703-751·Zbl 1261.15042号 ·doi:10.1007/s00440-011-0382-3
[4] Benaych-Georges，F.和Nadakuditi，R.R.（2011）。大型随机矩阵的有限低秩扰动的特征值和特征向量。高级数学。227 494-521. ·Zbl 1226.15023号 ·doi:10.1016/j.aim.2011.02.007
[5] Bloemendal，A.（2011年）。随机矩阵的有限秩扰动及其连续极限。加拿大多伦多大学博士论文。
[6] Bloemendal，A.和Virág，B.（2013）。加标随机矩阵的极限I.概率。理论相关领域156 795-825·Zbl 1356.60014号 ·doi:10.1007/s00440-012-0443-2
[7] Bloemendal，A.和Virág，B.（2013）。加标随机矩阵的极限2。预打印。可从获取。1109.3704 ·Zbl 1356.60014号 ·doi:10.1007/s00440-012-0443-2
[8] Capitaine，M.、Donati-Martin，C.和Féral，D.（2009）。大Wigner矩阵有限秩变形的最大特征值：波动的收敛性和非普遍性。安·普罗巴伯。37 1-47. ·Zbl 1163.15026号 ·doi:10.1214/08-AOP394
[9] Capitaine，M.、Donati-Martin，C.和Féral，D.（2012）。Wigner矩阵变形特征值的中心极限定理。亨利·彭加雷·普罗巴布（Henri PoincaréProbab）安·Inst。统计数字48 107-133·Zbl 1237.60007号 ·doi:10.1214/10-AIHP410
[10] Capitaine，M.，Donati-Martin，C.，Féral，D.和Février，M.Wigner矩阵尖峰变形特征值的半圆形分布自由卷积。预打印。可从获取。1006.3684
[11] Erdős，L.、Knowles，A.、Yau，H.-T.和Yin，J.（2012）。Erdős-Rényi图的谱统计Ⅱ：特征值间距和极值特征值。公共数学。物理学。314 587-640. ·Zbl 1251.05162号 ·doi:10.1007/s00220-012-1527-7
[12] Erdős，L.、Knowles，A.、Yau，H.-T.和Yin，J.（2013）。Erdős-Rényi图的谱统计Ⅰ：局部半圆定律。安·普罗巴伯。41 2279-2375. ·Zbl 1272.05111号 ·doi:10.1214/11-AOP734
[13] Erdős，L.、Péché，s.、Ramírez，J.A.、Schlein，B.和Yau，H.T.（2010）。Wigner矩阵的批量通用性。普通纯应用程序。数学。63 895-925. ·Zbl 1216.15025号 ·doi:10.1002/cpa.20317
[14] Erdõs，L.、Schlein，B.和Yau，H.-T.（2009年）。Wigner随机矩阵的短尺度半圆定律和特征向量的离域化。安·普罗巴伯。37 815-852. ·Zbl 1175.15028号 ·doi:10.1214/08-AOP421
[15] Erdős，L.、Schlein，B.和Yau，H.-T.（2010）。Wigner随机矩阵的Wegner估计和水平排斥。国际数学。Res.不。伊姆恩3 436-479·Zbl 1204.15043号 ·doi:10.1093/imrn/rnp136
[16] Erdős，L.、Schlein，B.和Yau，H.-T.（2011）。随机矩阵和局部松弛流的普遍性。发明。数学。185 75-119. ·Zbl 1225.15033号 ·doi:10.1007/s00222-010-0302-7
[17] Erdõs，L.、Yau，H.-T.和Yin，J.（2011年）。具有Bernoulli分布的广义Wigner矩阵的普遍性。J.库姆。2 15-81. ·Zbl 1235.15029号 ·doi:10.4310/JOC.2011.v2.n1.a2
[18] Erdős，L.、Yau，H.-T.和Yin，J.（2012）。广义Wigner矩阵特征值的刚性。高级数学。229 1435-1515. ·Zbl 1238.15017号 ·doi:10.1016/j.aim.2011.12.010
[19] Féral，D.和Péché，S.（2007年）。大维格纳矩阵秩一变形的最大特征值。公共数学。物理学。272 185-228. ·Zbl 1136.82016年 ·doi:10.1007/s00220-007-0209-3
[20] Füredi，Z.和Komlós，J.（1981）。随机对称矩阵的特征值。组合数学1 233-241·Zbl 0494.15010号 ·doi:10.1007/BF02579329
[21] Knowles，A.和Yin，J.Wigner矩阵的各向同性半圆定律和变形。预打印。可从获取。普通纯应用程序。数学。出现。1110.6449 ·Zbl 1290.60004号 ·doi:10.1002/cpa.21450
[22] Lee，J.O.和Yin，J.Wigner矩阵边普遍性的充要条件，预印本。1206.2251 ·Zbl 1296.60007号 ·数字对象标识代码：10.1215/00127094-2414767
[23] Péché，S.（2006年）。厄米随机矩阵小秩扰动的最大特征值。普罗巴伯。理论相关领域134 127-173·Zbl 1088.15025号 ·doi:10.1007/s00440-005-0466-z
[24] Pizzo，A.、Renfrew，D.和Soshnikov，A.（2013）。关于Wigner矩阵的有限秩变形。亨利·彭加雷·普罗巴布（Henri PoincaréProbab）安·Inst。《美国联邦法律大全》第49卷第64-94页·Zbl 1278.60014号 ·doi:10.1214/11-AIHP459
[25] Renfrew，D.和Soshnikov，A.（2013年）。关于Wigner矩阵的有限秩变形Ⅱ：离域扰动。随机矩阵理论应用。2 1250015, 36. ·兹比尔1296.60008 ·doi:10.1142/S2010326312500153
[26] Tao，T.和Vu，V.（2010年）。随机矩阵：局部特征值统计到边缘的普遍性。公共数学。物理学。298 549-572. ·Zbl 1202.15038号 ·doi:10.1007/s00220-010-1044-5
[27] Tao，T.和Vu，V.（2011年）。随机矩阵：局部特征值统计的普遍性。数学学报。206 127-204. ·Zbl 1217.15043号 ·doi:10.1007/s11511-011-0061-3
[28] Tracy，C.A.和Widom，H.（1994年）。水平间距分布和Airy内核。公共数学。物理学。159 151-174. ·Zbl 0789.35152号 ·doi:10.1007/BF02100489
[29] Tracy，C.A.和Widom，H.（1996年）。关于正交矩阵系综和辛矩阵系综。公共数学。物理学。177 727-754. ·Zbl 0851.60101号 ·doi:10.1007/BF02099545
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