×
豪尔赫·劳雷特；巴伦西亚，Edwin Alejandro Rodríguez

李群的Chern-Ricci流及其孤子。 （英语） Zbl 1343.53046号

数学。纳克里斯。 288，第13期，1512-1526（2015）.
设（M）是具有厄米度量（g）的复流形。用（ω）表示（g）的基本形式，用（J）表示（M）上的复合结构。（M）上的Chern连接是唯一的连接，关于它，（J和g）是平行的，扭转（T）满足（T^{1,1}=0）。在Kähler度量（g）的情况下，（nabla）是Levi-Civita连接。如果\（x在M中），\（e_i，Je_i\mid 1\leqi \leqn \}）是\（T^{mathbb R}_x M）关于\（g）的正交框架，并且\（R（x，Y（x，Y）：=\sum\limits_{i=1}^n g（R（x，Y）e_i，J e_i）被称为厄米特流形的Chern-Ricci形式。常微分方程（frac{d}{dt}ω（t）=-2p（J，ω（t））描述了（M）上的Chern-Ricci流。如果\（\omega _0\）是一个Kähler度量，那么Chern-Ricci流与Káhler-Ricaci流一致。本文研究了当时间（t）接近第一时间奇点时，李群（G）紧离散商（M=G/Gamma）上左变Chern-Ricci流的点极限或Cheeger-Gromov极限。更准确地说，它描述了Chern-Ricci形式和点极限的李群结构对初始厄米度量的依赖性。将结果应用于具有余维一正规交换子群的可解李群（G）的紧离散商。对于大多数具有左变复结构的四维可解李群（G），显式地得到了Chern-Ricci流。
李群（G）上的任意厄米结构（J，ω）可以用（G）的李代数（mathfrak G）来刻画。Chern-Ricci形式是\（p=\frac{1}{2}\mathrm{tr}[\mathrm{ad}，J]\），并且对于\（X，Y\in\mathfrak{g}\）有一个唯一的对称线性算子\（p:\mathfrak{g}\rightarrow\mathflak{g{），其中\（p（X，Y）=\omega（PX，Y。如果（（T_，T_+）substeq（-\infty，\inftty））是（mathrm{Id}-2tP_0）为正定的最大区间，则（（T_-，T_+。如果存在（mathfrak{G}=mathrm{Lie}（G））的导子（D），使得某些（）的（ω（t）=exp（tD）\omega_0）或（ωc\in\mathbb R^\ast\）。根据一篇文章M.L.Barberis公司等【《数学研究快报》第16期，第2–3期，第331–347页（2009年；Zbl 1178.32014号)]任何具有左变厄米结构的幂零李群（G）都是Chern-Ricci流的不动点。
本文提供了非Chern-Ricci流不动点的四维可解李群（G）的例子。任意的（h\in\mathrm{GL}（\mathfrak{g}，J）诱导了一个全纯Lie群同构（（g，J，h^\ast\omega_0）\rightarrow（g_{mu}，J，\omega _0）\与Lie群（g_\mu}），其关联的Lie代数\（（[mathfrack{g}，\mu）\具有Lie括号\（\mu（X，Y）=h[h^{-1}（X），h^{-1}（Y）]\）表示\（X，Y\ in \mathfrak{g}\）。作者观察到Hermitian度量的基本形式（ω（t））的Chern-Ricci流等价于带（mu_0（X）的括号流，Y）=[X，Y]\)对于\（对于所有X，Y\in\mathfrak{g}\）。利用Lauret以前的工作，作者指定任意Chern-Ricci解（（G，J，\omega（t））具有半直积Hermitian李代数（（\mathrm{Lie}=\mathfrak{G}，J=\begin{bmatrix}J_1&0&J_2\end{bmatricx}，\omega=\omega_1\oplus\omega_2）=（\mathfrak{g} _1个，J_1，\omega _1）\时间（\mathfrak{g} _2，J_2，\omega _2），其中内核\（\mathfrak{g} _2\)对应的Chern-Ricci算子是\（\mathfrak｛g｝\）和\（\mathfrak{g} _1个\)是\（\mathfrak的正交补码{g} 2个\)到\（\mathfrak{g}\）。（（（mathfrak{g}，J，omega））的Chern-Ricci算子（P\）有限制（P|_{mathfrak{g} _1个}=c\，\mathrm{Id}\），\（P|_{mathfrak{g} _2}=0\）对于某些\（c\in\mathbb R^\ast\）。厄米特李代数是Kähler当且仅当{g} _1个，J_1，\omega _1）\）是Kähler和\（\theta（\mathfrak{g} _1个)\subset sp（\mathfrak{g} _2，\omega 2）\）用于结构自同态\（theta:\mathfrak{g} _1个\rightarrow\mathrm{End}（\mathfrak{g} _2)\)半直接产品。
如果（e_1，\dots，e_{2n}）是Hermitian李代数（（\mathfrak{g}，J，\omega_0））的正交基，并且（\mu\in\wedge^2\mathfrak{g}^ast\otimes\mathfrak{g}\）是\（\math frak{c}\）上的李括号，那么\（\mu\）的范数定义为\（\left|\mu\right|=\sqrt{sum\limits_{i=1}^{2n}\omega _0（\mu（e_i，e_J），J\mu（e_i，e_J）}\）。作者观察到，当（t到t_{pm}）时，归一化的Chern-Ricci括号流（frac{mu（t）}{left|mu（t=right|}）收敛到与Chern-Ricaci解（G{lambda{pm}}，J，omega_0）相关的非阿贝尔李括号。让我们用\（c｛\pm｝\in\mathbb R^\ast\）表示\（（G_｛\lambda｛\pm｝｝，J，\omega _0）\）的非零Chern-Ricci算子\（P_｛\lambda｛\pm｝｝）的非零本征值，并用\（G，J，\omega _0）\）的Chern-Ricci算子\（P_0\）的核的put \（\mathfrak｛k｝\）表示。在\（T_+=\infty\）（分别为\（T_-=-\infty））的情况下，一个有\（c_+<0\）（各自为\（c->0\））和\（mathfrak{g} _2=\mathfrak{k}\）。如果\（T_+<\infty\）（分别为\（T_->-\infty \）），则\（T_+=\frac{1}{2p_+}\）表示\（p_0\）的最大正特征值\（p_+）（分别是\（T_0-=\frac{1}}{2p-}\）的最小负特征值\。此外，\（c_+>0\）（分别是\（c_<0\））和\（mathfrak{g} _2\)是（p{pm}）-本征空间（mathfrak）的正交补码{克}_（\mathfrak{g}\）上的\（P_0\）的{\pm}\）。如果（T_+=infty\）（分别为，（T_-=-\infty）），则（左|2t+1右|^{分形{1}{2}}\mu（T））收敛到具有（c_+=-1）（分别是，（c_-=1））和（mathfrak）的Chern-Ricci解（（G_{nu_{pm}}，J，ω_0）{g} _2=\mathfrak{k}\）。如果（mathfrak{g}{\pm}\neq0）是（mathfrak{g}）的Lie子代数，则（T_+<\infty）（分别是（T_->-\infty\））和（\tleft|T_{\pmneneneep-T\right|^{frac{1}{2}}\mu（T））收敛到Chern-Ricci解（（g_{nu_{pm}}}，J，\omega_0））与\（c+=\frac{1}{2}\）（分别是\（c-=-\frac}{2{\））和\（\mathfrak{g} _2=\mathfrak公司{克}_{\pm}^{\perp}\）。
如果李代数（mathfrak{g}）有余维的阿贝尔理想（mathfrak{n}），则称其为几乎阿贝尔代数。任意埃尔米特几乎阿贝尔李代数\（\mathfrak｛g｝，J，\omega _0）\）具有正交基\（e_1，\dots，e_｛2n｝），其中\（\mathfrak｛n｝=\mathrm｛Span｝_｛\mathbb R｝（e_1，\dots，e_｛2n-1｝）\），使得度量的基本形式是\对于（e_i，|\，1\leqi\leq2n\}\）的对偶基（e_i}\，|\、1\leq i\leq 2n\{}\）和（Je_i=e_{2n+1-i}\）（对于所有1\lequei\lequen\）。复结构（J）的可积性等价于在伴随作用下（e_{2n}）的不变性。（\mathfrak{g}）上的李括号（\mu=\mu_{A，c，d}）是由（\mathrm{ad}e_{2n}:\mathfrak的矩阵（A\in\mathbrak{gl}（\mathbb c））唯一确定的{n} _0（0）\rightarrow\mathfrak（右箭头）{n} _0（0）\)并通过\（mathrm{ad}e_{2n}（e_1）=ce_1+\和\限制_{i=1}^{2n-2}d_ie_{i+1}\），\（d=（d_1，\点，d_{2n-2]）\ in \ mathbbR^{2n-2}\）。本文证明了只有当（d=0^{2n-2}）时，（G{mu{A，c，d}}，J，omega）才是具有（p\neq0）的Chern-Ricci解。此外，如果\（e:=-c（2c+\mathrm{tr}A）\），则从\（G_{mu_{A，c，d}}，J，\omega）\）开始的\（ω（t）的最大存在时间间隔为\（e<0）的\（左（左），\（右），\（e=0\）。如果\（T_+=\infty\）（分别是\（T_-=-\infty））和\（e\neq 0），则重标化解\（\ frac{\omega（T）}{\left|2t+1\right|}\）逐点收敛到\（G{\lambda}，J，\omega）\）和\ n-2}}）表示\（T\to\infty）（分别为\（T\to-\infty\））。如果（ω（t））不是Chern-Ricci解，并且（t）接近有限时间奇点，则存在重标度（c（t）>0），对于该重标度，（c（t）ω（t）逐点收敛到普适覆盖（H_3times\mathbb R）的乘积（（H_3Times\mathbbR^{2n-4}）Kodaira-Thurston流形和（mathbb R^{2n-4}）。
本文构造了大多数具有左变Hermitian结构（（J，omega））的四维可解李群（G）的Chern-Ricci解。在其中一种情况下，作者得到了Chern-Ricci流的解（（G_+，J，\omega_+），它与（（G，J，\ omega））是非同构的。
审核人：阿兹尼夫·卡斯帕里安（索非亚）

引用于24文件

MSC公司：

53立方30 齐次流形的微分几何
53立方厘米 几何演化方程（平均曲率流、Ricci流等）（MSC2010）

关键词：

Chern连接；Kähler-Ricci流；Cheeger-Gromov极限；左变厄米结构；可解李群；半直积Hermitian李代数；几乎阿贝尔李代数

引文：

Zbl 1178.32014号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Lauret}和\textit{E.A.R.Valencia}，数学。纳克里斯。288、13号、1512--1526（2015；Zbl 1343.53046）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

[1] M.L.Barberis、I.Dotti和M.Verbitsky，复幂流形的规范丛，及其在超复数几何中的应用，数学。Res.Lett.16331-347（2009年）·Zbl 1178.32014号
[2] L.Bérard‐Bergery，《科学年鉴》。埃及。标准。上级。（4） ，11（4），543-576（1978）·Zbl 0426.53038号
[3] A.Besse，爱因斯坦流形，Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 10（Springer‐Verlag，Berlin‐Heidelberg，1987）·Zbl 0613.53001号
[4] S.Console和M.Macr，《格、上同调和六维几乎阿贝尔解流形模型》，预印本2012（arXiv）·Zbl 1440.53058号
[5] A.DiScala和L.Vezzoni，Chern‐flat和Ricci‐flat-不变量几乎厄米结构，Ann.Glob。分析。Geom.40，21-45（2011）·Zbl 1218.53032号
[6] M.Gill，《Chern‐Ricci关于一般类型平滑最小模型的流》，预印本2013（arXiv）。
[7] M.Gill和D.Smith，Chern‐Ricci流下Chern标量曲率的行为，预印本2013（arXiv）·Zbl 1323.53073号
[8] 长谷川，紧溶剂流形上的复数和Kähler结构，J.Symp。Geom.3749-767（2005）·Zbl 1120.53043号
[9] J.Heber，非紧齐次爱因斯坦空间，发明。《数学》133279-352（1998）·Zbl 0906.53032号
[10] J.Lauret，《尼罗流形几何结构的规范相容度量》，《全球分析年鉴》。《地质学》第30卷第107-138页（2006年）·Zbl 1102.53021号
[11] J.Lauret，幂流形上的极小度量，Diff.Geom。申请。，程序。布拉格会议2004年9月，77-94（2005）（arXiv）·Zbl 1113.53033号
[12] J.Lauret，Ricci孤子解流形，J.Reine Angew。数学650，1-21（2011）·Zbl 1210.53051号
[13] J.Lauret，齐次流形的收敛性，J.London Math。Soc.86，701-727（2012）·Zbl 1269.53054号
[14] J.Lauret，几乎厄米特李群的曲率流，美国汇刊。数学。Soc.，出版中（arXiv）·Zbl 1323.53078号
[15] J.Lauret和C.E.Will，《局部均匀流形的辛曲率流》，预印本2014（arXiv）。
[16] J.Lott，关于第三类Ricci流解的长时间行为，数学。附录339、627-666（2007年）·Zbl 1135.53046号
[17] G.Ovando，《四维李群上的复数、辛和Kähler结构》，Rev.Un。Mat.Arg.45‐2，55-67（2004年）·Zbl 1093.53072号
[18] J.Pook，辛曲率流的齐次和局部齐次解，预印本2012（arXiv）。
[19] E.Rodríguez‐Valencia，6维复幂流形上的最小度量，预印本2013（arXiv）。
[20] J.Song和B.Weinkove，关于卡勒-里奇流的讲义，2012年预印本（arXiv）。
[21] V.Tosatti和B.Weinkove，《通过Chern‐Ricci形式研究厄米度量的演化》，J.Diff.Geom。，新闻界·Zbl 1317.53092号
[22] V.Tosatti和B.Weinkove，复杂曲面上的Chern‐Ricci流，复合数学。，新闻界·Zbl 1286.53074号
[23] L.Vezzoni，关于几乎复杂流形上的厄米曲率流，Diff.Geom。申请29709-722（2011年）·Zbl 1225.53030号
[24] L.Vezzoni，关于二阶幂零流形上规范Ricci形式的注记，Proc。阿默尔。数学。Soc.141，325-333（2013）·Zbl 1272.53020号
此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。