肖金玉;马晓楠;乔治·马里内斯库 CR流形上的几何量化。 （英语） Zbl 07741153号 Commun公司。康斯坦普。数学。 25，第10号，文章ID 2250074，73 p.（2023）. Guillemin-Sternberg几何量子化猜想指出，对于承认紧致李群哈密顿作用的紧致预量子化辛流形，“量子化与约化交换”原理成立。这个猜想首先由独立的E.梅恩伦肯【《美国数学学会杂志》第9卷第2期，第373–389页（1996年；Zbl 0851.53020号)]和M.Vergne先生[《杜克数学杂志》第82卷第1期，143-179页（1996年；Zbl 0855.58033号)]对于李群是阿贝尔群的情况，通过E.Meinrenken公司【高级数学134，第2期，240–277（1998年；Zbl 0929.53045号)]在一般情况下。然后Y.Tian先生和W.Zhang先生【发明数学132，第229-259号（1998年；Zbl 0944.53047号)]给出了一般情况下的纯解析证明，并进行了各种推广。对于具有紧致李群作用的非紧致辛流形，该问题由Y.Tian先生和W.Zhang先生[发明数学132，第2期，229-259（1998；Zbl 0944.53047号)]作为一个猜想的解决方案M.Vergne先生，[载于：《国际数学家大会（ICM）会议记录》，西班牙马德里，2006年8月22日至30日。第一卷：全体讲座和仪式。苏黎世：欧洲数学学会（EMS）。635–664 (2007;邮编1123.19004)].本文研究了CR流形的量子化和“量子化与约简交换”的原理。设（X，T^{（1,0）}X）是维数为（2n+1），（n\geq 1）的紧致可定向CR流形，其中（T^{（1,0。设（HX\子集TX\）是具有复杂结构的相关Levi分布（J\ in\mathrm{End}（HX）\），设（omega_0\）是特征的（1）形式湮灭（HX_）。设（G）是一个（d）维紧李群，李代数（{G}）通过保持（J）和（ω_0）作用于（X）。设\（\mu:X\rightarrow{g}\）为相关的矩映射。作者主要在以下假设的背景下工作。假设。（G）-作用保留了（HX）上的复合结构（J）和特征（1）-形式（ω_0），在（mu^{-1}（0））上是自由的，并且满足下列条件之一：（i） （dim X\geq 5）和（X）的Levi形式在（mu^{-1}（0））附近是正定的；（ii）（X＝3），（X）的Levi形式处处是正定的，并且在（X）上的（L^2）有闭区间。对于\mathbb{R}中的\（s），让\（H^s（X），H^ s（X_G）\）表示（s）阶的\（X\）和\（X_G=\mu^{-1}（0）/G\）的Sobolev空间。设（H^0_b（X）_s=H^s（X）\cap\mathrm{Ker}（\overline\partial_b）\）和（H^0 _b（X_G）_s=H ^s（X_G）\cap\ mathrm}（\ overline\spartial _b）。用（H_b^0（X）^G）和（H_b ^0（X）_s^G）表示\（H_b2^0（X\）和\（H_ b^0）_s^G\）的\（G\）不变部分。设\（iota:Y=\mu^{-1}（0）\rightarrowX\）为自然包体，设\（\iota^*：\mathcal{C}^\infty（X）\right arrow\mathcal{C}^\inffy（Y）\）为回拉。设\（\iota_G:\mathcal{C}^\infty（Y）^G\rightarrow\mathcal{C}^\inffy（X_G）\）为自然标识。设\（\sigma_G=\iota_G\iota^*：H^0_b（X）^G\cap\mathcal{C}^\infty（X）_G\rightarrow H^0_ b（X_G）\）。以下主要结果给出了一个CR模拟，即辛背景下的正则约化映射是前量子线束足够大张量幂的同构。定理。设（X）是紧可定向CR流形，且（G）是作用于（X）上的紧Lie群，使得（G）-作用保持（J）和（ω_0），且上述假设成立。假设\（上划线\partial_{b，X_G}\）在\（L^2）中具有闭合范围。然后，对于每个\（s\in\mathbb{R}\），CR-Guillemin-Sternberg映射\[\σ_{G，s}:H^0_b（X）^G_s\右箭头H^0_ b（X_G）_{s-\分形{d}{4}}，\]从\（\ sigma_G\）扩展而来的是Fredholm。作为上述定理的应用，作者利用动量映射研究了在0的逆像附近为正的全纯线丛的CR-Guillemin-Sternberg映射。作者还证明了Sasakian流形的“量化与约简交换”如下。定理。设（X）是具有CR-Reeb向量场的紧致连通Sasakian流形。假设（X）包含一个紧李群作用（G），它保持了（HX）上的复结构（J）和特征（1）-形式（ω_0），它在（mu^{-1}（0）上是自由的，Reeb向量场（R）是（G）不变的。那么，除了有限多的\（\alpha\in\mathbb｛T^*｝\）映射\[\sigma_G:H^0_{b，\alpha}（X）^G\rightarrow H^0_{b，\ alpha}（X_G）\]是一个同构，其中圆环\（\mathbb{T}\）-作用由\（R\）生成，并且\（H^0_b（X）^G=\oplus_{alpha\in\mathbb{T^*}}H^0_{b，\alpha}（X）|G\）和\。审核人：王欢（郑州） 引用于4文件 MSC公司： 53D50型 几何量化 53D20型 动量图；辛约化 53元25角 特殊黎曼流形（爱因斯坦、佐佐木等） 32宽10 \（\overline\partial_b\）和（\overrine\parcial_b~）-Neumann运算符 32升10 全纯向量丛截面的滑轮和上同调，一般结果 35 S30 傅里叶积分算子在偏微分方程中的应用 32V20型 CR流形分析 关键词：CR歧管;Guillemin-Sternberg地图;几何量化 引文：Zbl 0851.53020号;Zbl 0855.58033号;Zbl 0929.53045号;Zbl 0944.53047号;邮编1123.19004 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{C.-Y.Xiao}等人，Commun。康斯坦普。数学。25，第10号，文章ID 2250074，73 p.（2023；Zbl 07741153） 全文： DOI程序 arXiv公司 参考文献： [1] Albert，C.，Le the e orème de réduction de Marsden-Weinstein en géométrie cosymplectique et de contact，J.Geom。《物理学》6（4）（1989）627-649·Zbl 0712.53017号 [2] Andreotti，A.和Siu，Y.T.，伪凹空间的射影嵌入，《科学年鉴规范》。Sup.Pisa24（1970）231-278·Zbl 0195.36901号 [3] 比夸德（Biquard），O.，梅特里克（Métriques autoduales sur la boule），发明。数学148（3）（2002）545-607·Zbl 1040.53061号 [4] Bland，J.和Duchamp，T.，尖凸域的模量，发明。数学104（1991）61-112·Zbl 0731.32010号 [5] Boothby，W.M.和Wang，H.C.，《接触流形》，《数学年鉴》68（1958）721-734·Zbl 0084.39204号 [6] Boutet de Monvel，L.，《Cauchy-Riemann induites formelles方程积分》，塞米纳伊尔·古劳伊c-狮子-Schwartz1974-1975，实验编号9，14页，《数学中心》。，埃科尔理工学院。，巴黎，1975年·兹比尔0317.58003 [7] Boutet de Monvel，L.和Guillemin，V.，《Toeplitz算子的谱理论》，第99卷（普林斯顿大学出版社，新泽西州普林斯顿，1981年）。v+161页·Zbl 0469.47021号 [8] Boutet de Monvel，L.和Sjöstrand，J.，Sur la singularitédes noyaux de Bergman et de Szegö，Astérisque34-35（1976）123-164·兹比尔0344.32010 [9] Boyer，C.和Galicki，K.，佐佐木几何，（牛津大学出版社，牛津，2008），xii+613 pp·Zbl 1155.53002号 [10] Burns，D.M.，一些切向Cauchy-Riemann方程的整体行为，收录于《偏微分方程与几何》第48卷（Dekker，纽约，1979年），第51-56页·Zbl 0405.32006年 [11] Chen，S.-C.和Shaw，M.-C.，多复变量偏微分方程，第19卷（美国数学学会，普罗维登斯，RI；国际出版社，马萨诸塞州萨默维尔，2001），xii，380 pp·Zbl 0963.32001号 [12] Christ，M.，嵌入有限型紧致三维CR流形，数学年鉴129（1）（1989）195-213·Zbl 0668.32019 [13] Collins，T.和Székelyhidi，G.，不规则Sasakian流形的K-半稳定性，J.Differential Geom.109（1）（2018）81-109·Zbl 1403.53039号 [14] Colţoiu，T.和Tibăr，M.，关于圆盘定理，数学。Ann.345（2009）175-183·Zbl 1175.32004号 [15] 爱泼斯坦，C.L.，《三维圆束上的CR-结构》，发明。数学109（1992）351-403·Zbl 0786.32013号 [16] Geiges，H.，接触流形的构造，数学。程序。剑桥菲洛斯。Soc.121（1997）455-464·Zbl 0882.57007号 [17] Geiges，H.，《接触拓扑导论》，第109卷（剑桥大学出版社，剑桥，2008）。十六+440页·Zbl 1153.53002号 [18] Grauert，H.，《（q）凸性和（q）凹性理论》，载于《多元复变量》第七版，Grauert、H.、Peternell、Th.和Remmert，R.，第74卷（Springer Verlag，1994）·Zbl 0806.32004号 [19] Guillemin，V.和Sternberg，S.，《群表示的几何量子化和多重性》，发明。数学67（1982）515-538·Zbl 0503.58018号 [20] Guillemin，V.和Sternberg，S.，群表示的齐次量子化和多重性，J.Funct。分析。，47 (1982) 344-380. ·Zbl 0733.58021号 [21] Harvey，F.R.和Lawson，H.B.，《关于复杂分析变量的边界》。一、 《数学年鉴》102（1975）223-290·兹比尔0317.32017 [22] Hatakeyama，Y.，关于具有几乎接触结构的可微流形的一些注记，Tóhoku Math。J.（2）15（1963）176-181·Zbl 0136.18002号 [23] Herrmann，H.，Xiao，C.-Y.和Li，X.，Szegő核和CR流形的等变嵌入定理，数学。第29（1）（2022）号决议193-246·Zbl 1510.32087号 [24] Hochs，P.和Song，Y.。适当矩映射的自旋-狄拉克算子的等变指数，杜克数学。J.166（2017）1125-1178·Zbl 1370.58010号 [25] Hörmander，L.，《复相位傅里叶积分算子的（L^2）估计》，Ark.Mat.21（2）（1983）283-307·Zbl 0533.47045号 [26] Hörmander，L.，《线性偏微分算子的分析》。一、 （Springer-Verlag，柏林，2003年）·Zbl 1028.35001号 [27] 肖春云，多个复变量的投影，MéM。Soc.数学。法国，Nouv。Sér.123（2010）1-131·Zbl 1229.3202号 [28] 肖春云，黄瑞泰，（G\）不变Szeg核渐近与CR约化，《计算变量PDEs60（1）（2021）》第47号论文·Zbl 1467.32016号 [29] 肖春云，马林斯库，G.，低能形式谱函数的渐近性和半正大线束的伯格曼核，Comm.Anal。《地理》22（1）（2014）1-108·Zbl 1316.32013年 [30] Xiao，C.-Y.和Marinescu，G.，《关于低能形式上Szegő投影的奇异性》，J.Differential Geometry107（2017）83-155·Zbl 1398.32038号 [31] Xiao，C.-Y.和Savale，N.，Bergman-Szegő弱伪凸有限型情形的核渐近性，J.Reine Angew。数学791（2022）173-223·Zbl 1511.32025号 [32] Kohn，J.J.，《复杂流形的边界》。Conf.复杂分析（Springer，Berlin，1964），第81-94页·Zbl 0166.36003号 [33] Kohn，J.J.，切向Cauchy-Riemann算子的范围，杜克数学。《期刊》53（1986）525-545·Zbl 2015年9月6日 [34] Kohn，J.J.和Rossi，H.，《关于从复流形边界扩展全纯函数》，《数学年鉴》81（1965）451-472·Zbl 0166.33802号 [35] Lempert，L.，《关于三维Cauchy-Riemann流形》，J.Amer。数学。Soc.5（1992）1-50·兹比尔0781.32014 [36] Ma，X.，《Kähler和辛流形上的几何量子化》，载于《数学家国际会议》第二卷，印度海得拉巴，2010年8月19日至27日，第785-810页·Zbl 1229.53088号 [37] Ma，X.和Marinescu，G.，全纯Morse不等式和Bergman Kernel，第254卷（Birkhäuser Verlag，巴塞尔，2007），xiv+422 pp·Zbl 1135.32001号 [38] Ma，X.和Zhang，W.，伯格曼核与辛归约，Astérisque318（2008）viii+154页·Zbl 1171.32001号 [39] Ma，X.和Zhang，W.，适当矩映射的几何量化，C.R.数学。阿卡德。科学。巴黎347（2009）389-394·Zbl 1167.53073号 [40] Ma，X.和Zhang，W.，《恰当矩映射的几何量化：Vergne猜想》，《数学学报》212（1）（2014）11-57·Zbl 1380.53102号 [41] G.Marinescu和N.Savale，Bochner-Laplacian和Bergman Riemann曲面上半正线束的核展开，arXiv:1811.00992。 [42] Marinescu，G.和Yeganefar，N.，一些严格伪凸CR流形的可嵌入性，Trans。阿米尔。数学。Soc.359（10）（2007）4757-4771·Zbl 1122.32026号 [43] Meinrenken，E.，关于多重性的黎曼-罗奇公式，J.Amer。数学。Soc.9（1996）373-389·Zbl 0851.53020号 [44] Meinrenken，E.，辛外科和Spinc-Dirac算子，《高级数学》134（1998）240-277·Zbl 0929.53045号 [45] Melin，A.和Sjöstrand，J.，具有复值相函数的Fourier积分算子，Springer Lect。数学笔记。，459 (1975) 120-223. ·Zbl 0306.42007号 [46] Ornea，L.和Verbitsky，M.，CR-流形上的Sasakian结构，Geom。Dedicata125（2007）159-173·Zbl 1125.53056号 [47] Paradan，P.-E.，《形式几何量化II》，《太平洋数学杂志》253（2011）169-211·Zbl 1235.53093号 [48] Puchol，M.，（G\）不变全纯Morse不等式，J.Differential Geom.106（2017）507-558·Zbl 1391.32040号 [49] Rossi，H.，《沿着伪凹边界将分析空间附加到分析空间》，Proc。Conf.复杂分析（Springer-Verlag，纽约，1965），第242-256页·Zbl 0143.30301号 [50] Rudin，W.，《真实与复杂分析》，第3版。（McGraw-Hill Book Co.，纽约，1987），xiv+416 pp·Zbl 0925.00005 [51] N.Tanaka，《严格伪凸流形的微分几何研究》，Kinokuniya书店有限公司，东京，1975年，京都大学数学系数学讲座，第9期·Zbl 0331.53025号 [52] Tian，Y.和Zhang，W.，Guillemin Sternberg几何量子化猜想的分析证明，发明。数学132（1998）229-259·Zbl 0944.53047号 [53] Vergne，M.，几何量子化的乘数公式I，II，Duke Math。J.82（1996）143-179181-194·兹比尔0855.58034 [54] Vergne，M.，《量化标准与归纳辛集》，塞米纳伊尔·布尔巴吉2000/2001，阿斯特里斯克282（2002）249-278·Zbl 1037.53062号 [55] Vergne，M.，《等变上同调的应用》，载于《国际数学家会议》。第一卷（欧洲数学学会，苏黎世，2007年），第635-664页·邮编1123.19004 [56] 韦伯斯特，S.M.，《真实超曲面上的伪赫米特构造》，《微分几何杂志》13（1）（1978）25-41·Zbl 0379.53016号 [57] Willett，C.，接触减少，Trans。阿米尔。数学。Soc.354（10）（2002）4245-4260·Zbl 1018.53038号 [58] Zhang，W.，奇异归约中的全纯量子化公式，Commun。康斯坦普。数学1（3）（1999）281-293·Zbl 0970.53044号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。