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Forstnerič，法国;埃里克·洛伊;Övrelid，尼尔斯

求解薄管中的（d）-和（上划线-偏）-方程及其在映射中的应用。 （英语） Zbl 1016.32018号

密歇根州数学。J。 49，第2期，369-416（2001）.
本文的主要目标是具有分析性质：在不损失正则性的情况下，求解全实子流形周围薄管中的超线性{偏}方程（和（d）方程）。设（M\subset{\mathbb C}^n）是类（{\mathcal C}^1）的完全实子流形，设（delta>0）并用（{\mathcal T}_deltaM:={z\ in{\mathbb C}^n；d_M（z）<delta\}\）围绕\（M\）的小\（delta\）-管表示。设（0<c<1）是任意的。第一个主要结果表明存在（delta_0>0），并且对于每个整数（l\geq0），存在一个常数（C_1>0）。这样，对于所有（0<delta\leq\delta_0）和所有整数（p\geq0\）、（q\geq1\）、（l\gerq1\），以下结果都成立：对于每一个（p，q）-形式的（u\ in{mathcal C}{p，q}^l（{mathcalT}_deltaM））类\（{\mathcal C}^l\）的在（上横线{偏}u=0）下，存在满足估计值（|v|{l^）的（v）in{mathcal C}{p，q-1}^l（{mathcalT}\\delta M）infty（{mathcal T}_delta M）}\)和\（||D^\alpha v||_{L^\infty（{\mathcal T}_{c\delta}M）}\leq c_L\left（\delta||D_\alpha-u|_{L ^\inffy（{\ mathcal T}_\deltaM）}+\delta^{1-|\alpha|}|u|__{L_infty \）和\（|\alpha|\leq L\），其中\（D^\alpha\）表示相应的真实的偏导数。在特殊情况下（q=1），根据连续模得到一个估计；Zygmund和Hölder类中的进一步估计被公式化。一类积分核是专门为管构造的。整个建筑遵循的是F.R.哈维和R.O.水井[《数学年鉴》197287-318（1972；Zbl 0246.32019号)]，将Bochner-Martinelli内核与Leray内核进行了修补（基本上接近于G.M.Henkin著名的构造），这在第三作者之前的工作中也是在类似的背景下实现的[N.Øvrelid公司，数学。扫描。29, 137-160 (1971;Zbl 0227.35069号)]. 证据是完备的，由优秀的文字支持；它可以独立于文献阅读，而F.Forstnerić及其合著者（J.-P.Rosay、E.Löw、N.Ørelid）开发的整个主题可以直接从本文中学习。第一个应用是关于近似：设（f:M_1到M_2）是两个紧全实子流形（M_1，M_2子集{mathbb C}^n）之间的一个（{mathcal C}^k）微分同构，（i=1,2）的复正规丛（T{mathbbC}^n|{M_i}/（TM_i\oplusJTM_i）在（f\）上同构。然后有数字\（delta_0>0）和\（a>0），这样对于每个\（0<delta<delta_0\），存在一个内射全纯映射\（F_delta:{mathcal T}_delta M_1到{mathbb C}^n），这样\（F_ delta（{mathcalT}_deltaM_1）\）包含\（{mathcal T}_{a\delta}M_2），并且下面的估计适用于\（0\leqr \leq k \）作为\（\增量\到0\）：\[||F_\delta|_{M_1}-F||_{{\mathcal C}^r（M_1）}=o（\delta^{k-r}），\quad||F_\delta^{-1}|_{M_2}-F^{-1{|_{\mathcal C}（M_2）}=o（\delta ^{k-r}）。\]第二个应用程序（在许多应用程序中）通过以下方式增强了之前的结果F.福斯特内里奇和J.-P.罗赛【发明数学112，No.2，323-349（1993；Zbl 0792.32011号)]它已经被F.Forstnerič和E.Løw公司[印第安纳大学数学杂志46，第1期，133-153（1997；兹伯利0883.32014)]（但仍有一些光滑性损失）：设（f:M_1到M_2）是实维（1）的（{mathbb C}^n）的两个紧致全实多项式凸子流形之间的（{mathcal C}^k）微分同构。然后存在一个序列（F_j在{\text{Aut}}{mathbb C}^n中），（j=1,2,3，\dots\），这样\[\lim_{j\to\infty}||F_j|{M_1}-F||{{mathcal C}^k（M_1）}=0，\quad\lim_j\to\finfty{|F_j^{-1}|_{M_2}-F^{-1{|_{mathcalC}^k（M_2）}=0。\]此外，作者还获得了（{mathcal C}^2）-光滑全实子流形周围薄管上方程（dv=u）解的严格正则性，其中（u）是（d）-闭全纯（p）-形式，他们进一步推导了关于保持全纯体形式（dz1\楔\cdots\楔dzn）或全纯辛形式（dz 1\楔形dz2+\cdots+dz{2n-1}楔形tz{2n}）的映射的近似结果。
审核人：乔·梅尔克（马赛塞德克斯）

引用于9文件

MSC公司：

32瓦05 \（上划线部分）和（上划线局部）-Neumann运算符
32E30型 全纯、多项式和有理逼近，以及多个复变量的插值；横档对
32V25型 CR流形中函数和其他分析对象的扩展
32V40型 复流形中的实子流形

关键词：

全实子流形;\（d）-和（上划线{偏}）-方程;管邻域上的形式逼近;多项式凸同位素;正常束;辛全纯映射;用（{mathbb C}^n）的自同构逼近双全纯映射

引文：

Zbl 0246.32019号;Zbl 0227.35069号;Zbl 0792.32011号;Zbl 0883.32014号
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\textit{F.Forstnerič}等人，密歇根州数学。J.49，No.2，369--416（2001；Zbl 1016.32018）
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