拉尔夫·希特迈尔 三维混合问题的多级预处理。 （英语） Zbl 0851.65089号 奥格斯堡数学研究所（Augsburger Mathematisch-Naturwissenschaftliche Schriften）. 8. 奥格斯堡：Wißner。xiii，第136页（1996年）。 作者摘要：本文旨在对一些三维离散变分问题的多层预处理方案进行严格的理论检验，这些问题涉及微分算子div和curl。例如，在椭圆边值问题的对偶形式中，会出现这样的问题，在这种情况下，它们位于（H（\text{div}；\Omega））和（H（\text{curl}；\fomega））的子空间上。研究是在一个有限元框架中进行的，该框架依赖于简单网格和Raviart和Thomas以及Nédélec引入的有限元格式。我们从微分形式的角度重新审视这些空间的构造。因此，我们得出了一个相当规范的程序来获得这些特定的有限元，并对其属性进行统一分析。此外，我们设法在分数Sobolev空间中建立近似估计和新的离散扩张定理。我们的主要关注点是应用于鞍点系统的增广拉格朗日技术，该鞍点系统是由一个普通标量二阶椭圆问题的混合有限元离散化引起的：Uzawa算法、最小残差法以及Bank、Welfert和Yserentint的方法为其迭代解提供了算法。我们证明，对于与双线性形式（（u，v）{L^2（\Omega）}+r（\text{div}u，\text{div}v）{L2（\Omega）}相关的离散算子，只需要一个有效的预条件器就可以获得最佳计算复杂度的方法。当然，预条件器一定不会受到增广拉格朗日参数大值的不利影响。我们在二维中扩展了Vassilevski和Wang的方法，以获得基于嵌套三角剖分序列的三维Raviart-Tomas空间的多级分裂。为了处理关键的无发散向量场，我们求助于Nédélec空间的节点BPX型分解。我们发现，只要稍作修改，Cai、Goldstein和Pasciak的等级碱基方案也会被覆盖。基于代数多级理论，我们研究了最低阶Nédélec空间分解关于双线性形式（（text{curl}\xi，text{curr}\eta）{L^2（\Omega）}）的稳定性。为了处理它的非平凡核，我们切换到相关的商空间。在对旋度-旋度边值问题正则性的某些假设下，根据Zhang的对偶参数，可以得出节点分裂的稳定性，与精化层数无关。根据扩张定理，如果不施加边界值，则此结果可推广到一般域。研究结果还表明，Ewing和Wang针对2D应用提出的直接消除通量中非油酸部分的方法对于3D混合问题同样有效。此外，它们使我们能够为二阶椭圆问题的一阶系统最小二乘离散化构造快速求解器。此外，这些结果对于设计计算静磁矢量位的多级格式也很有用。审核人：S.F.McCormick（巨砾） 引用于4文件 理学硕士： 65号55 多网格方法；含偏微分方程边值问题的区域分解 65-02 与数值分析相关的研究展览（专著、调查文章） 65层35 矩阵范数、条件、缩放的数值计算 60年第35季度 与光学和电磁理论相关的PDE 35J25型 二阶椭圆方程的边值问题 65层10 线性系统的迭代数值方法 65N30型 含偏微分方程边值问题的有限元、Rayleigh-Ritz和Galerkin方法 78A25型 电磁理论（通用） 关键词：多级预处理方案;离散变分问题;有限元格式;分数Sobolev空间;增广拉格朗日技术;鞍点系统;Uzawa算法;最小残差法;高效预条件器;最佳计算复杂度;多级分裂;嵌套三角剖分;层次基方案;代数多级理论;稳定性;Nédélec空间;旋度旋度边值问题;静磁学 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{R.Hiptmair}，三维混合问题的多级预处理。奥格斯堡：Wißner（1996；Zbl 0851.65089）