范登伯格，简·布韦;马克西姆·布列登;Jean-Philippe Lessard;伦奈特·范·维恩 Navier-Stokes流中的自发周期轨道。 （英语） Zbl 1475.35247号 非线性科学杂志。 31，第2号，第41号论文，64页（2021年）. 本文作者提出了一种计算机辅助的方法来证明与时间无关力相对应的Navier-Stokes方程的时间周期解的存在性。考虑尺寸长度为（2\pi）的三个环面上的Navier-Stokes方程：\[\开始{cases}\partial_tu+（u\cdot\nabla）u-\nu\Delta u+\nabla p=f\\\nabla\cdot u=0\结束{cases}\quad\text{in}\mathbb{T}^3\times\mathbb{R}，\tag{1}\]其中，\（u=u（x，t）\）和\（p=p（x，t）\）分别表示流体速度和压力场（按流体-常数-密度缩放），\（nu\）是运动粘度系数，\（f=f（x）\）是假定与时间无关且空间平均值为零的给定外力。问题是是否存在周期（T）和（1）的相应解析周期解（u，p）。该解对应于作者所称的“自发周期运动”，因为它代表了由非时间相关力驱动的流体的（非平稳）时间周期流动。以下工作研究了由Navier-Stokes方程控制的流体自发周期运动的存在性：[V.I.尤多维奇，J.应用。数学。机械。35, 587–603 (1971;Zbl 0247.76044号); Prikl的翻译。马特·梅赫。35, 638–655 (1971)], [G.损失，建筑。定额。机械。分析。47, 301–329 (1972;Zbl 0258.35057号)], [D.D.约瑟夫和D.H.座椅，建筑。定额。机械。分析。45, 79–109 (1972;Zbl 0239.76057号)]、和[G.P.加尔迪，建筑。定额。机械。分析。222，第1期，285–315页（2016年；Zbl 1352.35096号)]. 这些论文关注的是从经历分岔的稳态分支出来的周期解。相反，本文作者证明了自发周期运动的存在，这些运动不一定“接近”稳态解的分岔点。证明策略包括三个主要步骤。第一步是在几何衰减傅里叶系数的Banach空间上识别一个找零问题（mathcal F（W）=0）。解（W）对应于周期为（2π/ω）的涡度方程的角频率（ω）和时间周期解。在引理2.5中，证明了（mathcal F（W）=0）的解对应于（1）的时间周期解。第二步，考虑（W）的数值近似值（W），即（F（W）近似值0），然后将（F）的精确零点（W）作为算子的不动点\[T： \；W\mapsto W-D\mathcal F（\bar W）^｛-1｝\mathcal F（W），\]在\（\bar W\）附近。根据巴拿赫不动点定理，足以证明（T）是以（bar W）为中心的球的收缩。为了证明后者，需要（D\mathcal F（\barW）^{-1}）的可计算估计。作者不使用（D mathcal F（\bar W）^{-1}），而是分别构造（D mathcal F（\ bar W））和（D match al F（\tar W）^}）的近似（A）和（A），并使用这些操作符来找到充分的条件，以确保（T）在以\（\bar W\）为中心的球中收缩（定理2.15）。最后一步是推导并实现满足定理2.15假设的显式边界。考虑到评估此类边界的计算成本很高，作者使用模型的对称性来减小寻零问题的规模（定理4.23）。对称设置中边界的实现可以在中找到[J.B.范登伯格等，“纳维-斯托克斯流中的自发周期轨道”的MATLAB代码（2019），https://www.math.vu.nl/~janbouwe/code/navierstokes/]. 对于在一个空间变量中均匀的时间周期解（更准确地说，它们与第三个空间变量无关，并且第三个分量为零），对应于Taylor-Green力\[f（x）=\左（\开始{矩阵}2\sin x_1\cos x_2\\-2\cos x_1\sin x_2\\0\结束{矩阵}\右）\]显示了。审核人：Giusy Mazzone（金斯顿） 引用于8文件 MSC公司： 35季度30 Navier-Stokes方程 35B06型 PDE上下文中的对称性、不变量等 35B10型 PDE的周期性解决方案 35B36型 PDE背景下的模式形成 65G20个 具有自动结果验证的算法 76D17号 粘性涡流 68伏05 计算机辅助证明-按穷举类型 关键词：Navier-Stokes方程;周期轨道;对称性破坏;计算机辅助证明 引文：Zbl 0247.76044号;Zbl 0258.35057号;Zbl 0239.76057号;Zbl 1352.35096号 软件：RODES公司;开普勒98;国际实验室;Matlab语言;navierstokes公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.B.van den Berg}等人，《非线性科学杂志》。31，第2号，第41号论文，64页（2021年；Zbl 1475.35247） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 阿里奥利，G。；Koch，H.，《耗散偏微分方程的积分：案例研究》，SIAM J.Appl。动态。系统。，9, 3, 1119-1133 (2010) ·Zbl 1298.37071号 ·doi:10.1137/10078298X [2] 阿里奥利，G。；科赫，H。；Terracini，S.，Fermi-Paca-Ulam模型的两种新方法和多模周期解，Commun。数学。物理。，255，1，1-19（2005年）·兹比尔1076.70008 ·doi:10.1007/s00220-004-1251-z [3] Burgers，JM，《说明湍流理论的数学模型》，Adv.Appl。机械。，1, 171-199 (1948) ·doi:10.1016/S0065-2156（08）70100-5 [4] Caloz，G。；Rappaz，J.，非线性和分岔问题的数值分析，Handb。数字。分析。，5, 487-637 (1997) [5] 卡斯泰利，R。；加梅罗，M。；Lessard，J-P，不适定偏微分方程的严格数值：Boussinesq方程中的周期轨道，Arch。定额。机械。An.，228，1，129-157（2018）·Zbl 1390.35262号 ·doi:10.1007/s00205-017-1186-0 [6] Castro，A.，Córdoba，D.，Gómez-Serrano，J.：无粘SQG方程的整体光滑解。arXiv预印arXiv:1603.03325（2016）·Zbl 1444.35003号 [7] Cvitanović，P.，《复发流：湍流背后的时钟》，《流体力学杂志》。，726, 1-4 (2013) ·Zbl 1287.76120号 ·doi:10.1017/jfm.2013.198 [8] 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