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瓦莱里·罗曼诺夫斯基。;夏永辉;张翔

解析微分系统的各种局部可积性及其应用。 （英语） Zbl 1305.34022号

J.差异。方程 257，第9号，3079-3101（2014）.
这篇综述遵循了作者在论文中给出的注释。作者考虑了形式的局部解析或形式微分系统\[\点{x}\，=\，Ax+f（x），\quad\text{in（（\mathbb{f}^n，0）\]其中，（A）是一个（n次n次）矩阵，其中，（mathbb{F}）、（x=（x_1，x_2，ldots，x_n）^T）、（F（x）=（f1（x），f2（x）、ldots、F_n（x。\（A\）的特征值用\（\lambda=（\lambda_1，\lambda_2，\ldots，\lambda_n）\）表示。给定\（\α=（\α_1，\α_2，\ ldots，\α_n）\ in \ mathbb{Z}（Z）_{+}^n\），表示\（\langle\lambda，\alpha\rangle=\sum_{i=1}^n\alpha_i\lambda_i\）和\（|\alpha|=\alpha_1+\alpha_2+\ldots+\alfa_n\）。让\（\mathcal{R}\，=\，\left\{\alpha\in\mathbb{Z}（Z）_{+}^n\，：\，\langle\lambda，\alpha\rangle=0，|\alpha|>0\right\}\），并用\（r\lambda\）表示集合\（\mathcal{r}\）中向量的秩。本文是关于范式理论的。众所周知，恒等式（x=y+varphi（y））有一个替换切线，其中（varphi\[\dot｛y｝\，=\，Ay+\mathbf｛g｝（y），\]其中，\（mathbf{g}（y）=（g_1（y；形式为\（g^{alpha}y^\alpha e_k\），带有\（\langle\lambda，\alpha\rangle-\lambda_k\，=\，0\）和\（g|alpha\in\mathbb{F}\）。如果系统（{1}）在\（（mathbb{F}，0）\中有\（n-1）个函数独立（或形式）的第一积分，则系统（{1}）是解析（或形式上）可积的。
作者证明了以下定理，它是平面系统的Poincaré–Liapunov定理的推广（即当\（n=2\））。以下段落引用了定理1.1。在论文中。设\（\mathcal｛X｝\）为与系统（｛1｝）相关的向量场。
（a） 存在一个具有任意共振单项式的级数\[\mathcal{X}\左（\psi（X）\右）\，=\，\sum_{\alpha\in\mathcal}R}}p_\alpha X^\alpha，\tag{2}\]其中，\（p\alpha\）是\（mathcal{X}\）系数中的多项式。
（b） 如果向量场（mathcal{X}）有（n-1）个函数独立的解析或形式第一积分，那么对于满足（{2}）的任何（psi），对于所有（mathcal{R}中的alpha）都有（p_alph=0）。
（c） 假设（mathcal{R}）的秩为（k），即（R\lambda=k），并且存在（k）功能独立的（psi^{（1）}，psi^}（2）}、ldots，psiqu{（k）}），这样对于（{2}）中的相应系数，所有（psi=1,2，ldot，k\）。那么向量场（mathcal{X}）有完全独立于函数的解析或形式第一积分。
这个非常有趣的结果一方面给出了一种计算局部可积性约束（语句（a））的方法，另一方面也给出了它的特征（语句（b）和（c）），以及在微分系统的一般框架中（mathbb{F}^n）。
作者应用这一结果研究了一类具有立方哈密顿量的四维二次哈密顿系统的局部可积性\[H（x，y，z，w）\，=\，xy+zw+\sum_{\alpha\in\mathbb{Z}（Z）_{+}^{4}，|\alpha|=3}h\alpha x^{\alpha_1}y^{\alpha_2}z^{\阿尔pha_3}w^{\α_4}，\]并带有\（h{0003}\，=\，h{0300}\，=\，h_{0102}\，＝\，h_2011}\，，=\、h_{0120}\，=2\，h_{0201}\，=3\，h_2{0210}\，=1\，0\）。注意，相应的哈密顿系统依赖于（13）参数（h{α}）。利用前面的结果，作者给出了四维二次哈密顿系统局部可积的12个必要条件。在12种情况中的8种情况下，作者利用定理的（c）或达布的可积性理论证明了这些条件也是充分的。
审核人：Maite Grau（莱伊达）

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引用于19文件

MSC公司：

34A25型 常微分方程分析理论：级数、变换、变换、运算微积分等。
34立方厘米 对称性，常微分方程的不变量
34C20美元 常微分方程和系统的变换和约简，正规形式
37立方厘米 动力系统的拓扑和可微等价、共轭、模、分类
34A05型 显式解，常微分方程的第一积分

关键词：

解析微分系统;局部可积性;品种;哈密顿体系;达布可积性

软件：

primdec公司;单一
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{V.G.Romanovski}等人，J.Differ。方程式257，No.9，3079--3101（2014；Zbl 1305.34022）
全文： 内政部

参考文献：

[1] Bibikov，Y.N.，非线性解析常微分方程局部理论，数学课堂讲稿。，第702卷（1979），Springer-Verlag:Springer-Verlag纽约·Zbl 0404.34005号
[2] Bruno，A.D.，微分方程的解析形式，Trans。莫斯科数学。Soc.，25，131-288（1971）·Zbl 0272.34018号
[3] Bruno，A.D.，非线性微分方程中的局部方法（1989），Springer-Verlag:Springer-Verlag纽约·Zbl 0674.34002号
[4] 陈，J。；Yi，Y。；Zhang，X.，解析向量场芽的第一积分和正规形式，J.微分方程，2451167-1184（2008）·兹比尔1166.34018
[5] 克里斯托弗，C。；利伯里，J。；Pereira，J.V.，多项式向量场中不变代数曲线的多重性，太平洋数学杂志。，229, 63-117 (2007) ·Zbl 1160.34003号
[6] 克里斯托弗，C。；马德西奇，P。；Rousseau，C.，《（C^2）中复杂二次系统的正规化、可积和线性化鞍点》，J.Dyn。控制系统。，9, 311-363 (2003) ·Zbl 1022.37035号
[7] 考克斯·D。；Little，J。；O'Shea，D.，《理想、多样性和算法：计算代数几何和交换代数导论》（1997），Springer:Springer New York
[8] Decker，W。；格雷厄尔，G.-M。；普菲斯特，G。；Shönemann，H。，单一3-1-6-多项式计算的计算机代数系统（2012）
[10] Dumortier，F。；利伯里，J。；Artés，J.C.，平面微分系统的定性理论，Universitext（2006），Springer-Verlag:Springer-Verlag纽约·兹比尔1110.34002
[11] 詹尼，P。；Trager，B。；Zacharias，G.，Gröbner bases and primary decompositions of多项式，J.符号计算。，6, 146-167 (1988) ·Zbl 0667.13008号
[12] 利伯里，J。；Pantazi，C。；Walcher，S.，局部解析微分系统的第一积分，Bull。科学。数学。，136, 342-359 (2012) ·Zbl 1245.34004号
[13] 利伯里，J。；Zhang，X.，《考虑多重性的（C^n）中的Darboux可积性理论》，《微分方程》，246541-551（2009）·Zbl 1163.34003号
[14] 利伯里，J。；Zhang，X.，《Darboux可积性理论中的有理第一积分》，布尔。科学。数学。，134, 189-195 (2010) ·Zbl 1190.34003号
[15] 利伯里，J。；Zhang，X.，关于多项式微分系统的Darboux可积性，拟。理论动力学。系统。，11, 129-144 (2012) ·Zbl 1266.34002号
[16] Yu伊利亚申科。；Yakovenko，S.，《解析微分方程讲座》，Grad。数学研究生。，第86卷（2007），美国数学学会：美国数学学会普罗维登斯，RI
[17] Pliss，V.A.，《关于将微分方程解析系统简化为线性形式》，Differ。Equ.、。，1, 153-161 (1965)
[18] 罗曼诺夫斯基，V.G。；Shafer，D.S.，《中心和循环性问题：计算代数方法》（2009），Birkhäuser:Birkháuser Boston·Zbl 1192.34003号
[19] Walcher，S.，《对称性和正规变换的收敛性》，Monogr。皇家学院。Ci.精确。财政部-安静。Nat.Zaragoza，25，251-268（2004）
[20] 张欣，解析可积系统的解析归一化与嵌入流，《微分方程》，2441080-1092（2008）·Zbl 1141.34004号
[21] Zhang，X.，\（C^\infty\）双曲微分同胚的嵌入流，微分方程，2502283-2298（2011）·Zbl 1221.37101号
[22] Zhang，X.，《解析可积系统：解析归一化和嵌入流》，《微分方程》，254，3000-3022（2013）·Zbl 1335.34072号
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