博罗达乔夫，塞尔吉五世。;道格拉斯·哈丁（Douglas P.Hardin）。;爱德华·萨夫。 可校正集上的离散能量。 （英语） Zbl 1437.41002号 施普林格数学专著纽约州纽约市：施普林格出版社（ISBN 978-0-387-84807-5/hbk；978-0-38 7-84808-2/电子书）。十八、666页。(2019). 这本书全面介绍了离散能量问题和点配置，这是一个涉及包装和覆盖问题、经典势能理论等主题的主题，因此它截取了数学及其各种应用的广阔前景。为了使这本书内容完整，作者在一个初步章节和一个附录中包括了他们需要的所有真实分析工具以及正文，正文由十四章和一个附件组成。正如费杰斯·托特（Fejes Tóth）经典著作一样，在每章的最后一节，作者对本章中的定理和相关结果进行了详细的评论、一些扩展和历史参考。在本书的开头部分，即概述第0章，作者对其主要目的进行了鸟瞰，即从粒子相互作用的角度处理流形上分布点的一般问题，即离散流形。这一章通过精心挑选的具体例子展示了这一场景，这些例子用色彩鲜明的图片生动地加以说明，以便日后进行更详细的处理。第一章包含实数分析的基本概念和作者在后面章节中使用的结果。本章总结了量度理论和函数分析的著名概念和结果，包括特殊函数，这些概念和结果在费德勒、鲁丁和威德等人的经典著作中都有详细介绍，这些著作都列在书目中。在第二章中，作者开始处理实际的书籍目标，即研究点配置，使根据成对相互作用定义的能量最小化。在引入度量空间（a）的最小离散点（N）-能量的基本概念后，给出了一个关于最小离散点能量增长相对于点配置数（N）的单调性的Fekete定理。在接下来的2.2节中，介绍了基本的Riesz核、对数核和高斯核，这些核在全文中起着关键作用。本节最后介绍了普遍最优配置的概念，然后对紧度量空间上的高斯核进行了特征化。下一节2.3考虑了圆的特殊情况，然后证明了等间距点是由合适的凸函数和递减函数定义的一大类势的唯一能量极小值。这适用于可纠正的简单闭合曲线（定理2.3.1）。第2.4节研究了（d）维单位球（S_d）上Riesz势的广义Thomson问题。主要结果（定理2.4.1）证明了（d）-单形的顶点对于一大类势建立了能量最小化的构型。下面的2.5节考虑了经典汤姆逊问题的五个点，以此来说明它的困难。第2.6节讨论了闭区间上的最小能量问题，其主要结果（定理2.6.1）建立了一大类势的最小能量配置的唯一性。本节最后给出了一个特殊情况，即对数能量，在这种情况下，通过某些雅可比多项式的零点来表征任意（Ngeq 2）的N点最优能量配置。本章（2.7）的最后一个技术部分研究了极小Riesz\（s\）-能量函数\（E_s（A，N）\）相对于\（s\）的某些条件和可微性质（定理2.7.1和2.7.3）。在第三章中，作者考虑了离散几何的两大主题，即最佳填充问题和最佳覆盖问题。在第3.1节中，在一些基本定义之后，首先证明了（定理3.1.2），对于无限紧度量空间，当s变大时，最佳装箱问题是最小Riesz能量问题的极限情况。然后得到了路连通空间上最优配置中点之间最小成对距离的估计（定理3.1.3）。第3.2节介绍了一般的最佳覆盖问题，为此引入了几个定义：覆盖半径、最小N点覆盖半径、N点最佳覆盖配置和网格比。本节中的中心结果表示了紧致无限度量空间上的最佳填充距离和网格比之间的关系（定理3.2.6和3.2.9）。第3.3节给出了（d）维球面（S_d）上的最佳填充和最佳覆盖问题的结果，该节被细分为与填充和覆盖相对应的两个子节。填充子节开始考虑（S_2）并提出著名的Tammes问题（定理3.3.1、3.3.2和以下推论）。由于F.Tóth，它遵循一个估计，定理3.3.4。覆盖子部分通过定理3.3.14、3.3.15和3.3.18展示了内接于\（S_d）中的正则单纯形的最佳性以及\（S_2）上的正则八面体和二十面体的最佳性（推论3.3.17）。两张图片分别说明了包装箱和覆盖箱的近似情况。在第3.4节中，作者在介绍了（mathbb{R}^d）中的最佳填充和最佳覆盖问题后，在平面的特殊情况下，证明了这两个问题都是由等边三角形格（Lambda^*）求解的，即由向量（v_1=（1,0）和（v_2=（1,3））生成的（mathbb{R}^2）的加法子群。四个黑白图说明了以下章节的定义：此外，还展示了一个彩色蜂窝状图形。在简短的3.5节中，引入了一个与填充和覆盖有关的又一个离散几何问题。该节的主要结果（定理3.5.1）给出了最小网格比的下限。作为推论，等边三角形晶格（Lambda^*）使平面内的网格比最小。在第3.6节中，给出了任意维（p\geq 2）的最高球体堆积密度（Delta_p）的上界和下界。截面的主要定理（定理3.6.8和3.6.10）为Minkowski和Blichfeldt的经典结果提供了一般框架。在第3.7节中，我们利用平面上的最佳填充和最佳覆盖问题的解，得到了紧集（a）在（mathbb{R}^p\）中的最佳填充距离问题的导项，它是对称的下半连续的，并且是（mathbb{R}^3\）中（S_2）的最佳覆盖半径。在第四章中，作者提出了连续最小能量核。此外，他们还研究了（A）上离散最小能量问题（随着点数（N）的增加）和相关连续问题的渐近行为。本章的结果在很大程度上依赖于测量理论工具。第4.1节包含了紧支持Borel概率测度势的一些基本性质的描述，并包括所谓的下降原理（定理4.1.2）。在第4.2节中，通过大量的结果，作者分析了具有有限维纳常数（相对于核K）的集的最小（N）点能量的渐近行为和渐近最优配置的弱*极限分布)平衡测度唯一性的条件及其特征。在第4.3节中，作者考虑了具体情况和相应的连续能量最小化问题，该节的主要结果（定理4.3.3）证明了当Hausdorff维数（A>0）和（0<s<dimA\）或（s=log\）时，紧集（A\）具有有限Wiener常数。在第4.4节（分为三个小节）中，作者研究了由点间距平方的完全单调函数给出的核的正定性。第一小节和第二小节分别考虑高斯核和完全单调势的严格正定性，第三小节考虑条件严格正定势。本节包含几个有趣的结果（定理4.4.4、4.4.5、4.4.7、4.4.8、4.4.9、4.4.10、4.4.14及其推论4.4.15和4.4.16）。在第4.5节中，提出了超谐势和次谐势的标准最小（最大）原理，然后用于研究平衡测度和能量最小化配置的支撑位置（定理4.5.8–4.5.12）。在第4.6节中，当（A）是区间（[-1,1]\）、（mathbb{R}^{p+1}\）中的单位球（s_p）和（mathbb{R}^p+1}）中的单元球（B_p）、（s=0）中的Riesz（s）-核和对数核时，得到了（A）上的维纳常数（W_s（A）和平衡测度的值。这些由命题4.6.1和定理4.6.5–4.6.7给出。第4.7节描述了平衡措施对于\（\mathbb{R}^3\）中的某些旋转曲面。提供了环形表面上最小对数能量的一些图示。在第五章中，作者提出了确定球面（S_d）上Riesz最小能量、最佳填充和亲吻数问题的界和精确解的线性规划方法（简称LP）。在本章的前三节中，介绍了球面调和多项式及其一些性质。尤其是他们的关系用Gegenbauer多项式进行了较为详细的研究。第5.4节描述了球面设计（定理5.4.2及其推论），并给出了球面距离集和sharp码的必要条件。第5.5节介绍了Delsarte和Yudin介绍的方法。其中心结果（定理5.5.1）给出了离散最小能量的下界和球面上最佳填充的上界（定理5.5.4）。后者的一个应用通过正则二十面体示例进行了说明，其顶点解决了\（S_2）上的12点最佳填充问题。本节结束时给出了Levenshtein上限（定理5.5.6）。第5.6节给出了子空间中的求积规则和LP界。它还包括由Boyvalenkov等人得出的一个普适定界结果（定理5.6.5），而在第5.7节中，给出了普适最优性的概念、Cohn-Kumar普适最优点定理（5.7.2），以及600-cell普适性的新证明。在第5.8节中，Delsarte方法用于确定可以同时亲吻相同大小的球的非重叠同余球的最大数量。在本章的最后一个技术部分中，作者研究了当配置中的点数介于关联单纯形和交叉多面体的基数之间时，在\（S_d）上的最佳布局，在这种情况下，不存在普遍最优配置。第六章主要研究多维球面（S_d）上能量和点配置的渐近结果。在第6.1节中，研究了N点配置序列球面上均匀分布的性质，并给出了几个等价的公式。定理6.1.4展示了Erdös-Turan型不等式的一个版本。进一步，给出了差异一致的充分必要条件。提供了与随机分布点（相对于均匀测度）的关系（定理6.1.8）。在第6.2节中，通过应用第4章关于球面上有条件严格正定的势的结果，确定了能量（E_K（S_d，N））的主导项（作为（N到infty）），并获得了相关极小化（N）点配置的均匀分布（定理6.2.1和推论6.2.2）。在定理6.2.3中，给出了所有（s>-2）（s=0）的Riesz s-能量的这些主导项列表，包括当（s>d）时的情况。在接下来的第6.3节中，使用Delsarte-Yudin方法（第5章）和上限分析来表明最小能量的主导项增长为\（N^2 logN\）。第6.4节包含包含Riesz势的成对势类的（N）-点（K）-能量的二阶估计。在第6.5节中，通过使用欧拉-马拉龙求和方法，研究了圆（s_1）上等距点的能量渐近性，无论是在欧几里德情况下（定理6.5.11）还是在s的特定范围值的测地距离下（定理65.6）。第6.6节提出了关于Riesz\（s）-能量在\（s_d）上的高阶能量项的猜想。第6.7节介绍了Smale的问题和相关结果。本节还包括一个条件，当点配置使\（S_d\）上的对数能量最小化时，该条件成立（定理6.7.4）。作为推论，我们得到了对数能量极小化构型（S_d）的质心必须位于中心（S）。第6.8节讨论了Stolarsky将离散能量与差异联系起来的结果的通用方法。中心结果是不变性原理（定理6.8.7），它允许我们根据（L_2）-差异来表征（s_d）上能量最小化构型，对于（s=-1）。在第6.9节中，讨论了球面上最小能量点的局部性质分离。此外，针对\（s）和\（d）的特定范围，给出了\（s \）-能量配置中最小成对距离的几个下界。在第七章（简短的一章）中，为了展示一些实际应用，作者提供了在\（S_2）上分布点的一些算法。它们描述了由常用方法生成的此类点配置的属性。在第一节7.1中，他们讨论了球面的等面积分割，其组成区域具有渐近收缩的直径（分割）。在下一节7.2中，他们描述了\（S_2）上分布点的其他13个算法。最后，在第7.3节中，对这些方法的特性进行了详细的说明性比较。在第八章的前两节中，作者研究了当（sgeq1）时可校正曲线上的最小Riesz-能量，这为可校正集上能量最小化的一般情形的处理奠定了基础。在第8.3节中，从（mathbb{R}^p）中给定的（p）维晶格获得的构型序列能量的前项是通过生成晶格的Epstein zeta函数获得的（定理8.3.1）。在第8.4节中，证明了一个技术常数的存在，称为（C_{s，p}）。对于（p）维单位立方体，这恰好是归一化最小（N）点Riesz能量的极限（超过（N）），（s>p）（定理8.4.1）。此外，由于（C_{s，p}）的值仅为（p）的一些特定值所知，因此定理8.4.4中给出了（C_}s，p{）的下限。第8.5节包含了本章的主要结果，即Poppy-Seed Bagel定理（8.5.2），它是本书的支柱之一。以下第8.6节是一个中间步骤，涉及几个引理，为第8.7节中给出的实际证明做准备。最后两个技术部分8.8和8.9分别给出了能量最小化配置中点之间的最小成对间隔和某类紧致可直集的最小\（N\）点覆盖半径的估计。在第九章中，作者研究了（mathbb{R}^p\），（d\leqp\）中（d\）维（C^1）流形紧子集上最小Riesz（d\-）能量值的渐近行为。在第一节中，得到了（mathbb{R}^p）中紧（H_d，d）-可校正集的（d）-能量的上界（定理9.1.4）。在第9.2节中，前面的上界在球面（S_d）的可缩放子集上显示得很清楚（定理9.2.1）。在本章的第三节中，后一个定理被推广到\（mathbb{R}^p\）中正Lebesgue测度的紧子集（定理9.3.3）。第9.4节考虑了属于某类紧集（K_d）（定义9.4.2）的最小（d）-能量（d）可校正集，然后将前面的结果进一步推广到这类（定理9.4.3）。本节最后给出了一个结果，将渐近（d）-能量极小化（N）-点配置序列与（H_d（a）>0）类的集合上的渐近均匀分布联系起来。本节包含了对本章前面结果的进一步扩展，即当这些集的两两交集的（H_d）测度为零时，包含在（mathbb{R}^p）中的（d）维（C^1）流形中的有限多个紧集的并（定理9.5.4）。在第9.6节中，作者展示了紧集（mathbb{R}^p）上两个正Lebesgue测度配置序列的例子，其能量与最小能量具有相同的前项-给出了流形。在本章的最后一个技术部分9.7中，定理9.7.1给出了在（mathbb{R}^p\）中正（H_{alpha}）-测度的紧子集上的（alpha）-能量最小化配置中最小成对分离的下限，其中（0<alpha\leq-p\）。在第十章的第一节中，作者介绍了与满秩晶格相关的周期势，以及当这些势由具有充分衰减的函数生成时。进一步，给出了（mathbb{R}^p）中组态相对于这些周期势的相应能量和密度。第10.2节处理\（s>d\）在\（mathbb{R}^p\）中的Riesz s势，并对a进行充分衰减\（d）维晶格。它的主要结果（定理10.2.1）是Poppy-Seed-Bagel定理的一个版本，第8.5节，关于周期Riesz能量（s>d）。以下第10.3节介绍了格θ函数的性质。给出了具有规定密度配置的高斯能量的下限（定理10.3.1）。第10.4节通过线性规划给出了保压和周期能量问题的边界（定理10.4.1及其推论）。第10.5节介绍了（G）型势，并在给定晶格（Lambda）的情况下，介绍了产生相关（Lambda-）周期势的方法。该方法应用于Riesz\（s\）-电位（对于\（s>d\）），导致Epstein和Epstein Hurwitzζ函数的分析延拓（10.5.1和10.5.2小节）。在第10.6节中，证明了为（G）型势定义的周期势可以通过收敛因子的概念恢复。第10.7节处理了通用最优的几个概念。在本章的最后一节10.8中，研究了（0<s<d）的最小Riesz（s）-周期能量的渐近性，并确定了二阶项。第十一章讨论非均匀分布的构型。在第11.1节中，引入了CPD权重函数，证明了Poppy-Seed Bagel定理（定理11.1.2）的加权类似版本，以及情况下的相应结果（s=d）（定理11.1.3）。第11.2节提供了最佳配置中最小成对分离的下限。为此，估计了最小加权能量配置的最小成对分离（引理11.2.1），从而得出该部分的主要结果（定理11.2.3）。本节最后得出的结论是，加权能量最小化配置序列是拟均匀的（定理11.2.6）。在第11.3节中，考虑了外部场的存在。本节的结果（定理11.3.1和11.3.2）与第8章中的对应结果类似，不包含证明。本章的最后一个技术部分考虑了在具有相对于Hausdorff测度的规定密度的可校正集上构造一个完全分离的构型序列。第十二章讨论离散化的低复杂度能量方法。在第12.1节中，引入了重量固定的截断能量和。然后研究了这种截断能量\（Es_w（A，N；rN）\），当\（N\）变大时，其中\（s>d\），\（A\）是具有正Hausdorff测度的\（mathbb{R}^p\）的紧致可校正子集，\（{rN\}）是具有一定衰减的正数序列（定理12.1.1）。此外，还证明了截断能量和的渐近最优N点配置序列的极限分布，其值的前项与带权能量的前项一致（推论12.1.2）。然后在第12.2节中使用第12.1节的结果来研究（A）的最小（N）点（（vN，s）能量的渐近行为，其中具有特定性质的权重序列收敛于给定的CPD权重函数（w）（A乘以A）（定理12.2.1和12.2.2）。以下部分处理了最优配置序列的最小成对分离和覆盖半径，这些最优配置序列对应于证明其拟一致性的变化权重（定理12.3.1和12.3.3）。本章的最后一个技术部分展示了当计算复杂性提高时，不同权重的能量最小化问题的示例和应用。第十三章考虑紧集上的最佳包装。在第13.1节中，建立了最小s能量的渐近行为与最佳堆积距离之间的关系。它基于方程式13.1.1及其结果（建议13.1.1~13.1.3）。在下一节中，保证了通用最佳堆积常数（C_{s，d}）的存在性。后者是之前在第8.4节中定义的通用最小能量常数的模拟。定理13.2.2建立了两个常数之间的关系。在第13.3节中，首先介绍了渐近最佳堆积序列的概念，然后用它来表示这一章的主要结果（定理13.3.1），其中包括证明最佳堆积配置在紧致的（Hd，d）-可校正集（a）上的极限分布，使得>0）相对于（H_d）-测度是渐近均匀分布的。在第13.4节中，证明了正Lebesgue测度（mathbb{R}^p）紧子集（a）上的渐近最佳填充序列满足引理9.6.13的假设，从而使（a）的（d）-能量渐近最小化。进一步，给出了（mathbb{R}^p\），（d\leqp\）中（d）维流形紧子集类的一个类似结果。在第十四章和最后一章中，讨论了势的最优离散测度。首先，在第14.1节中介绍了双板K极化问题和最大K极化配置。此外，还建立了一个不等式，将后一个概念与离散最小能量联系起来（命题14.1.1）。下一节考虑了最大极化问题的一些具体情况，这些情况总结在定理14.4.2、14.2.3、14.2.5和14.2.6中。第14.3节讨论了圆上的最大极化，结果表明，对于一般的电势，（N）等距点的配置对于极化问题是最佳的（定理14.3.1）。第14.4节表明，第3章中处理的最优覆盖问题可以看作是Riesz极化问题（命题14.4.1）的极限情形。下一节处理单调性适用的特殊情况（命题14.5.1–14.5.3）。在第14.6节中，引入了连续极化常数，并证明了它是归一化N阶极化常数的极限（定理14.6.3）。本节还讨论了导体上一系列\（N）点配置的弱极限分布与其极化问题的渐近最优性之间的关系。此外，还建立了一个关于连续极化常数和维纳常数的不等式（定理14.6.8和14.6.9）。最后三节14.7–14.9旨在获得不同情况下极化的Poppy-Seed Bagel定理的类比。首先，第14.7节考虑了Jordan可测集上的Riesz极化——超奇异情况。定理14.7.1证明了渐近极化常数σs的有限性和正性，p.引理14.7.2–14.7.4证明了极化的次可加性和超可加性。第14.7.3小节涉及Jordan可测集的渐近性。定理14.7.5表明，对于（s>p），Rp中具有正Lebesgue测度的紧致Jordan可测集，当（N）趋于无穷大时，与A上任意渐近最优s极化序列相关的归一化计数测度在弱*拓扑中收敛到一致测度。第二，第14.8节，讨论了临界情况下的偏振渐近线（s=d）（定理14.8.1）。第三，也是最后一点，第14.9节处理了\（s>d）的光滑流形上的偏振渐近性。为了证明其主要结果，定理14.9.2，使用了其他技术。作者做了一项出色的工作，将读者（主要是研究生）从真实分析的基础知识带到了几个数学主题的研究前沿，这使学生和研究专业人员都对文本感兴趣。这本书内容丰富，无疑将为读者提供关于这一迷人主题的极有价值的信息来源。审核人：安东尼奥·罗伯托·达席尔瓦（里约热内卢） 引用于1审查引用于66文件 理学硕士： 41-02 与近似和展开有关的研究说明（专著、调查文章） 28-02 与测量和集成相关的研究展览（专著、调查文章） 37-02 关于动力学系统和遍历理论的研究综述（专著、调查文章） 49-02 关于变分法和最优控制的研究说明（专著、调查文章） 52-02 关于凸几何和离散几何的研究论述（专著、综述文章） 关键词：离散能量;可校正集;流形离散化;最佳包装;最佳封面;poppy-seed Bagel定理 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.V.Borodachov}等人，可校正集上的离散能量。纽约州纽约市：施普林格（2019；Zbl 1437.41002） 全文： 内政部