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高石小和田;安德鲁·托马斯。

稀疏和临界状态下过程级Betti数的极限定理。 （英语） Zbl 1456.60044号

高级申请。普罗巴伯。 52，第1期，1-31页（2020年）.
在（随机）点集（mathcal{X}\subset\mathbb{R}^d）上，构造了一个（随机）单形复数（check{C}（mathca{X}，t），（t\geq0），使得（i）（0）-单形是（mathcal{X}\）的点；（ii）如果（{x_0，\ldots，x_k\}\subset\mathcal{x}\）中的每一对点都位于距离（t）内，则包含（k）-simplices。
概率模型采用\（mathcal{X}=mathcal{P} _n（n）\)，强度的泊松点过程，其中（mu）是具有有界连续密度的（mathbb{R}^d）上的测度，并考虑拓扑统计进程\（\检查{C}（\mathcal{P} _n（n），sn t））{t\geq 0}）作为\（n\to\infty \）用于适当的缩放序列\（sn \）。特别地，本文的主题是由（beta_{k，n}（t）=beta_k（check{C}（mathcal{P} _n（n），s_n t））。动机部分来自最近对持久同源性拓扑数据分析。
如随机几何图的经典情况[M.彭罗斯，随机几何图。牛津：牛津大学出版社（2003；Zbl 1029.60007号)]，在（nsn ^d到0）（稀疏）、（nsn′d到infty）（稠密）和（nsn〃d到lambda）（临界）三种状态下的渐近行为是不同的。
作者首先考虑了稀疏区域，其中（ns_n^d到0）但是（n^{k+2}s_n^{d（k+1）}到infty），并表明\（beta{k，n}）以有限维分布收敛到与（k+2）点上的连通分量相关联的高斯过程。在（n s_n^d到0）非常快的超稀疏区域中，有一个泊松极限定理。在具有\（s_n=n^｛-1/d｝\）的临界状态下，也存在到高斯极限的收敛，但现在具有更复杂的结构：它是与\（k+2，k+3，\ldots\）点上的分量相关的高斯过程的无限和。
证明利用了局部依赖性、斯坦因方法和泊松过程技术。这些结果的过程-版本是新的，尽管在某些情况下边缘中心极限定理是已知的：例如[R.伊瓦萨，同调同伦应用。22，第1期，343–374（2020年；Zbl 1435.13013号)].
审核人：安德鲁·韦德（达勒姆）

引用于9文件

MSC公司：

60D05型 几何概率与随机几何
55单位10 代数拓扑中的单纯形集和复数
60F05型 中心极限和其他弱定理
05E45型 单形复形的组合方面

关键词：

随机拓扑;贝蒂数;中心极限定理;泊松极限定理

引文：

Zbl 1029.60007号;Zbl 1435.13013号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{T.Owada}和\textit{A.M.Thomas}，高级应用程序。普罗巴伯。52，第1号，1--31（2020；Zbl 1456.60044）
全文： 内政部 arXiv公司

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