马克西姆·阿诺德;富克斯，德米特里;伊凡·伊兹梅捷耶夫;谢尔盖·塔巴奇尼科夫;伊曼纽·塔克曼 迭代渐开线和渐开线。 （英语） 兹比尔1381.51007 离散计算。地理。 58，第1期，80-143（2017）. 本文的主题是欧氏平面上平面曲线的迭代渐开和渐开线变换。主要涉及离散情况，它考虑了几种可能的离散化，发展了它们的变换理论，并得出了一些非常令人满意的结果。本文首先对内摆线起特殊作用的平滑情况进行了一些考虑。它们是唯一允许的曲线，与它们的渐屈线类似，并且构成迭代渐屈线变换的唯一一类“好”极限形状。（一般来说，尖点的数量发散到无穷大。）在离散设置中，作者区分了（mathcal P）-渐屈线（其边是原始多边形边的垂直平分线）和（mathcal-A）-渐曲线（其边将原始多边形的角度平分）。这意味着渐屈顶点分别对应于由原始多边形的连续顶点形成的三角形的外圆心和内/外圆心。由于角平分线并不唯一，因此考虑了一致选择平分线的不同策略，以及不同版本的（mathcal a）渐屈线。离散支持函数是研究迭代P演化的合适工具。它在多边形边上定义，返回一对，由方向角和到原点的有符号距离组成。（mathcal P）-evolute变换简单地将角度偏移（pi/2），但它对定向距离向量线性作用。对该线性映射的谱特性的分析导致了对迭代P渐屈线的极限行为的描述。离散内摆线（其边与平滑内摆线相切的多边形）相当特殊。与平滑情况一样，它们的（mathcal P）渐屈线是其自身的缩放副本。在光滑情况下，曲线和渐屈线共享其斯坦纳点，斯坦纳点在离散设置中的作用部分被新引入的“伪斯坦纳点”所取代。然而，这种类比并不完美。对一种特殊的\（\数学A\）-evolutes的研究产生了可比较的结果。在整个文本中，五边形起着特殊的作用。例如，我们发现Grünbaum猜想的一个证明，即五边形的第一个和第三个渐屈线是同源的。作者还观察到，一种特殊的（mathcal A）-渐屈变换以正概率产生了极限形状的四周期序列。（相当奇怪的）极限五边形似乎与起始值无关。演化变换和某种演化变换的可逆性在很大程度上取决于连续多边形边上反射波的组成特性（尤其是其数量的奇偶性）。一般来说，对于偶数，存在（mathcal P）-渐开线，对于奇数个边，存在（mathcal A）-渐开线。否则，多边形“准周长”的消失将确保存在无穷多的渐开线。其中，一般有一个具有零拟周长的模型，其构造允许迭代。导出了某些多边形极限行为的一些结果。审核人：Hans-Peter Schröcker（因斯布鲁克） 引用于6文件 MSC公司： 05年5月51日 欧几里德几何（一般）和推广 51升15 \直接法的（n）-顶点定理 53A04号 欧氏空间和相关空间中的曲线 52 C99 离散几何 37D40型 几何起源和双曲的动力系统（测地流和水平流等） 关键词：渐开线;内摆线;斯坦纳点;刺猬;支持功能;四顶点定理;多边形;离散傅里叶变换;离散微分几何;迭代渐屈线 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Arnold}等人，《离散计算》。地理。58，第1号，80--143（2017；Zbl 1381.51007） 全文： DOI程序 arXiv公司 参考文献： [1] 亚历山大，J.C.：踏板三角形序列的符号动力学。数学。Mag.66（3），147-158（1993）·Zbl 0830.58010号 ·doi:10.2307/2690959 [2] Bennett，D。；King，J.（编辑）；Schattschneider，D.（编辑），《动态几何重新引起人们对旧问题的兴趣》，第41期，第25-28页（1997年），纽约 [3] Bobenko，A.I.，Suris，Yu。离散微分几何：可积结构。数学研究生课程。美国数学学会，普罗维登斯（2008）·Zbl 1158.53001号 [4] 戴维斯，P.J.：循环矩阵。纯数学和应用数学。威利，纽约（1979）·Zbl 0418.15017号 [5] Fuchs，D.，Tabachnikov，S.：《数学综合：经典数学三十讲》。美国数学学会，普罗维登斯（2007）·Zbl 1318.00004号 ·doi:10.1090/mbk/046 [6] Fuchs，D.，Tabachnikov，S.：空间多边形和空间曲线的迭代渐屈线。arXiv:1611.08836（2016）·Zbl 1422.53005号 [7] Groemer，H.：傅里叶级数和球面谐波的几何应用。数学及其应用百科全书，第61卷。剑桥大学出版社，剑桥（1996）·Zbl 0877.52002号 ·doi:10.1017/CBO9780511530005 [8] Grünbaum，B.：四边形、五边形和计算机。地理组合学3（1），4-9（1993）·Zbl 0845.51013号 [9] Grünbaum，B.：重新审视象限、五边形和计算机。地理组合学4（1），11-16（1994）·Zbl 0845.51014号 [10] Grünbaum，B.：凸多面体。数学研究生教材，第221卷，第2版。施普林格，纽约（2003）·Zbl 1024.52001年 ·doi:10.1007/978-1-4613-0019-9 [11] Hoffmann，T.：曲线和曲面的离散微分几何。MI演讲笔记系列，第18卷。福冈九州大学（2009）·兹比尔1258.53004 [12] 离子，P.D.：几何学和离散傅里叶变换。AMS的特征列。2010年11月。http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-geo-dft ·Zbl 1077.51505号 [13] Izmestiev，I.：一般离散Wirtinger不等式和离散Laplacians谱。arXiv:1502.03186（2015年） [14] 金·J。；King，J.（编辑）；Schattschneider，D.（编辑），由垂直平分线形成的四边形，第41号，第29-32页（1997年），纽约 [15] Kingston，J.G.，Synge，J.L.：踏板三角形的序列。美国数学。周一。95(7), 609-620 (1988) ·Zbl 0655.51008号 ·数字对象标识代码：10.2307/2323303 [16] Kubota，T.：Kuven和Flächen是Schwerpunkte der konveven geschlossennen的代表。托霍库数学。J.14，20-27（1918） [17] Langevin，R.，Levitt，G.，Rosenberg，H.：Hérissons et multihérisson（包络参数par leur应用于高斯）。奇点。巴纳赫中心出版物，第20卷，第245-253页。PWN，华沙（1988）·Zbl 0658.53004号 [18] Langr，J.：问题1085。美国数学。周一。60(8), 55-550 (1953) [19] Lax，P.D.：踏板三角形序列的遍历特征。美国数学。周一。97（3），377-381（1990）·Zbl 0729.28011号 ·doi:10.2307/2324387 [20] 曼宁：三角形踏板序列的极限。牛市。伦敦。数学。Soc.42（4），673-679（2010）·Zbl 1214.37028号 ·doi:10.1112/blms/bdq025 [21] 马丁内兹·马雷（Martinez-Maure，Y.）：《新纪元》（De nouvelles inégalit s géométriques pour les hérissons）。架构（architecture）。数学。（巴塞尔）72（6），444-453（1999）·Zbl 0955.52003号 ·doi:10.1007/s000130050354 [22] Martinez Maure，Y.：平面凸体Minkowski差异的几何研究。可以。数学杂志。58(3), 600-624 (2006) ·2014年11月11日 ·doi:10.4153/CJM-2006-025-x [23] Mogilski，W.J.：四顶点定理、渐屈线和多边形分解。arXiv:0906.2388v2（2009）·Zbl 0655.51008号 [24] Musin，O.R.：多边形和多面体的曲率极值和四顶点定理。数学杂志。科学。（纽约）119（2），268-277（2004）·Zbl 1077.51505号 ·doi:10.1023/B:JOTH.00008769.58818.6d [25] Pak，I.：离散和多面体几何讲座。http://www.math.ucla.edu/pak/book.htm [26] Pólya，G.，Wiener，N.：关于周期函数导数的振动。事务处理。美国数学。Soc.52（2），249-256（1942）·Zbl 0060.19504号 ·doi:10.2307/1990195 [27] Radko，O.，Tsukerman，E.：四边形的垂直平分线构造、等参点和Simson线。地理论坛。12, 161-189 (2012) ·Zbl 1244.51006号 [28] Schneider，R.：关于凸体的Steiner点。以色列。数学杂志。9, 241-249 (1970) ·Zbl 0208.50402号 ·doi:10.1007/BF02771589 [29] Schneider，R.：《凸体：Brunn Minkowski理论》。数学及其应用百科全书，第151卷，第2版。剑桥大学出版社，剑桥（2014）·Zbl 1287.52001号 [30] 勋伯格，I.J.：有限傅里叶级数和初等几何。美国数学。周一。57(6), 390-404 (1950) ·Zbl 0038.35602号 ·doi:10.2307/2307639 [31] Shephard，G.C.：凸区域Steiner点的唯一性定理。J.隆德。数学。Soc.43（1），439-444（1968）·兹比尔0162.25801 ·doi:10.1112/jlms/s1-43.1.439 [32] Shephard，G.C.：垂直平分线结构。地理。Dedicata 56（1），75-84（1995）·Zbl 0843.51022号 ·doi:10.1007/BF01263614 [33] Steiner，J.：Von dem Krümmungs-Schwerpunte ebener Curven。J.Reine Angew。数学。21（33-63），101-133（1840）·doi:10.1515/crll.184021.101 [34] Tabachnikov，S.：多边形的四顶点定理。美国数学。周一。107(9), 830-833 (2000) ·Zbl 0988.52005号 ·doi:10.2307/2695738 [35] Tsukerman，E.：n维欧几里德和非欧几里得几何中的垂直平分线构造。arXiv:1203.6429（2012）·Zbl 0038.35602号 [36] Ungar，P.：踏板映射的混合特性。美国数学。周一。97(10), 898-900 (1990) ·Zbl 0825.11007号 ·doi:10.2307/2324326 [37] 沃尔特斯，P.：遍历理论导论。数学研究生教材，第79卷。纽约施普林格出版社（1982年）·Zbl 0475.28009号 ·doi:10.1007/978-1-4612-5775-2 [38] 韦格纳，B.：关于平面上分段线性曲线的渐屈线。Rad Hrvat公司。阿卡德。兹南。乌姆杰特。467, 1-16 (1994) ·Zbl 0723.51008号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。