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达里奥·马佐列尼;巴普蒂斯特·特里;博日达尔·维利奇科夫

第二Dirichlet特征值最优集的正则性。 （英语） Zbl 1518.35698号

Ann.Inst.Henri Poincaré，美国安大略省。非利奈尔 39，第3期，529-573（2022）。
这篇有趣的论文致力于研究涉及第二Dirichlet-Laplacian特征值的形状优化问题的最优集的正则性。更准确地说，作者证明了如果（Omega）是形状泛函的极小值\[\马查尔{F}（F）_\兰姆达（欧米茄）：=\Lambda_2（欧米加）+\Lambda|\Omega|\，，\]在固定光滑有界开集（D\subsetq\mathbb{R}^D）的所有子集中，直到一个测度零点，（Omega）是两个不相交开集（Omega_+，Omega_-）的并集，这两个开集是（C^{1，alpha}）-正则的，至多是Hausdorff维数的闭集（可能为空），包含在单相自由边界\（D\cap\partial\Omega_+\setminus\partial \Omega _-\）和\（D\ cap\paratil\Omega_-\setminus \partial/Omega_+\）中。这里，\（\lambda_2（\Omega）\）是\（\Omega）上的第二个Dirichlet-Laplacian特征值，\（\ lambda>0）是一个固定常数。
泛函\（mathcal）的极小元的存在性（在拟开集类中）{F}（F）_\Lambda）由担保[G.布塔佐和G.达尔马索，建筑。定额。机械。分析。122，第2期，183-195（1993年；Zbl 0811.49028号)]然而，人们对最优集的正则性知之甚少。求解了第一Dirichlet特征值模拟极小化问题的最优集的正则性[T.布赖恩松和J.兰博利，Ann.Inst.Henri Poincaré，分析。Non Linéaire 26，No.4，1149–1163（2009年；Zbl 1194.49059号)]，而对高阶特征值可用的唯一正则性结果是[D.克里文佐夫和F.林、Commun。纯应用程序。数学。72，第8期，1678–1721（2019年；Zbl 1430.49044号)]这证明了自由边界充分“平坦”部分的正则性。本文给出了第二Dirichlet特征值正则性问题的一个明确答案。
注意，在本文的第一部分中，作者还对涉及Dirichlet Laplacian特征值的形状优化问题的最优集的文献进行了很好的概述。
审核人：保罗·卢兹尼（帕多瓦）

引用于1文件

MSC公司：

35兰特 偏微分方程的自由边界问题
35J20型 二阶椭圆方程的变分方法
第47页第75页 线性算子的特征值问题
2010年第49季度 优化最小曲面以外的形状
35B65毫米 偏微分方程解的光滑性和正则性

关键词：

形状优化;Dirichlet特征值;自由边界的规则性

引文：

Zbl 0811.49028号;Zbl 1194.49059号;Zbl 1430.49044号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.Mazzoleni}等人，安娜·亨利·彭加雷研究所。Non Linéaire 39，No.3，529--573（2022年；Zbl 1518.35698）
全文： 内政部 arXiv公司

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