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帕特里斯·菲利普;马丁·桑布拉

伯恩斯坦-库什尼伦科估计值的改进。 （英语） Zbl 1155.14037号

高级数学。 218，编号5，1370-1418（2008）.
正在审查的论文的主要目标是方程组\[f_0（\xi）=\点=f_n（\xi）=0\]其中，（f_i）是（n）变量（t1，dots，t_n）中的Laurent多项式，系数为（K[s]\），（K）是代数闭域。作者感兴趣的是这个系统的孤立解的个数（xi，单位为K次（K^*）^n）。经典定理D.编号。伯恩斯坦【Funk.Anal.Prilozh.9，No.3，1-4（1975；Zbl 0328.32001号)]和A.G.公司。库什尼伦科【发明数学32，1-31（1976；Zbl 0328.32007号)]根据与变量（s，t1，dots，t_n）中被视为Laurent多项式的（fi）对应的（n+1）牛顿多边形的混合体积，提供了位于环面（（K^*）^{n+1}）中的孤立点（以重数计算）的数量的上限估计。
作者的目标是改进这一估计。为此，他们引入了与所考虑的系统相关的精细组合不变量。对于上述每一个洛朗多项式（f）和每一个（v在{mathbb P}^1中），它们定义了（f）（位于（{mathbbR}^{n+1}）中）的（v）-自由牛顿多胞体和该多胞体在通常牛顿多胞体内的顶函数（位于）；这种屋顶功能也出现在热带几何学中。此外，对于定义在（{mathbb R}^n）中凸集上的任何（n+1）凹实函数族，他们使用上卷积运算定义了混合积分（这是凸体混合体积的推广，更多细节可以在他们的早期论文中找到[J.Inst.Math.Jussieu 7，No.2，327–373（2008；Zbl 1147.11033号)]).
对于由本原（即在K[s]\）\（fi\）中没有常数因子的系统，本文的主要结果（定理1.2）表明，孤立解的数目（以重数计数）不超过（v）屋顶函数混合积分的全部（v\ in{mathbb P}^1）之和-与\（f_i\）对应的adic-Newton多面体。此外，该估计成为通用洛朗多项式的等式。
这个结果也可以推广到非本原洛朗多项式。此外，将定理1.2作为对射影线上复曲面格式的陈述进行几何考察，使作者能够将其推广到任意光滑射影曲线\（S\）上的复曲面格式（定理1.5），该定理可应用于半贝利变体上的方程组。证明基于《S时间（K^*）^n》中的交集理论，该理论要求对曲线上的复曲面变型进行彻底研究（注意，这些变型早先是由A.L.公司。斯米尔诺夫[圣彼得堡数学杂志第8期，第4期，651–659页（1997年；Zbl 0883.14030号)]).
作者提供了许多具体的例子来说明其结果的强度。特别是，对于每个正整数（k），它们在度（2k）的两个变量（f）和（g）中显示多项式，这两个变量在（k乘以k^*）中正好有一个公共零点。他们的估计预测了公共零点数的值1，而标准和双齐次Bézout定理分别给出了（4k^2）和（8k），Bernštein–Kušnirenko估计给出了值（4k+1）。
审核人：鲍里斯·库尼亚夫斯基（拉马特·甘）

引用于9文件

MSC公司：

14米25 双曲面变体、牛顿多面体、Okounkov体
14C17号 交集理论、特征类、代数几何中的交集多重性
11克50 高度
14G40型 算法种类和方案；阿拉克洛夫理论；高度
52安培99 一般凸性
32A05型 幂级数，多复变量函数的级数

关键词：

多项式方程组;牛顿多面体;上卷积;混合积分;曲线上的复曲面变化;混合度;周重

引文：

Zbl 0328.32001号;Zbl 0328.32007号;Zbl 1147.11033号;Zbl 0883.14030号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{P.Philippon}和\textit{M.Sombra}，高级数学。218，第5号，1370--1418（2008；Zbl 1155.14037）
全文： 内政部 arXiv公司

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