艾伦·凯里;弗里茨·盖斯泰西;加利纳·莱维蒂娜;费多·苏科切夫 谱移函数和Witten指数。 （英语） Zbl 06981831号 Mantoiu，Marius（编辑）等人，光谱理论和数学物理。会议记录，智利圣地亚哥，2014年11月。巴塞尔：Birkhäuser/Springer。操作。理论：高级应用。254, 71-105 (2016). 小结：我们综述了两个算符谱移函数的概念及其与Witten指数联系的最新进展。我们从固定Hilbert空间中谱移函数（xi（cdot；H_2，H_1））在算子对（H_2，H1）的各种假设下的经典定义入手，讨论了它的一些性质。然后，我们提出了一种定义谱移函数的新方法，并讨论了Krein的迹定理。关于整个系列，请参见[Zbl 1354.35004号]. 引用于2文件 MSC公司： 47A53型 （半）Fredholm操作符；指数理论 58J30型 光谱流 47A10号 光谱，分解液 47A40型 线性算子的散射理论 关键词：弗雷德霍姆和维滕指数;光谱位移函数 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Carey}等人，Oper。理论：高级应用。254，71——105（2016年；兹bl 06981831） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [2] 和[60]）。这里的新颖之处在于，当一个人在半有限von Neumann代数（而不仅仅是Hilbert空间上的有界算子代数）的一般性中工作时，该证明也适用。从第3节开始，我们从更现代的角度考察了维滕指数的性质。出于几何考虑，我们引入了一种特殊的“超对称”模型算子。我们在第4节中描述了与指数理论相关的最新结果，这些结果不依赖于假设所研究的算子都具有离散谱。特别是，我们关注两个似乎特别有趣的公式（我们称之为原理跟踪公式和普什尼茨基公式）。这两个公式的推广都是根据最近的结果（已发表和尚未发表的结果）进行描述的。我们在最后一节简要解释了一些新的例子，这些例子为高维例子指明了方向。2.谱移函数1947年，著名物理学家I.M.Lifshitz考虑了算符的扰动H（H）0（由量子力学中晶格模型的哈密顿量产生）V（V）并找到了特征值位移大小的一些公式和定量关系。在他的一篇论文中，谱移函数（SSF），ξ(·;H（H）0+五、 H（H）0），首次出现，并获得了在有限秩扰动情况下的公式。Lifshitz后来继续进行这些研究，并将其应用于计算操作员轨迹的问题φ(H（H）0+V（V）)− φ(H（H）0），其中H（H）0是未扰动的自共轭算子，V（V）是作用于同一希尔伯特空间的自共轭一维摄动H（H）、和φ是一个适当的函数（属于一个相当广泛的类）。他得到了（或者更确切地说，推测出）显著的关系ˆtrH（H）(φ(H（H）0+V（V）)− φ(H（H）0)) =φ(λ)ξ(λ;H（H）0+五、 H（H）0)dλ，（2.1）R，其中函数ξ(·;H（H）0+五、 H（H）0）取决于操作员H（H）0和V（V）只有。Lifshitz处理的物理示例如下：如果H（H）0是描述晶格振荡的算符，那么振荡的自由能可以表示为F类=trH（H）(φ(H（H）0）），对于某些φ在这种情况下，示踪公式使人们能够计算在将外来混合物引入晶体时晶格振荡的自由能的变化。如果想研究晶格模型的连续类比，扰动V（V）通常，不再由单位秩运算符描述。对于此类模型，需要描述适当的扰动类别，以便可以定义光谱偏移函数。在他的论文[43]中，M.G.Krein解决了这个问题。此外，他还描述了广泛的函数类φ其中（2.1）适用。他的方法是基于下一步讨论的扰动行列式的概念。2.1. 扰动行列式LetH（H）是一个复杂的、可分离的Hilbert空间，B类(H（H）)是中所有有界线性算子的代数H（H）配备统一规范·∞然后让B类1(H（H）)成为所有跟踪类操作符的理想选择，配备规范·1.后一种理想，除了携带标准跟踪trH（H）(·)也产生了行列式的概念，它在一维情况下推广了相应的概念。让T型∈B1(H（H）). 对于任何正交基{ω}n个n个∈尼恩H（H）考虑一下N×N矩阵T型N个包含元素δm、 n个+ (TΩ米, ωn个),m、 n个∈1, . . . , N个。则存在以下限制：limdet(我+T型N个)=：检测H（H）(我+T型)N个→∞独立于基础的选择{ω}n个n个∈N（参见[33，第四章]）。功能性检测H（H）(我+·) :B类1(H（H）)→C称为行列式; 它相对于B类1(H（H）)-规范。就特征值而言T型∈B1(H（H）),{λ}k个(T型)k个∈I,I⊆N、 一个适当的索引集，有（detH（H）(我+T型) =(1 +λk个(T型)), k个∈I产品绝对收敛的地方（由于以下事实k个∈I|λk个| < ∞). 我们注意到行列式[33]的以下性质：detH（H）(我+T型∗)=检测H（H）(我+T型),T型∈B1(H（H）),det（探测）H（H）(我+T型1)(我+T型2） =检测H（H）(我+T型1） det（探测）H（H）(我+T型2),T型1，T型2∈B1(H（H）),det（探测）H（H）(我+T型1T型2） =检测H（H）(我+T型2T型1)，T型1，T型2∈B(H（H）)，T型1T型2，T型2T型1∈B1(H（H）).在下面，让H（H）0,H（H）成为自共轭算子H（H）使用dom(H（H）0）=dom(H（H）)，并让V（V）=H（H）−H0.假设电压Rz（z）(H（H）0)∈B1(H（H）),哪里R（右）z（z）(T型)表示运算符的预解式T型也就是说，R（右）z（z）(T型) = (T型−zI)−1.在这些假设下，可以引入扰动行列式Δ(z（z）) = Δ高/高(z（z）)：=检测H（H）(我+电压Rz（z）(H（H）0））0=检测H（H）(H（H）−zI)(H（H）0−zI)−1,我(z（z）)= 0.接下来，我们简要回顾扰动行列式的一些性质。对于自共轭算子H（H）0，H映射z（z）→Δ高/高(z（z）)在两个半平面Im中都是解析的(z（z）)>0和Im(z（z）)<0和Δ高/高(¯z（z）) = Δ高/高0(z（z）),我(z（z）)= 0.0一个有Δ高/高(z（z）)=0（对于Im）(z（z）)= 0. 0此外，由于V（V）∈B1(H（H）)，预解式的标准属性意味着电压RH（H）0(z（z）)1→0作为|我(z（z）)| → ∞,因此，Δ高/高(z（z）)→1作为|我(z（z）)| → ∞.0由于函数Δ高/高0(·)在开放的上半平面和下半平面中是解析的，因为Δ高/高0(z（z）)= 0,我(z（z）)=0，这是复杂分析中的一个标准事实，即存在一个函数G公司(·)在上半平面和下半平面进行分析，以便e（电子）G公司= Δ高/高0.自然，一表示函数G公司通过ln（Δ高/高0). 很明显，函数ln（Δ高/高0）是多值的，在某一点上有不同的值z（z），我(z（z）)=0，减少2πik,k∈Z.自Δ高/高0(z（z）)→1,作为|我(z（z）)| → ∞,一fixes分支函数ln（Δ高/高0）通过要求ln（Δ高/高0(z（z）))→0作为|我(z（z）)| → ∞.2.2. M.G.Krein引起的SSF的构造为了用Krein方法构造光谱位移函数，我们利用函数ln（Δ高/高0(z（z）)), ˆξ(λ;H、 H（H）ln（Δ高/高(z（z）)) =0)dλ,我(z（z）)= 0,（2.2）Rλ−z具有实际价值ξ(·;H、 H（H）0)∈L1（R），其中我1（R）表示R上所有（勒贝格）可积函数的空间。（2.2）的证明依赖于以下复数分析的经典结果。定理2.1（Privalov表示定理）。假设F是全纯的 打开的上半平面。如果我(F类)有界且非负(分别，非- 积极的)如果啜饮年1年|F类(是的)|<∞，则存在非负(分别是， 非阳性)实值函数ξ∈L1（右）这样的话ˆξ(λ)dλR（右）z（z）− λ,我(z（z）)>0. 函数ξ由Stieltjes反演公式唯一确定，1ξ(λ)=极限(F类(λ+iε))对于a.e.λ∈R（右）. πε↓0+接下来，我们概述了Krein第一个定理的证明（见定理2.2）。验证Privalov定理中的假设F类=ln（Δ高/高0），Krein继续如下：•首先，假设排名(V（V）) = 1,也就是说，V（V）=γ(·，小时)h、 h∈h，h= 1, γ∈R.然后Δ高/高(z（z）) = 1 +γ(R（右）H（H）(z（z）)h、 小时).00使用摄动行列式的显式形式，可以证明函数ln（Δ高/高(·))满足了Privalov定理中的所有假设（有关0的详细信息，请参见Yafaev的书[62]）。因此，存在一个函数ξ(λ;H、 H（H）0）满足（2.2），而且，函数ξ(·;H、 H（H）0）可以用形式1表示ξ(λ;H、 H（H）0）=极限Im（ln（Δ高/高(λ+iε))),即。λ∈R（右）.(2.3)πε→+00•假设现在，这个等级(V（V）) =n<∞，也就是说V（V）=γk个(·，小时k个)小时k个,γk个= ¯γk个,小时k个= 1,1 k个。 k个=1表示米 V（V）米=γk个(·，小时k个)小时k个,H（H）米=H（H）0+V（V）米,1米等级(V（V）), k个=1表示差异H（H）米−H米−1是一级操作员。此外，根据行列式的乘法性质，我们得出结论：0米/H（H）米-1(z（z）)).(2.4)米=1将第一步应用于操作员H（H）米，H米−1可以推断出相应的SSF的存在ξ(·;H（H）米，H米−1), 1米等级(V（V）). 设置n个 ξ(λ;H、 H（H）0) =ξ(λ;H（H）米，H米−1),1k个。 米=1有我1（R）-每个的标准估计ξ(·;H（H）米，H米−1） 确保功能ξ(λ;H、 H（H）0）是可积的。此外，因为米，代表米/H（H）米-1） 和ξ(λ;H（H）米，H米−1） 分别从（2.4）和ξ(λ;H、 H（H）0）表示（2.2）和（2.3）也适用于ln（Δ高/高)和ξ(λ;H、 H（H）0). 0•假设现在V（V）是任意跟踪类扰动。让V（V）n个是一系列单位秩运算符，例如电压-伏n个1→0，n→∞.设置ξ(λ;H、 H（H）0) =ξ(λ;H（H）n个，Hn个−1), n个其中，现在的总和是有限的（除非，V（V）是一个单位级别的操作员）。然后，行列式的收敛性质和我1（R）-每个的范数估计ξ(·;H（H）n个，Hn个−1） 意味着这个级数收敛于我1（R）和ln（Δ）的所有期望表示（2.2）和（2.3）高/高0）和ξ(·;H、 H（H）0）保持。以下结果是M.G.Krein的第一个定理。定理2.2（[43]）。让V∈B1(H（H）)是自共轭的。然后是以下代表- 工作站保持：ˆξ(λ;H、 H（H）ln（Δ高/高(z（z）)) =0)dλ,我(z（z）)= 0,R（右）λ−z 哪里1ξ(λ;H、 H（H）0）=极限Im（ln（Δ高/高(λ+iε)))对于a.e.λ∈R（右）,(2.5)πε↓00特别是(2.5)存在于a.e.λ∈R（右）此外，ˆˆ|ξ(λ;H、 H（H）0)|dλV（V）1,ξ(λ;H、 H（H）0)dλ=trH（H）(V（V）).（2.6）右后此外，ξ(λ;H、 H（H）0)k个+(分别为ξ(λ;H、 H（H）0)−k−)对于a.e.λ∈R（右）, 假设扰动V只有k+积极的(分别为k−消极的)特征值。接下来，我们将讨论经过严格验证的跟踪公式，它现在通常被称为Lifshitz–Krein跟踪公式。定理2.3（M.G.Krein的第二个定理）。让V∈B1(H（H）)并假设 （f）∈C1（右）它的导数可以表示ˆ（f）(λ)=经验(−iλt)糖尿病(t吨)，|m|（右）< ∞,R（右）对于有限的(复杂的)测量m。然后[（f）(H（H）)−f(H（H）0)]∈B1(H（H）)，以及以下内容 跟踪公式保持：ˆ土耳其H（H）(（f）(H（H）)−f(H（H）0)) =（f）(λ)ξ(λ;H、 H（H）0)dλ。（2.7）R备注2.4。（i） 从概述的论点中可以清楚地看出，克雷恩的原始证据是基于复杂的分析。稍后将讨论产生“真正的分析证明”的尝试。（ii）功能ξ(·;H、 H（H）0）是的元素我1（R），也就是说，它表示等价类勒贝格可测函数。因此，一般来说，符号ξ(λ;H、 H（H）0）对于fifix没有意义λ∈R.（iii）对于迹类扰动V（V），光谱偏移函数ξ(·;H、 H（H）0）是独特的（iv）Lifshitz–Krein跟踪公式可以以各种方式进行扩展。可以尝试描述函数类（f），该公式适用；然而，我们不讨论这个方向。另一个重要的方向是扩大扰动的种类H（H）−H0.我们将在下面介绍这方面的一些结果。!2.3. 谱位移函数的性质LetH（H）0，H1和H（H）是这样的(H（H）1−H0),(H（H）−H1)∈B1(H（H）). 首先，我们将列出SSF的最简单属性。这些是为a.e准备的。λ∈R我们有ξ(λ;H、 H（H）1) +ξ(λ;H（H）1，H0) =ξ(λ;H、 H（H）0),特别地，ξ(λ;H、 H（H）0) =−ξ(λ;H（H）0，H)还有不平等ξ(·;H、 H（H）0)− ξ(·;H（H）1，H0)1H−H11保持不变。此外，如果H（H）H（H）1，那么ξ(λ;H、 H（H）0)ξ(λ;H（H）1，H0）用于a.e。λ∈接下来，我们描述一些特殊情况，在这些情况下，可以从等价类中选择具体的代表ξ(·;H、 H（H）0），这解释了术语“谱移函数”。SSF的这些属性ξ(·;H、 H（H）0）与运算符的谱相关H（H）0和H（H）关于完整的证明，我们参考[62，Ch.8]（i）让δ是一个区间（可能是无限的），这样δ⊂ ρ(H（H）0)∩ ρ(H（H）). 然后ξ(·;H、 H（H）0）采用常量整数值在δ也就是说，ξ(λ;H、 H（H）0) =编号：，n个∈Z轴, λ ∈ δ.如果间隔δ包含半线，则上的可积条件ξ(·H、H0）表示n个= 0. （ii）出租μ是一个孤立的多重特征值α0<∞属于H（H）0和多重性α对于H（H）.然后ξ(μ+;H、 H（H）0)− ξ(μ−;H、 H（H）0) =α0− α.（2.8）性质（ii）可以推广如下：（iii）假设在某个区间内(一0，b个0）光谱H（H）0是离散的（即H（H）0最多包含以下特征值H（H）第0页，共页有限多重性所有这些都是隔离的，孤立的的点σ(H（H）0)). 然后，根据Weyl关于基本谱不变性的定理（例如，参见[38，定理5.35]），H（H）在中具有离散频谱(一0，b个0）。让δ= (a、 b条)，一个0<a<b<b0.介绍特征值计数 功能N0(δ)和N个(δ)操作员的H（H）0和H（H）分别在间隔中δ作为中特征值的重数之和δ操作员的H（H）分别为0，H（H）.自间隔δ是有限的且两个运算符都是H（H）0，H具有离散频谱，N个0(δ)和N个(δ)数量有限。在这种情况下，一个具有相等性，ξ(b条−;H、 H（H）0)− ξ(一+;H、 H（H）0) =N个0(δ)−牛(δ).（2.9）前述属性特别暗示了以下事实。（iv）出租H（H）0是纯离散谱的非负自共轭算子（即。，σess公司(H（H）0) =∅). 由于扰动V（V）是跟踪类，存在c∈R、 这样的话H（H）c中，也就是说，H（H）也是下半有界的。一般来说，H（H）意志当然不是非负的，所以我们应该期望负特征值H（H）因此，财产（iii）意味着λ <0,ξ(λ−) =−牛(λ、 H（H）),哪里N个(λ、 H（H）)是以下特征值的重数之和H（H）躺在点的左边λ <0。另一方面，以下结果表明我1（R）作为某些算子对的谱移函数出现。（v） 让ξ是任意实值元素我1（右）。然后，存在一对自伴随算子H（H）0，H，因此(H（H）−H0)∈B1(H（H）)和ξ是SSFξ(·;H、 H（H）0）对于配对(H、 H（H）0). 此外，如果为0ξ1，那么有一对H（H）0，H这样的话H（H）−H0是一个正一级运算符[43]，[45]。2.4. 早期的实际分析方法在下文中，我们将讨论构建SSF的其他方法。Birman和Solomyak于[11]首次尝试在不依赖复杂分析的情况下证明SSF的存在。此方法基于操作员系列,H（H）秒=H（H）0+sV、，秒∈[0,1]，H=H（H）1,和他们的光谱测量家族{电子}H（H）(λ)λ∈R.使用窦理论- 秒 ble算子积分同样由这些作者开发的，可以证明对于一类足够大的函数（f），中存在连续导数B类1(H（H）)-算子值函数的范数s→f(H（H）秒)，以双运算符积分形式表示为数据流(H（H）秒)（f）(μ)−f(λ)ds公司右后μ− λ判定元件H（H）秒(μ)电压dEH（H）秒(λ).此外，伯曼和索洛米亚克获得了平等H（H）=（f）(λ)d日信托收据(V E公司H（H）(λ)). ds公司R（右）秒关于以下方面的集成秒然后得出公式ˆtrH（H）(（f）(H（H）)−f(H（H）0)) =（f）(λ)d日ΞH、 H（H）0(λ),R，其中谱平均测量ΞH、 H（H）由0ˆ1Ξ定义H、 H（H）0(X（X）)=tr(V E公司H（H）(X（X）))ds中， 秒0与X（X）⊆R a Borel集合。然而，由于作者未能建立后一个测度相对于勒贝格测度的绝对连续性，因此，试图给出Krein定理2.3的另一种证明是失败的。我们注意到如果其中一个介绍ξ(·;H、 H（H）0）根据Krein定理2.2，然后ˆξ(λ;H、 H（H）0)dλ= ΞH、 H（H）0(X（X）), X（X）对于任何Borel集合X（X）⊆R、 也就是说，度量确实是绝对连续的。第二次尝试提供真正的分析证据是由于沃伊克列斯库 [3] 他的方法是基于经典的Weyl–Berg–von Neumann定理。然而，他的尝试也未能恢复Krein最初结果的全部普遍性。Sinha和Mohapatra引入了另一种尝试，即在不使用络合物分析方法的情况下获得Krein公式的证明[57]。同样，这种尝试并没有产生结果的完全通用性，似乎也不适用于一般的半有限von Neumann代数。2.5. 半有限von Neumann代数的情况非交换几何中的一些问题需要替换代数B类(H（H）)Hilbert空间上所有有界线性算子的H（H）和上的无界运算符H（H）具有一般半有限von Neumann代数M（M）和无界操作员M（M）与半有限von Neumann代数相关的微分算子的一个典型例子出现在Atiyah的上下文中我2-指数定理及其推广。（例如，论文[13]考虑了作用于完备黎曼流形上一维向量丛截面的Dirac型算子的提升情况M（M）盖洛瓦封面）M（M）属于M（M））首次尝试将Krein的结果和方法推广到半有限von Neumann代数领域是在[10]。它广泛遵循了Krein的复杂分析证明。然而，它并没有对一般半有限von Neumann代数的摄动行列式概念进行适当的推广，摄动行列在Krein的证明中起着关键作用。这种困难在[10]中得到了规避 [4] ，并在以下假设下构建(H（H）−H0)∈B2(H（H）)（另见[31]）。关于这一思路的最新发展，请参阅[52]。3.威滕指数算子的威滕指数T型在复可分Hilbert空间中H（H）提供了Fredholm指数的一般化T型在某些情况下，如果操作员T型不再拥有Fredholm财产。Witten指数具有与加性扰动有关的稳定性性质，与Fredholm指数的稳定性性质类似，但比其更具限制性（粗略地说，只允许相对迹类扰动，而不允许相对紧扰动）。在[61]发表之后，这一概念在20世纪80年代与超对称量子理论中的各种例子一起流行起来。近年来，Witten指数很少受到关注的一个原因是，它与几何问题的联系尚不明确（参见[16]，[22]）。这是一件值得进一步调查的事情。更多历史细节，请参阅定理3.3后面的段落。首先，我们回顾Witten指数的定义和一些基本性质。在下一节中，我们将导出某个模型算子的Witten指数的新性质。我们从以下关于预解分歧和半群分歧的迹类属性的事实开始。然后，对于预解算子和半群可比算子（参见下面的（ii）项），以下是众所周知的标准断言：命题3.1。假设0S公司j个，j= 1,2，是非负的自共轭运算- 中的ators小时。（i）如果(S公司2−z0)−1−(S公司1−z0)−1∈B1(H（H）)对于一些z0∈ ρ(S公司1)∩ ρ(S公司2)，然后 事实上，(S公司2−z)−1−(S公司1−z)−1∈B1(H（H）)为所有人z∈ρ(S公司1)∩ ρ(S公司2).（ii）如果e（电子）−吨0S公司2−e−吨0S公司1∈B1(H（H）)对于一些t0>0，然后 e（电子）−t秒2−e−t秒1∈B1(H（H）)为所有人t吨t吨0.上述事实允许我们考虑以下两个定义。让T型在H（H）假设对某些人（因此对所有人）而言z（z）∈C}[0, ∞)⊆ ρ(T型∗T型)∩ ρ(T T型∗), (T型∗T型−z)−1−(T T型∗−z)−1∈B1(H（H）).然后引入预解正则化Δ第页(T，λ) = (−λ)tr公司H（H）(T型∗T型− λ)−1−(T T型∗− λ)−1,λ <0. 预解式正则Witten指数W第页(T型)第页，共页T型然后由定义W公司第页(T型)=极限Δ第页(T，λ), λ↑存在此限制时为0。类似地，假设对于某些t吨0>0e（电子）−吨0T型∗T型−e−吨0T T型∗∈B1(H（H）).然后e（电子）−吨∗T型−e−tT温度∗∈B1(H（H）)为所有人t>t0和1引入了半群正则化Δ秒(吨)=trH（H）e（电子）−吨∗T型−e−tT温度∗,t>时间>0. 半群正则化Witten指数W秒(T型)第页，共页T型然后由定义W公司秒(T型)=极限Δ秒(吨), t吨↑∞只要存在此限制。有人回忆说，一个定义密集且封闭的操作员T型在希尔伯特空间H（H）据说是弗雷德霍姆如果运行(T型)关闭且昏暗（ker(T型))+尺寸（ker(T型∗))<∞在这种情况下弗雷德霍姆指数印度(T型)：=尺寸（k(T型))−dim（克尔(T型∗)). 在[15]和[32]中获得的以下结果表明，在Fredholm算子的特殊情况下，（预解和半群）正则化Witten指数与Fredhol姆指数一致。定理3.2。让T成为(无界的)H中的Fredholm算子。假设(T型∗T型−z)−1−(T T型∗−z)−1,e（电子）−吨0T型∗T型−电子−吨0T T型∗∈B1(H（H）)对于某些z∈C}[0, ∞), 和t0>0.然后印度(T型) =W公司第页(T型) =W公司秒(T型).一般而言（即，如果T型不是Fredholm），W公司第页(T型)（分别为，W公司秒(T型))不一定是整值的；事实上，它可以是任何实数。作为一个具体的例子，我们提到了Aharonov和Casher[1]讨论的二维磁场系统，它证明了预解式和半群正则化Witten指数具有（非量子化）磁流的意义F类∈R可以是任何规定的实数。表示Witten指数W公司秒(T型)（分别为，W公司第页(T型))操作员的T型根据谱移函数ξ(·;T型∗T，T T∗)当然，需要选择SSF的具体代表：定理3.3（[15,32]）。（i）假设 e（电子）−吨0T型∗T型−e−吨0T T型∗∈B1(H（H）)，吨0>0和SSFξ(·;T型∗T，T T∗), 由要求ξ唯一定义(λ;T型∗T，T T∗) = 0, λ <0，是连续的 在λ处从上方= 0.然后半群正则化了Witten指数W秒(T型)属于 T存在并且 W公司秒(T型) =−ξ(0+;T型∗T，T T∗).（ii）假设(T型∗T型−z)−1−(T T型∗−z)−1，z∈C}[0,∞)和ξ(·;T型∗T，T T∗), 由要求ξ唯一定义(λ;T型∗T，T T∗) = 0, λ <0，有界 和分段连续R（右）.然后预解式正则化Witten指数 W公司秒(T型)存在T的 W公司第页(T型) =−ξ(0+;T型∗T，T T∗).不一定是Fredholm算子的指数理论与Lifshitz–Krein谱移函数之间的第一个关系在[15]、[29]中建立， [5] ，并独立于[25]。事实上，受Callias[20]关于非紧流形的指数计算的启发，我们研究了Witten指数的更一般的概念，并用[15]和[32]中适当的零谱移函数的值进行了识别（另请参见[29]，[59，Ch.5]）。[25]中，基于主函数及其与Krein谱移函数的联系，在略微不同的方向上对非Fredholm算子的指数理论进行了类似的研究。卡利亚斯的指数计算引起了相当大的兴趣，尤其是在超对称量子力学的某些方面。由于本文中的详细参考文献列表超出了本文的范围，因此我们仅提及[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[12]、[17]、[19]、[27]、[28]、[35]、[36]、[37]、[41]、[42]、[49]， [6] ，[59，Ch.5]以及其中引用的参考文献的详细列表。虽然[15]和[29]关注的是具体的一维和二维超对称系统的指数定理（特别是迹公式（3.4）和函数克z（z）(·)在[15]和[29]中讨论了（3.3）中的特殊情况，其中H（H）=C），[32]根据谱位移函数处理了抽象Fredholm和Witten指数，并证明了它们对于适当的扰动类的不变性。不久之后，在[16]（另见[18]，[46，Chs.IX，X]，[47]）中发展了一种涉及谱移函数的超对称散射理论的一般抽象方法，并应用于流形欧几里德函数背景下的相关指数定理。示例3.4.作为抽象结果的实际使用示例，[15]考虑了运算符d日 T型=+M（M）θ,dom公司(T型) =W公司2,1（右）, 数据传输时间作用于标准希尔伯特空间我2（R）。在这里W公司2,1（R）是Sobolev空间，M（M）θ是有界函数的乘法运算符θ打开R。假设渐近极限的存在t吨→±∞θ(t吨) =θ±∈R（右）,和一些附加条件θ，如[15]所示，对于预解正则化，我们得到Δ第页(T，λ) = (−λ)tr公司H（H）(T型∗T型− λ)−1−(T T型∗− λ)−1 =θ+(θ2+− λ)−1/2+θ−(θ2−− λ)−1/2 *2,λ∈C}[0, ∞),（3.1），因此，W公司第页(T型)=[sgn(θ+)−sgn公司(θ−)]/2.接下来，我们查看操作员T型在前面的示例中，作为表单的运算符T型=D类A类=数据传输时间d日+A类关于希尔伯特空间我2（R；C），其中A类是由运算符系列生成的运算符{答}(t吨)t吨∈Ron the Hilbert spaceC，与A类(t吨)乘以θ(t吨),t吨∈R.本次调查的主要目的是考虑家庭{答}(t吨) 由作用于任意复数可分离初始希尔伯特空间的算子组成H（H），以及生成的运算符D类A类=数据传输时间d日+A类作用于希尔伯特空间我2（R；H（H）). 此表单的操作员D类A类与Dirac型算子（紧流形和非紧流形上）、Maslov指数、Morse理论（指数）、Floer同调、缠绕数、Sturm振荡理论、动力系统等有关（参见[30]和其中的大量参考文献）。迄今为止，需要对家庭施加强有力的条件A类(t吨)为了获得的预解式和半群Witten指数D类A类并用渐近线的谱移函数表示A类±家庭的A类(t吨)作为t吨→ ±∞以下是主要假设，在该假设下证明了以下结果。假设3.5。（i）假设H是一个复杂的、可分离的希尔伯特空间。（ii）假设A−是上的自共轭运算符dom公司(A类−)⊆H。（iii）假设存在一类有界自共轭算子B(t吨)，吨∈R（右）带有t→B(t吨)上的弱局部绝对连续R（右）意味着存在- 有界自共轭算子族的tence{乙}(t吨)t吨∈R（右）在里面H这样 用于a.e.t∈R（右）, d日(g、 B类(t吨)小时)H（H）= (g、 B类(t吨)小时)H（H）,g、 小时∈H。 数据传输时间（iv）假设家庭{乙}(t吨)是A−-相对跟踪类也就是说，假设 B(t吨)(|一个−|+ 1)−1∈B1(H（H）)，t∈R（右）。此外，我们假设ˆ数据传输时间B类(t吨)(|一个−|+ 1)−1<∞.R（右）B类1(H（H）)备注3.6。（i） 我们注意到，事实上，当操作员B类(t吨)，吨∈R（右）,允许无界和族的一些附加可测条件{乙}(t吨)，{B}(t吨) 都是强加的。（ii）上述假设（iv），运营商B类(t吨)，吨∈R（右）,是相对轨迹类，即，B类(t吨)(|一个−|+ 1)−1∈B1(H（H）)，是主要假设，这意味着下面有各种跟踪关系。在第5节中，我们将讨论一个示例，其中我们用相对希尔伯特-施密特类假设替换相对迹类假设。!从这一点上，我们假设假设3.5。3.1. 操作员的定义D类A类我们介绍了自共轭算子族{答}(t吨)t吨∈Rin公司H（H）通过A类(t吨) =A类−+B类(t吨),dom公司(A类(t吨))=多姆(A类−)，吨∈R（右）.假设3.5确保了渐近线A+作为t吨→ ∞在常态意义上，dom(A类+)=dom(A类−)，使用A类+自共轭输入H（H），这是(A类(t吨)−z)−1−(A类+−z)−1= 0. t吨→+∞B类(H（H）)让A类在里面我2（R；H（H）)是与该系列关联的操作员{答}(t吨)t吨∈R英寸H（H）由(阿富汗)(t吨) =A类(t吨)（f）(t吨)对于a.e。t∈R、（f）∈dom公司(A类) =克∈L2（R；H（H）)克(t吨)∈dom公司(A类(t吨))对于a.e。t∈R（右）,ˆt吨→A(t吨)克(t吨)是（弱）可测量的，数据传输时间A类(t吨)克(t吨)2H（H）<∞.R我们还定义了操作符d/dt英寸我2（R；H（H）)通过设置d（f）(t吨) =（f）(t吨)a.电子。t吨∈R、，f∈dom（d/dt）=W公司2,1（R；H（H）),dt，其中W公司1,2（R；H（H）)表示通常的Sobolev空间我2（R；H（H）)-中具有第一分布导数的函数我2（R；H（H）). 现在，我们介绍操作员D类A类在里面我2（R；H（H）)通过设置d+A、，dom公司(D类数据传输时间A类)=dom（d/dt）∩dom公司(A类).（3.2）提议3.7。 [7] 假设3.5然后操作员DA类密度很高 L中定义和闭合2（R；H（H）)和伴随D∗A类第页，共页A类单位：L2（R；H（H）)由提供 D类∗A类=−d日+A、，dom公司(D类∗数据传输时间A类)=dom(D类A类).3.2. 主迹公式下列结果涉及正算子预解式差异的迹|D类A类|2和|D类∗A类|2英寸我2（R；H（H）)以及差异的痕迹克z（z）(A类+)和克z（z）(A类−)英寸H（H），其中克z（z）(x个) =x个(x个2−z)−1/2,x个∈R（右），z∈C}[0, ∞).（3.3）定理3.8。假设3.5.然后， |D类∗A类|2−z−1−|D类A类|2−z−1∈B1我2（R；H（H）),z（z）∈ ρ(|D类A类|2)∩ ρ(|D类∗A类|2),[克z（z）(A类+)−克z（z）(A类−)]∈B1(H（H）)，z∈ρA类2+∩ ρA类2−, 下面的主要跟踪公式适用于所有z∈C}[0, ∞),信托收据我2（R；H（H）)|D类∗A类|2−z−1−|D类A类|2−z−1=1吨2z（z）H（H）克z（z）(A类+)−克z（z）(A类−).（3.4）备注3.9。（i） Pushnitski[54]是第一个进行调查的人，在更严格的假设下，运营商B类(t吨)是跟踪类，这类跟踪公式。在我们更一般的相对迹类扰动设置中，这个公式是在[30]中通过方程两侧的近似技术和非平凡DOI技术获得的。（ii）利用散射理论中的基本概念和Fredholm行列式的Jost–Pais型约化，最近的一篇论文[23]提供了迹类扰动情况下主迹公式的新证明。（iii）如果H（H）=C，对于D.Bolle考虑的示例，主轨迹公式得出（3.1）等人。对于φ±=±1!3.3. 普什尼茨基公式关联两个SSF手头有主跟踪公式，我们现在的目标是关联基础SSF，ξ(·;|D类∗A类|2,|D类A类|2） 和ξ(·;A类+，A−).首先，我们需要正确介绍SSFξ·;|D类∗A类|2,|D类A类|2与一对正算子相关|D类∗A类|2和|D类A类|2.根据定理3.8，我们有+，|D类∗A类|2−z−1−|D类A类|2−z−1∈B1我2（R；H（H）),因此，可以独特地介绍ξ·;|D类∗A类|2,|D类A类|2通过要求ξλ;|D类∗A类|2,|D类A类|2= 0,λ <0,然后获得ˆtr我2（R；H（H）)|D类∗A类|2−z−1−|D类A类|2−z−1=−ξλ;|D类∗A类|2,|D类A类|2dλ,[0,∞)(λ−z)2个代表所有人z（z）∈C}[0, ∞)（见第2.6节）。我们将介绍与该对相关的光谱偏移函数(A类+，A−)通过不变性原理（见第2.6节）。根据定理3.8[克−1(A类+)− 克−1(A类−)]∈B1(H（H）)因此可以定义SSFξ(·;A类+，A−)对于这一对(A类+，A−)通过设置ξ(ν;A类+，A−) :=ξ(克−1(ν);克−1(A类+)，克−1(A类−)),ν∈R（右）,哪里ξ(·;克−1(A类+)，克−1(A类−))是与该对相关联的光谱偏移函数(克−1(A类+)，克−1(A类−))由需求唯一确定ξ(·;克−1(A类+)，克−1(A类−))∈L1（R；dΩ).因此，根据Lifshitz–Krein跟踪公式（2.7），ˆtrH（H）克z（z）(A类+)−克z（z）(A类−)=−zξ(ν;A类+，A−)dν,z（z）∈C}[0, ∞).R（右）(ν2−z)3/2由主迹公式得到等式ˆξλ;|D类∗A类|2,|D类A类|2dλ[0,∞)(λ−z)−2 =−信托收据我2（R；H（H）)|D类∗A类|2−z I−1−|D类A类|2−z I−1 =−1吨H（H）克2z（z）ˆz（z）(A类+)−克z（z）(A类−) 1ξ(ν;A类+，A−)dν2R型(ν2−z)3/2,z（z）∈C}[0, ∞),或者，等价地，ˆd日 ξλ;|D类∗A类|2,|D类A类|2(λ−z)−1dλ[0,∞)第纳尔ˆd日=ξ(ν;A类+，A−)(ν2−z)−1/2dν。R（右）第纳尔将前面的等式与z（z）从固定点z（z）0∈(−∞,0）至z（z）∈C}R、 沿直线连接z（z）0和z（z），产量ˆ1ξλ;|D类∗A类|2,|D类A类|2−1 [0,∞)λ−zλ−z0dλˆ =ξ(ν;A类+，A−)(ν2−z)−1/2−(ν2−z0)−1/2dν，z（z）∈C}[0, ∞).R应用Stieltjes反演公式可以表示SSF函数ξ·;|D类∗A类|2,|D类A类|2在以下方面ξ(·;A类+，A−)如下，ˆξλ;|D类∗A类|2,|D类A类|2=极限1ξλ;|D类∗ ε↓0π[0,∞)A类|2,|D类A类|200万((λ− λ)−iε)−1dλˆ=极限ξ(ν;A类+，A−)我(ν2−λ−iε)−1/2dν ε↓0πRˆλ1/2 1ξ(ν;A类+，A−)dν π−λ1/2(λ− ν2)1/2代表a.e。λ >在这里的最后一个等式中，为了应用勒贝格的支配收敛定理，应该注意各种估计。我们省略了更多细节，请参阅[30]。把所有这些放在一起，我们有以下非凡的公式，它表示SSF，ξ·;|D类∗A类|2,|D类A类|2，就SSF而言ξ(·; ;A类+，A−). 正是这个公式允许我们表达算子的（Fredholm/Witten）指数D类A类根据谱移函数ξ(·;A类+，A−). 请注意，此公式可以视为Abel类型转换。定理3.10（普什尼茨基公式）。假设3.5并定义规范- tral移位函数ξ·;|D类∗A类|2,|D类A类|2和ξ(·;A类+，A−)同上。那么，对于 即λ>0,ˆλ1/2ξλ;|D类∗A类|2,|D类A类|2=1ξ(ν;A类+，A−)dν, π−λ1/2(λ− ν2)1/2右手边有收敛的勒贝格积分。对于迹类扰动，最初获得了这种公式B类(t吨)由Pushnitski[54]和在上文[30]中所述的一般性中提出。3.4. Fredholm案例为了研究算子的Witten指数D类A类我们首先需要了解，在哪些附加假设下，这个操作符是Fredholm，这当然是更简单的情况。以下结果为后者提供了必要和充分的条件。定理3.11（[24，定理2.6]）。假设3.5然后是操作员 D类A类Fredholm是当且仅当0∈ ρ(A类+)∩ ρ(A类−) (即A±都是有界的 可逆的).事实上，这个定理对D类A类在这里，我们定义了密集定义的闭合线性算子的基本谱T型在复杂的、可分离的希尔伯特空间中H（H）作为σess公司(T型) ={λ∈}C|(T−λIH（H）)不是弗雷德霍姆（但要提醒读者，非自伴算子的基本谱存在几个不相等但有意义的定义，参见例如[26，Ch.IX]）。推论3.12.[24，推论2.8]假设3.5.然后， σess公司(D类A类) = (σ(A类+) +我R）∪(σ(A类−) +我R）.根据定理3.11，当运算符D类A类是Fredholm吗，我们有0∈ ρ(A类+)∩ ρ(A类−). 因此，根据推论3.12，|D类A类|2和|D类∗A类|在接近零的基本光谱中有一个缺口，即存在一个a>0，这样σ字母S|D类A类|2=σ字母S|D类∗A类|2⊂[a、 ∞).这意味着，在间隔[0，一个)、操作员|D类A类|2和|D类∗A类|2具有离散光谱。因此，使用离散谱的谱移函数特性（参见2.3小节中的特性（iii））可以推断出ξλ;|D类∗A类|2,|D类A类|2=ξ(0+;|D类∗A类|2,|D类A类|2),λ∈(0, λ0),对于λ0<inf公司(σess公司(|D类A类|2） ）=inf(σess公司(|D类∗A类|2)). 另一方面，由于0∈ ρ(A类+)∩ ρ(A类−)，存在一个常量c（c）∈R，这样ξ(·;A类+，A−) =c（c）a.e.关于区间(−ν0, ν0）用于0< ν0足够小（参见第2.3小节中的属性（i））。因此，该值ξ(0;A类+，A−)定义明确ξ(ν;A类+，A−) =ξ(0;A类+，A−),ν∈(−ν0, ν0),特别是limν→0ξ(ν;A类+，A−) =ξ(0;A类+，A−). 因此，采取λ↓普什尼茨基公式1中的0推断ξ(0+;|D类∗A类|2,|D类A类|2） =极限ξ(λ;|D类∗ λ↓0A类|2,|D类A类|2) ˆλ1/2 1ξ(ν;A类+，A−)dν λ↓0+π−λ1/2(λ− ν2)1/2=极限ν→0ξ(ν;A类+，A−) =ξ(0;A类+，A−) ´λ1/2−λ1/2dν(λ− ν2)−1/2=1代表所有λ >0。因此，我们获得了以下链接Fredholm指数的结果D类A类和SSF值ξ(·;A类+，A−)为零。定理3.13（[30]）。假设3.5并介绍SSFξ(·;A类+，A−)和ξ·;|D类∗A类|2,|D类A类|2同上。此外，假设0∈ ρ(A类+)∩ρ(A类−).然后 D类A类是L的Fredholm操作员2（R；H（H）)和 W公司第页(D类A类)=索引(D类A类) =ξ0+;|D类∗A类|2,|D类A类|2=ξ(0;A类+，A−).（3.5）我们强调假设0∈ ρ(A类+)∩ ρ(A类−)在算子的Fredholm指数公式（3.5）中至关重要D类A类。这种假设使我们能够定义SSF的值ξ(·;A类+，A−)为零。一般来说，SSFξ(·;A类+，A−)定义为中的元素我1R；(|ν|+ 1)−3（函数类的空间），因此在固定的点上谈论其价值是没有意义的。3.5. 光谱流的联系在Atiyah–Patodi–Singer的原始文章中首次提出了光谱流与Fredholm指数之间的关系[7]。在[55]中，基本上使用了我们上面描述的模型算子形式，对具有紧预解式的某些自共轭无界算子族的问题进行了定义性处理。对于非紧流形上的偏微分算子，它们通常具有一些基本谱，因此[55]不适用。这促使了[54]和[30]中的调查。这些论文的第一部分介绍了新的方法和思想，将指数/光谱流与散射理论和光谱位移函数联系起来。然而，[54]中规定的条件太过严格，不允许出现广泛的例子。如前所述，[30]中引入了新工具。这些问题的更详细历史也可以在[23]中找到，其中还包含使用上述模型算子形式的某些非Fredholm算子的指数理论的结果。[30]的主要目的之一是以允许基本光谱的方式扩展[55]中的结果（尽管受相对迹类扰动条件的影响）。这激发了我们对将这些新方法应用于非紧流形上Dirac型算子问题的兴趣。然而，在这种情况下（即使在一维情况下），相对轨迹类扰动假设不满足，这就存在一个困难。在本综述的最后一节中，我们将通过一类示例来解决这一难题。谱流通常是根据测量Fredholm算子单参数族特征值的净数量来讨论的，这些算子在沿着路径移动时会改变符号。事实上，我们需要一个更精确的定义，并使用菲利普斯[51]的定义。考虑标准连续路径F类t吨,t吨∈[0; 1],有界自共轭Fredholm算子的连接F类1和F类0.对于每个t吨，我们让对t吨是的光谱投影F类t吨对应于非负实。然后我们可以写F类t吨= (2对t吨−1)|F类t吨|菲利普斯指出，如果将路径细分为较小的间隔[t吨j个，吨j个+1] 这样的话对t吨和对t吨j个+1在卡尔金代数中是“相近的”，然后它们形成一个弗雷德霍姆j个对（即。，对t吨对t吨是ran的Fredholm接线员(对t吨)跑了(对t吨))和j个j个+1j个+1j个光谱流{F}（F）t吨t吨∈[0,1] 由ind定义(对t吨对t吨：已运行(对t吨)→跑(对t吨)). j个j个j个+1j个+1j个现在，我们将陈述[30]关于沿路径的光谱流之间的连接的主要结果{答}(t吨)t吨∈R具有谱移函数和模型算子的Fredholm指数D类A类之前介绍过。然而，首先我们需要一些初步观察。首先，我们注意到谱流沿着无界算子的路径流动{答}(t吨)t吨∈根据有界变换的流量来定义RisF类t吨=A类(t吨)(我+A类(t吨)2)−1/2t吨∈Rusing Phillips的上述定义。接下来，我们注意到，M¨uller[48]首先注意到光谱位移函数与光谱流的讨论相关，并于2007年以系统的方式对其进行了解释 [8] 结果表明，在保证两者定义良好的非常一般的条件下，光谱位移函数和光谱流是相同的概念。这里开发的主要技术工具是二重算子积分理论。[30]中的新成分是一个公式，它将光谱流量与光谱位移函数和Fredholm指数联系起来。该公式的应用与路径中的算子是否具有非平凡本质谱无关。更准确地说，Fredholm算子家族的光谱流{答}(t吨)t吨∈R与操作员的Fredholm指数值一致D类A类和SSF值，ξ(·;A类+，A−)，计算值为零。定理3.14（[30]）。假设3.5假设是这样0∈ ρ(A类+)∩ρ(A类−). 然后E类A类+((−∞,0))，EA类−((−∞,0))形成一对Fredholm和以下 等式成立：SpFlow公司({答}(t吨)∞t吨=−∞)=索引(E类A类(−∞,0)，E −A类+(−∞,0）=trH（H）(E类A类−(−∞,0)−EA类+(−∞,0)) =ξ(0;A类+，A−) =ξ(0+;H（H）2，H1） =索引(D类A类).4.Witten指数：新结果在前一节中，我们讨论了Witten指标的概念及其与Fredholm指数以及谱移函数的关系。正如我们从定理3.11中已经知道的那样D类A类Fredholm是当且仅当0∈ ρ(A类+)∩ ρ(A类−)，即操作员A类±都是有界可逆的。此外，如果0∈ ρ(A类+)∩ ρ(A类−)，则Fredholm指数可以计算为ind(D类A类) =ξ(0;A类+，A−).这里，假设0∈ ρ(A类+)∩ ρ(A类−)至关重要，因为在这种情况下，存在0< ν∈R、 这样的话ξ(·;A类+，A−)在间隔上是常量(−ν, ν)这样人们就可以谈论SSF的价值，ξ(·;A类+，A−)，为零。因此，一个重要的问题是研究算子指数理论的推广D类A类当后者不再是弗雷德霍姆时。在本例中为0∈ σ(A类+),或0∈ σ(A类−)因此，SSFξ(·;A类+，A−)不是常量通常，在任何间隔(−ν, ν), ν >0.计算Witten指数的方法W公司第页(D类A类)（分别为。，W公司秒(D类A类))[24]中的建议依赖于谱移函数的左右Lebesgue点的使用。我们首先简要回顾一下这个概念。定义4.1.Let（f）是R上的局部可积函数，且小时>0.（i）要点x个∈R称为的右勒贝格点（f）如果存在α+∈C这样ˆx个+小时1限制第y天|（f）(年)− α+|= 0. 小时↓0小时x个我们写作α+=（f）我(x个+). （ii）要点x个∈R被称为的左Lebesgue点（f）如果存在α−∈C这样ˆ1x个林第y天|（f）(年)− α−|= 0. 小时↓0小时x个−小时我们写作α−=（f）我(x个−). （iii）要点x个∈R被称为勒贝格点（f）如果存在α ∈C这样ˆx个+小时1限制第y天|（f）(年)− α|= 0. 小时↓02小时x个−小时我们写作α=（f）我(x个). 那就是，x个∈R是的勒贝格点（f）当且仅当它是左右Lebesgue点α+=α−=α我们注意到勒贝格点的定义（f）并非普遍采用。例如，[34，p.278]定义了x个0成为勒贝格点（f）如果ˆ小时1限制第y天|（f）(x个+年) +（f）(x个0−年)−2（f）(x个)|= 0.(4.1)小时↓0小时0基本示例,x个<0,⎪⎩β,x个= 0,β∈C,1,x>0,说明了这一点（f）我(0+;β)=1和（f）我(0−;β)=0，即，x个0=0是的左右Lebesgue点（f）(·;β)在定义4.1的意义上，但不存在β∈C这样（f）(·;β)满意度（4.1）x个0= 0. 下面我们在定义4.1的意义上使用了函数的左右Lebesgue点。4.1. SSF的勒贝格点之间的连接，ξ(·;A类+，A−)和ξ·;|D类∗A类|2，|DA类|2与Fredholm案例一样，计算Witten指数的主要成分是Pushnitski公式（见定理3.10）：ˆλ1/2ξλ;|D类∗A类|2,|D类A类|2=1ξ(ν;A类+，A−)dν. π−λ1/2(λ− ν2)1/2我们可以把这个公式改写如下：ˆλ1/2ξλ;|D类∗A类|2,|D类A类|2=1dν[ξ(ν;A类+，A−) +ξ(−ν;A类+，A−)],λ >0, π0(λ− ν2)1/2并考虑操作员S公司，通过设置⎧⎨定义我1个位置（R；dν)→ 我1loc（（0,∞);dλ),⎩（f）→1´λ1/2dν(λ− ν2)−1/2（f）(ν),λ >0,(4.2)π0然后我们得到了运算符的以下结果S公司：引理4.2（[24，引理4.1]）。如果0是f的右Lebesgue点∈L1个位置（R；dν), 那么这也是Sf和(Sf公司)我(0+) =12（f）我(0+).因此，假设0是ξ(·;A类+，A−)，这个引理在特定函数中的应用（f）(ν) =ξ(ν;A类+，A−) +ξ(−ν;A类+，A−), ν >0，表示0是的右Lebesgue点ξ·;|D类∗A类|2,|D类A类|2和ξ我0+;|D类∗A类|2,|D类A类|2引理4.2=[ξ我(0+;A类+，A−) +ξ我(0−;A类+，A−)]/2.（4.3）因此，在这种情况下，当0∈ σ(A类+)（或σ(A类−))，我们仍然可以关联函数零处的值ξ(·;A类+，A−)和ξ·;|D类∗A类|2,|D类A类|2（在勒贝格点意义上）。4.2. 计算算子的Witten指数D类A类根据主迹公式、定理3.8和Lifshitz–Krein迹公式，以下等式成立，ˆz（z）信托收据我2（R；H（H）)|D类∗A类|2−z I−1−|D类A类|2−z I−1=−z（z）ξ(ν;A类+，A−)dν,（4.4）2R(ν2−z)3/2个代表所有人z（z）∈C}[0, ∞).回顾预解式正则化Witten指数W公司第页(D类A类)是LHS的极限z（z）→0，z<0，我们可以通过将RHS的极限作为z（z）→0，z<0.为此，我们考虑通过设置定义的运算符T我1R；(1 +ν2)−三/2dν→孔（C}[0, ∞))T：右dν(ν2−z)−三/2（f）(ν),z（z）∈C}[0, ∞),其中孔（C}[0, ∞))表示C上所有全纯函数的集合}[0, ∞).引理4.3（[24]）。如果0是f的左右Lebesgue点∈L1R；(1 +ν2)−三/2dν，然后极限（T（f）)(z（z）) =（f）我(0+) +（f）我(0−).(4.5)z（z）↑0因此，将此引理应用于函数ξ(·;A类+，A−)在（4.4）的右边，我们得到了等式W公司第页(D类A类)=极限z（z）信托收据我2（R；H（H）)|D类∗A类|2−z I−1−|D类A类|2−z I−1z（z）↑0°=极限−z（z）ξ(ν;A类+，A−)dν z（z）↑02R（02R）(ν2−z)3/引理4.3=lim（Tξ(·;A类+，A−))(z（z）)=[ξ我(0+) +ξ我(0−)]/2.2z（z）↑现在，我们来计算半群正则Witten指数W公司秒(D类A类). 为此，我们建立了以下定理4.4（[24]）。如果0是ξ的右勒贝格点·;|D类∗A类|2,|D类A类|2，然后限制（limtr）我2（R；H（H）)e（电子）−z | D∗A类|2−e−z | DA类|2=ξ我0+;|D类∗A类|2,|D类A类|2, z（z）→∞,z（z）>0关于z一致。因此，如果0是ξ(·;A类+，A−)，然后将该定理与等式（4.3）结合，我们得到W公司秒(D类A类) =ξ我0+;|D类∗A类|2,|D类A类|2引理4.2=[ξ我(0+) +ξ我(0−)]/2.定理4.5（[24，定理4.3]）。假设3.5假设是这样0是一个 ξ的右勒贝格点和左勒贝格点(·;A类+，A−).然后0是正确的勒贝格点 ξ的·;|D类∗A类|2,|D类A类|2和 ξ我0+;|D类∗A类|2,|D类A类|2= [ξ我(0+;A类+，A−) +ξ我(0−;A类+，A−)]/2. 和 W公司第页(D类A类) = [ξ我(0+;A类+，A−) +ξ我(0−;A类+，A−)]/2 =W公司秒(D类A类).我们强调，定理4.5包含定理3.13作为一个特例。实际上，假设操作员D类A类是Fredholm，也就是渐近线A类±是有界可逆的。在这种情况下，0是ξ(·;A类+，A−)和[ξ我(0+;A类+，A−) +ξ我(0−;A类+，A−)]/2 =ξ(0;A类+，A−). 在下一小节中，我们将讨论0可能属于算符谱的情况A类+和A类−如前所述，Witten指数通常可以是任何规定的实数。接下来，我们证明这也适用于模型算子的Witten指数的特殊情况D类A类下面是一个简单的具体示例：考虑A类±∈B(H（H）)带有[A类+− A类−]∈B1(H（H）)，并介绍家人A类(t吨) =A类−+e（电子）t吨(e（电子）t吨+ 1)−1[A类+−A−],t吨∈R（右）,满足假设3.5。此外，由于任何可积函数ξ∈L1（R；数据传输时间)紧支撑的出现是一对有界自伴算子的谱移函数(A类+，A−)英寸H（H）带有[A类+−A−]∈B1(H（H）)，定理4.5意味着W公司第页(D类A类) =W公司秒(D类A类) =ξ我(0;A类+，A−)=任何规定的实数。4.3. 的光谱A类±和勒贝格点ξ(·;A类+，A−)我们从更简单的情况开始，其中A类±在0的开放邻域中具有离散谱。这是我们的假设，对于一些ν >0，间隔(−ν, ν)只包含的特征值A类±属于有限多重性，其中包括孤立点在里面σ(A类±). 以下备注很容易从SSF的属性中得出（参见第2.3小节，属性（iii））。备注4.6.IfA类±在0的开放邻域中具有离散谱，则SSFξ(·;A类+，A−)在这个开放邻域的任何点上都有一个左右极限，特别是在那个开放邻域中的任何点都是一个左右Lebesgue点ξ(·;A类+，A−).!相反，在纯绝对连续谱的存在下A类±在0附近，情况更为复杂。提议4.7（[24，提议4.6]）。存在有界自共轭对 操作员(A类+，A−)在里面H这样(A类+−A−)为一级，A±两者都有 固定邻域中的纯绝对连续谱(−ε0, ε0)，对于一些 ε0>0但ξ(·;A类+，A−)可能有也可能没有右边和/或左边的勒贝格 指向0.4.4. Witten指数D类A类在特殊情况下(H（H）)< ∞我们轻而易举地处理特殊的一维案例，暗淡(H（H）)< ∞，并显式计算D类A类毫不怀疑地是否D类A类是Fredholm的接线员吗我2（R；H（H）). 在这种特殊情况下，假设3.5的形式要简单得多A类−∈B(H（H）)是中的自共轭矩阵H（H），（4.6），并且存在一类有界自共轭矩阵{答}(t吨)t吨∈R、 局部绝对连续onR，这样ˆ数据传输时间A类(t吨)<∞.（4.7）RB类(H（H）)在下文中，我们表示为#>(S公司)（分别#<(S公司))自共轭矩阵的严格正（分别为严格负）特征值的个数S公司在里面H（H），计算多重性。在这些假设下，算符的Witten指数公式D类A类采用一种特别简单的形式。如果应该指出，以下结果产生（在一个非常特殊的设置中，暗淡(H（H）)=1）示例3.4的结果。定理4.8（[24，定理5.2]）。假设(4.6)和(4.7).然后 SSFξ(·;A类+，A−)上有分段常量表示R（右），右极限 ξ0+;|D类∗A类|2,|D类A类|2存在，且SSFξ·;|D类∗A类|2,|D类A类|2拥有持续的销售代表- 怨恨的(0,∞)此外，预解式和半群正则化了Witten 指数W第页(D类A类)和W秒(D类A类)存在，并且 W公司第页(D类A类) =W公司秒(D类A类) =ξ0+;|D类∗A类|2,|D类A类|2 = [ξ(0+;A类+，A−) +ξ(0−;A类+，A−)]/2 =[#>(A类+)−#>(A类−)]−1[# 22<(A类+)−#<(A类−)]. 特别是，在一维背景下，Witten指数或- ger或半整数值。5.进一步扩展在本节中，我们将讨论运算符的一个重要示例A类+和A类−，其光谱是绝对连续的，并且与整个实线一致，并且前面章节的结果不适用。[54]和 [9] ，[24]描述了允许基本谱的算子的Fredholm/Witten指数理论，但相对迹类假设排除了标准偏微分算子，如Dirac型算子。因此，为了合并这类重要的示例，我们需要一个更通用的框架。为了说明这一事实，我们考虑以下示例。让A类−和{答}(t吨)t吨∈Rbe给定d日 A类−=,A类(t吨) =A类−+θ(t吨)M（M）（f）,dom公司(A类−)=dom(A类(t吨)) =W公司1,2（右），t∈R（右）, 国际数据交换也就是说，我们考虑上的微分算子我2（R；dx公司)及其由乘法算子引起的扰动M（M）（f）由函数定义（f）∈L∞（R；dx公司). 在这里θ是满足0的函数θ∈L∞（R；数据传输时间), θ∈L∞（R；数据传输时间)微米L1（R；数据传输时间),林θ(t吨) = 0,林θ(t吨) = 1. t吨→−∞t吨→+∞然后渐近线A类±家庭的{答}(t吨)t吨∈Ras公司t吨→ ±∞由提供A类−和A类+=A类−+M（M）（f）.换句话说，我们有一个一维Dirac算子，它被一个有界函数所摄动。众所周知的Cwikel估计（参见例如[56，Ch.4]）保证（f）在以下条件下快速衰减±∞，操作员(A类+− A类−)(A类2−+ 1)−秒/2是的跟踪类秒>1，但不低于秒因此，即使在一维中，对于上面的示例，也违反了相对跟踪类假设。然而，尽管一维微分算子A类−并且它的扰动不满足相对迹类假设，我们仍然可以计算Witten指数W公司第页(D类A类). 对于这种一维设置，在希尔伯特空间的标识下我2（R；数据传输时间;我2（R；dx公司))和我2（R2；dtdx公司)，操作员D类A类，由（3.2）定义，由d给出+A、， D类A类=dt，带A类=国际数据交换d日+M（M）θM（M）（f）.也就是说，在这种情况下，我们与操作员一起工作∂∂ D类A类=++M（M）θM（M）（f）. ¼ti⏴x由于操作员d日具有绝对连续的光谱，与国际数据交换整个实线，操作员D类A类具有以下属性：（i）自0起∈ σ(A类−)=R，根据定理3.11，算符D类A类是不 弗雷德霍姆。（ii）操作员的基本频谱D类A类是整个复杂平面C（见推论3.12）。有趣的是（而且有些令人惊讶的是）对于这个特殊的例子，在一些关于扰动的假设下（f）（见下面的定理5.1）我们仍然有包含（参见定理3.8）[克z（z）(A类+)−克z（z）(A类−)]∈B1(我2（右））,|D类∗A类|2−z I−1−|D类A类|2−z I−1∈B1我2R2）,z（z）∈C}[0, ∞),哪里克z（z）(x个) =x个(x个2−z)−1/2,x个∈此外，使用近似技术，我们可以证明定理3.8 tr中的主迹公式我2（R2）|D类∗A类|2−z I−1−|D类A类|2−z I−1=1吨2z（z）我2（右）(克z（z）(A类+)−克z（z）(A类−)),对所有人来说z（z）∈C}[0, ∞). 这个主迹公式的主要应用是普什尼茨基公式的推广。此外，利用一些经典的谐波分析，我们能够计算实际值对的谱移函数的（代表）A类+，A−.定理5.1。让f∈W1,1（R；dx公司)●Cb条（R；dx公司)和f∈L∞（R；dx公司).然后针对 即λ>0和a.e.ν∈R（右）,ˆξλ;|D类∗A类|2,|D类A类|2=ξ(ν;A类+，A−) =1（f）(x个)dx。2πR SSF的事实ξ(·;A类+，A−)是常数意味着0是函数的勒贝格点ξ(·;A类+，A−). 定理5.2（[21]）。威滕指数W第页(D类A类)和W秒(D类A类)操作员的 D类A类存在并平等ˆW公司第页(D类A类) =W公司秒(D类A类) =ξ0+;|D类∗A类|2,|D类A类|2=ξ(0;A类+，A−) =1（f）(x个)dx。2πR´备注5.3我们注意到ξ(·;A类+，A−) =21πR（右）（f）(x个)dx公司也可以通过散射理论和修正的Fredholm二阶行列式进行证明（参见[21]）。!上述结果也可推广到以下设置。假设A类−是复可分Hilbert空间中的（无界）自共轭算子H（H）并假设有界算子族{乙}(t吨)t吨∈Ris是一个2相对轨迹类扰动，即，B类(t吨)(|一个−|+ 1)−2∈B1(H（H）),t∈R、 和ˆ数据传输时间B类(t吨)(|一个−|+ 1)−2B类<∞.R1级(H（H）)对家庭施加一些次要的附加条件{乙}(t吨)t吨∈Rone可以证明以下结果：定理5.4。假设0是ξ的左右Lebesgue点(·;A类+，A−), 然后0也是ξ的右勒贝格点·;|D类∗A类|2,|D类A类|2和W第页(D类A类)存在 和相等 W公司第页(D类A类) =ξ我0+;|D类∗A类|2,|D类A类|2= [ξ我(0+;A类+，A−) +ξ我(0−;A类+，A−)]/2.致谢A.C.、G.L.和F.S.感谢澳大利亚研究委员会的财政支持。F.S.衷心感谢会议组织者，光谱理论和 数学物理，于2014年11月在智利圣地亚哥举行，以感谢对他的热情款待，并有机会就本次调查所涉及的主题提供一堂迷你课程。目前的工作是该课程的一个实质性修订和扩展版本。工具书类 [10] 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