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Aleksandra Kostić;佐兰·彼得罗维奇。;Pucanović，Zoran S。;马贾·罗斯拉夫切夫

注意环中的强零清洁元素。 （英语） Zbl 1513.13022号

捷克的。数学。J。 69，第1号，87-92（2019）.
设（R）是一个具有单位元的结合环。元素\（R\中的a\）称为强零清洁如果\（a\）是一个幂等元和一个幂零元的和，从\（R\）进行交换。正如1988年的论文所观察到的Y.平野,H.Tominaga先生、和A.雅各布标题为“在每个元素都可以唯一地表示为幂零元素和某个幂零元素之和的环上”[Math.J.Okayama Univ.30，33–40（1988；Zbl 0665.16016号)]，该属性的另一个特征是（a-a^2）是幂零的。重要的是，这表明可以在由\（a\）生成的\（R\）的子环（可能是非均匀的）内检查强零清洁性。平野等人的报纸停刊了近三十年，直到A.J.迪尔2013年的论文“零清洁环”[J.Algebra 383197–211（2013；Zbl 1296.16016号)]重振这一研究领域。
在审查中的论文中，作者给出了一个新的、非常快速的证明，证明了这种替代性特征。此外，通过多个例子，他们证明了文献中关于强零清洁元素的许多最新结果具有更容易的证明，也可以通过使用这种替代性特征来更广泛地说明。例如，他们证明了如果（R）是交换环，如果（a（上划线{X}）在mathbb中{M} _n（n）（R[X]/\langle X^k\rangle）\）对于某些正整数\（n，k\in\mathbb{Z}（Z）_{>0}\），则\（A（\overline{X}）\）是强零清洁的当且仅当\（A（0）\）为强零清洁。以前，这一结果和相关结果出现在文献中
●
关于\（R\）的不必要假设（例如局部性或投射-绿色），
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具有不必要的复杂性（例如使用形式幂级数环代替多项式环，或者取具有\（R\）的特征的\（k=2\）也等于\（2\）），
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仅适用于非常小的矩阵（例如\（n\in\{2,3,4\}\）），
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用更长更复杂的证明。
本文是一个很好的例子，说明了一个精心选择的视角如何简化和扩展结果。
审核人：佩斯·尼尔森（普罗沃）

MSC公司：

13号B25 交换环上的多项式
16号40 零和幂零根、集、理想、结合环
16U99型 元件上的条件
15B33型 特殊环上的矩阵（四元数、有限域等）

关键词：

幂零元素;零清洁元件

引文：

Zbl 0665.16016号;Zbl 1296.16016号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{A.Kostić}等人，捷克语。数学。J.69，第1号，87-92（2019年；Zbl 1513.13022）
全文： 内政部

参考文献：

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[3] Chen，H.，关于强零干净矩阵，Commun。《代数》41（2013），1074-1086·Zbl 1286.16025号 ·doi:10.1080/00927872.2011.637265
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[7] 科什安，T。；王，Z。；Zhou，Y.，Nil-clean和强Nil-clean环，J.Pure Appl。《代数》220（2016），633-646·Zbl 1335.16026号 ·doi:10.1016/j.jpaa.2015.07.009
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