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林长寿;王金龙

圆环上的椭圆函数、格林函数和平均场方程。 （英语） Zbl 1207.35011号

安。数学。(2) 172，第2期，911-954（2010）.
平面复曲面上的格林函数被证明具有三个或五个临界点（定理1.3）。本文通过对平均场方程的研究进行了证明
\[\增量u+\rho e^u=\rho\Delta_0，\quad\rho\in\mathbb{右}_+.\]
如果（rho\neq 8m\pi），（m\in\mathbb{N}），该方程有解[C.-C.陈和C.-S.林、Commun。纯应用程序。数学。56，第12期，1667-1727（2003年；兹比尔1032.58010)]. 如果（rho=8\pi），平均场方程有解当且仅当格林函数有三个以外的临界点（Th.1.1），并且至多有一个解（定理1.2）。定理1.3源自这两个定理。
作者说，计算机模拟表明了如下的结果：设（Omega_3）（resp.（\Omega_5））是模空间（{mathcal M}_1\cup\{infty\}\cong S^2），（{mathcal M}_1={mathcal-H}/\text{SL}（2，mathbb{Z}））的子集，对应于具有三个（resp.5）临界点的tori。那么，\（Omega_3\cup\{\infty\}）是包含\（i）的闭子集，\（\Omega_5\）是包含（e^{\pii/3}）的开子集，它们都是单连通的，它们的公共边界\（C\）是与包含\（\infty）的（S^1）同胚的曲线。当圆环从\（\Omega_3\）穿过\（C\）移动到\（\O mega_5\）时，额外的临界点从某个半周期点分裂出来。在这个方向上也得到了部分结果（定理1.6）。
设\（T=\mathbb{C}/\{\mathbb2{Z}\omega_1+\mathbb{Z}\ omega_2\}\）是平环面，\（G（Z，w）\）是格林函数；
\[-\Delta_z（G（z，w）=\Delta_w（z）-{1\over|T|}，\quad\int_TG（z、w）\，dA=0。\]
由于\（G（z，w）=G（z-w，0）\），\（G。存在一个常数\（C（\tau）\），\（\tau=\omega_2/\omega_2 \），这样
\[8\pi G（z）={2\over|T|}\int_T\log|\wp（\xi）-\wp[z）|\，dA+C（\tau）。\]
然后分析周期积分
\[F（z）=\int_L{\wp'（z）\over\wp（\xi）-\wp（z）}\，d\xi，\]
其中，（L）是（T）中平行于（ω_1）轴的线段，它显示为（z=ω_1+sω_2）是（G）的临界点当且仅当
\[\zeta（t\omega_1+s\omega_2）=t\eta_1+s\eta_2，\；\zeta（z）=-\int^z\wp，\quad\eta_1=\zeta（z+\omega_i）-\zeta。\]
由于\（G）是偶数，所以半周期\（{ω_1\ over 2}\）、\（{\ω_2\ over 2]\）和\（{\ω_3\ over 2}\），\（ω_3=\ω_1+\ω_2 \）是\（G \）的临界点。结果表明，对于矩形圆环，\（G（z）\）只有三个临界点。但如果（ω_1=1），（ω_2=e^{πi/3}），那么（ω_3超过3}）也是一个临界点。
在这些准备工作之后，在§3中对平均场方程进行了研究。如果\（rho=4\pi\ell\），\（\ell\in\mathbb{N}\），平均场方程的任何解\（u\）都采用以下形式
\[u=c_1+\log{|f'|^2\over（1+|f|^2）^2}，\]
在整体上\（\mathbb{C}\），具有亚纯函数\（f\）[C.C.陈,C.S.林和G.王，Ann.Sc.规范。超级的。比萨，Cl.Sci。（5） 第3期，第2期，367–397页（2004年；Zbl 1170.35413号)]. \（f\）被称为\（u\）的发展图。自\（u_{zz}-{1\over2}u^2_z）是\（f）的Schwarz导数，两个展开图\（f
\[\上划线f=Sf={pf-\上划线q\over qf+\上划线p}，\quad S\in\text{PSU}（1）。\]
元素\（\text{PSU}（1）\）的可能转换本质上显示为
\[f（z+\omega_1）=e^{2i\theta_1}f（z），\quad f（z+/\omega_2）=e_^{2i \theta+2}f（z）。\]
另一方面，
\[f（z）=\exp\Biggl（\int^z_0｛\wp'（z_0）\over\wp（\xi）-\wp（z_0）｝\，d\xi\Biggr）\]
定义良好且满足（f（z+\omega_j）=e^{2i\theta_j}f（z）），因此得到定理1.1。用同样的方法证明了平均场方程在（rho=4\pi）情况下解的唯一存在性（定理3.2）。
在§4中，将度量为（e^w|dx|^2）的域（mathbb{R}^2）中Bol的等周不等式推广到度量变为奇异的情况，线性化方程
\[\Delta\varphi+\rho e ^u\varphi=0，\quad\varphi（z）=\varphi\]
证明了平均场方程只有平凡解，如果（[4\pi，8\pi]中的rho）（定理4.1）。通过从\（rho=4\pi\）到\（8\pi）的延续，定理1.2继承了定理3.2和定理4.1。因此证明了定理1.3。
设（ω_1=1）和（ω_2=τ={1\over 2}+bi），（b>0）。然后定理1.6断言如下：
1
存在（b0<{1\over2}<b1<{3}over2{），使得（{1\ever2}）是（G（z；τ）的退化临界点当且仅当（b=b0\）或（b=b2\）\（{1\over 2}\）是\（G\）的局部极小点，如果\（b_0<b<b_1\），如果\。
2
（{tau\over 2}）和（{1+tau\-or 2}\）都是（G）的非退化鞍点。
三。
\当（b<b_0）或（b>b_1）时，（G）有两个临界点。它们是\（G\）的非退化全局极小点，在前一种情况下，\（\text{Re\，}z_0（\tau）={1\over 2}\）\（0<\text{Im\，}z_0（\tau）<{b\超过2}\）。
为了证明Th.1.6，使用了以下对\（G（z）\）的θ函数描述
\[G（z）=-{1\over2\pi}\log|\vartheta_1（z）|+{1\ over2b}y^2_C（\tau）。\]
功能
\[\vartheta_1（z；\tau）=-i\sum^\infty_{n=-\infty}（-1）^nq^{（n+1/2）^2}e^{，\]
\（q=e^\pii\tau）满足热方程（{偏^2\vartheta_1\over\偏z^2}=4\pii{偏\vartheta_1\over\部分\tau}）。根据这一事实，可以看出\（\log\vartheta_1）_b\）在\（L:｛1\over 2｝+ib\），\（b\in\mathbb｛R｝\）线上从\（\infty\）减少到\（-\pi/4\）。因此，（G{xx}=0\）和（G{yy}=0\\）分别在\（L\）上发生一次（定理8.1）。还获得了（vartheta_3）的类似结果（定理9.1）。通过使用这些结果和
\[G\biggl（{\omega_3\over 2}\biggr）-G\biggl（{\omega_2\over 2}\bigr）={1\over 4\pi}\log|\lambda（\tau）-1|，\quad\lambda，\]
（§5），定理1.6在§6中得到了证明。
审核人：浅田明（高良渚）

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MSC公司：

35A08型 PDE的基本解决方案
35B38码 PDE背景下泛函的临界点（例如，能量泛函）
30F99型 黎曼曲面
33E05号 椭圆函数和积分
58J05型 流形上的椭圆方程，一般理论
58K05美元 流形上函数和映射的临界点

关键词：

Weierstrass zeta函数;Weierstrass sigma函数;θ函数

引文：

Zbl 1032.58010号;Zbl 1170.35413号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.-S.Lin}和\textit{C.-L.Wang}，Ann.数学。（2） 172，第2号，911--954（2010；Zbl 1207.35011）
全文： 内政部 arXiv公司

参考文献：

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