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本杰明·克洛普什;路易斯·门登萨;Jan Moritz Petschick

自由多项式群和Magnus性质。 （英语） Zbl 1517.20052号

论坛数学。 35,2号，573-590（2023年）.
在本文中，作者讨论了相对自由群中的Magnus性质，更具体地说，在自由多项式群中。自由群的Magnus性质是一个经典结果：“如果自由群的两个元素（g）和（h）生成相同的正规子群（F），那么（g）共轭于（h）、（epsilon=1）或（epsilen=-1）”。基于这一经典结果，作者提出的一个一般问题是：“对于给定的群的变种（mathcal{V}），哪些（mathcal{V}\）-自由群具有Magnus性质（简称MP）？”
结果主要涉及品种{N} c（c）\)对于任何给定的长度（l\in\mathbb{N}）和类元组（c=（c_1，\ldots，c_1）\in\mathbb{N}^l\），类-row（c\）的所有多项式群中：一个群\（G\）属于\（\mathcal{N} c（c）\)如果其迭代下中心级数的项\（\gamma_{（c1+1，\ldots，\，cl+1）}（G）\）消失。这里，\（\gamma_{（1）}（G）=\gamma_1（G{c1+1}（G）=[\gamma{c1}（G），G]\）是G的普通下中心级数的\（（c1+1）\）-st项。主要结果是，作者证明：
（定理1.1）设（G）是一个（mathcal{N} c（c）\)-秩\（d\）的自由群，即类行\（c\）的自由多项式群，由\（d\）元素自由生成，其中\（d，l\in\mathbb｛N｝\）和\（c\in\mathbb｛N｝^l\）。那么\（G\）有MP当且仅当\（G~）至多是类的幂零2；等价地，当且仅当\（d=1\）或\（c\in\{（1），（2）\}\）。
当\（\mathcal{N} c（c）\)-自由群是无扭的，作者还证明了中心-by-（mathcal）的类似结果{N} c（c）\)-自由群（可以涉及指数2的中心扭转）：
（定理1.2）设（G）是中心by-（mathcal{N} c（c）\)-秩为\（d\）的自由群，其中\（d，l\in\mathbb{N}\）和\（c\in\mathbb{N}^l\）。那么\（G\）有MP当且仅当\（G~）至多是类的幂零2；等价地，当且仅当\（d=1\）或\（c=（1）\）。
证明组（G）没有MP的一个有趣工具是基本的\（否定）（MP）-证人对对于\（G），也就是说，一对元素\（（G，nu）\），\（G在G中）和\（nu在[G，G]\setminus\{[G，w]|w\在G\}中），使得\（G^2\not\in[G，G]\）和\。例如，已经使用这样一对来证明限制环积（C_{infty}\wr C_{infty}\）不具有MP，这是证明定理1.1的起点。
在证明定理1.1和1.2的过程中，作者在更一般的群中探索了MP，提出了建立或否认MP的新技术。
作者提供了（例3.8）具有MP的任何指定幂零类的有限生成幂零群（具有非平凡的3-挠率）的显式族，并且在（例3.11）中，他们显式构造了具有MP的Hirsch长度9的4-生成无挠率的3-类幂零群。
最后，使用超成品结构，他们建立：
（定理1.3）对于每一个\（c\in\mathbb{N}\），都存在一个具有Magnus性质的可数、metabelian、无扭、幂零群，该群精确地具有幂零类\（c\）。
审核人：诺拉·罗梅乌·罗科（巴西利亚）

MSC公司：

20E45型 群的共轭类
03C20号 Ultra产品和相关结构
20E10年 准变种和群变种
20E22型 扩展、环积和其他组的组成
20E25型 组的局部属性
2014年1月20日 群的导出级数、中心级数和推广
2018年1月20日 幂零群
2019年1月20日 可解群和幂零群的推广
20E05年 自由非贝拉群

关键词：

共轭类;马格纳斯财产;相对自由群;超级产品;多元幂零群;幂零群;可溶基团
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{B.Klopsch}等人，《论坛数学》。35，编号2，573--590（2023；Zbl 1517.20052）
全文： 内政部 arXiv公司

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