以斯帖·巴纳扬;苏尼塔·切普里;伊丽莎白·凯利;Sylvester W·张。 图LP代数的根簇。 （英语） Zbl 1514.13024号 SIGMA，对称可积几何。方法应用。 18，论文089，第30页（2022）. 本文研究了由树图生成的一类Laurent现象（LP）代数，并证明了由树的顶点参数化的特殊种子集合的正性（定理1.1）。作者还构造了超T路径，并给出了一个组合公式，用于写下簇变量相对于每个特殊种子集合的正Laurent表达式（定理1.2）。Laurent现象（LP）代数，由引入T.Lam公司和P.皮利亚夫斯基【剑桥数学杂志，第4期，第121-162页（2016年；Zbl 1430.13036号)]，是簇代数的推广。与簇代数类似，LP代数也由称为群集变量，它们被分组为大小相同的重叠集合，称为集群簇是由突变关联的，但LP代数中的突变不是由箭控制的，而是由多项式集合控制的。更准确地说，让（R）是一个UFD，让（X_1，dots，X_n）是形式变量的集合。设\（\mathcal{F}:=\mathrm{Frac}（R）（X_1，\dots，X_n）\）。A类种子\（t）是一个集合（（x_i，F_i）{i=1}^n），其中（x_1，dots，x_n）构成了（mathcal，F}）的超越基础，对于每个（i），（F_i是（R[x1，dotes，x_i-1}，x{i+1}，does，x_n]\）中的不可约多项式，不能被任何一个（x_j）整除。对于任何给定的种子（t）和任何索引（k），可以突变\（t），并获得一个新种子（t’=mu_k（t））（详见第3页）。现在从一个初始种子（t_0）开始，人们可以在任何有限的步骤中以所有可能的方式变异（t_0。作者考虑的特殊LP代数族称为图LP代数，它们的构造如下。设\（\Gamma\）是一个无向图，其中顶点用\（1,2，\点，n\）标记，使得任何一对顶点之间最多有一条边。然后得出结论：（Gamma）的关联矩阵（c_{ij}）是一个对称矩阵，其条目为（0）或（1）；我们还通过约定定义了\（c{ii}=0\）。我们将两个形式变量\（A_i\）和\（X_i\）关联到\（\Gamma\）的每个顶点\（i\）。设\（R:=\mathbb{Z}[A_1，\dots，A_n]\）为系数环{答}_\Gamma是由初始种子生成的LP代数_{ij}X_j)\}\).正如Lam和Pylayavskyy所证明的那样{答}_\Gamma）由\（\Gamma\）的连接子集参数化。要定义它们，请考虑矩阵\（mathfrak{N}=（N_{ij}）\），其中\[n_{ij}=\left\{\begin{array}{ll}\frac{A_i+\sum_kc_{ik}X_k}{X_i}&\text{if\（i=j\）}\\-1&\text{if\（c_{ij}=1\）}\\0&\text{否则}。\结束｛array｝\右键。\]对于（Gamma）顶点的任何子集（S\subset\{1,2，\dots，n\}），我们定义（Y_S）为由（S\）索引的行和列所跨越的子矩阵的行列式。然后，\（\mathcal）中的任何非初始集群变量{答}_\对于某些（S），Gamma的形式为（Y_S），因此由（S）跨越的完整子图是连通的。在Lam和Pylayavskyy的同一篇论文中，他们还证明了图LP代数中的种子可以由\（\Gamma\）的最大嵌套子图集合参数化。对于图\（\Gamma\）嵌套集合\（\mathcal{S}=\{S_1，S_2，\dotes，S_k\}）是顶点集（\{1,2，\potes，n\}\）的子集集，满足以下条件之一：（1）对于任何\（i，j\），下列条件之一为真：\（S_i\子集S_j\）、\（S_i \ supset S_j\}\）是两两不相交的，那么它们中的每一个都是由\（\bigcup{j=1}^lS_{ij}\）中的顶点跨越的完整子图中的一个连接组件。嵌套集合\（\mathcal{S}=\{S_1，S_2，\dots，S_k\}\）称为最大如果\（\bigcup{i=1}^kS_i\）覆盖\（\Gamma\）中的所有顶点，并且没有任何其他嵌套集合包含\（\mathcal{S}\）作为适当的子集。请注意，任何最大嵌套集合的大小都与顶点集的大小相同。现在给定（1,2，点，n）的子集（T），让（Gamma_T）是由（T）跨越的（Gamma）的完整子图。设\（\mathcal{S}\）是\（\Gamma_T\）的最大嵌套集合。定义\（C_{T，\mathcal{S}}:=\{X_i\}_{i\notinT}\cup\{Y_S\}__{S\in\mathcal{S}}\）。\（\mathcal中的所有簇{答}_\伽玛射线）的形式为（C_{T，\mathcal{S}}），用于选择\（T\）和\（\mathcal{S}\）。作者考虑的图LP代数是与树图相关联的图。对于树图\（\Gamma\），有一个特殊的最大嵌套集合\（\mathcal{S} _v（_v）\)为每个顶点\（v\）定义。详细地说，设\（v\）是树图\（\Gamma\）的一个固定顶点（该数据相当于有根的树). 由于假设\（Gamma\）是树，对于任何其他顶点\（j），从\（v）到\（j。注意，\（v\）是关于这个偏序的唯一最大元素。现在，对于每个\（i\），我们定义\（i_i:=\{j\mid-j\leqi\}\）。然后\（\mathcal{S} _v（_v）：=\{I_I\}_{I=1}^n）通过构造是\（\Gamma\）的最大嵌套集合。这又定义了一个集群\（C_v=\{Y_S\mid S\in\mathcal{S} _v（_v）\}\)图LP代数{答}_\伽马射线）。这些簇\（C_v \）称为根簇.通过显式计算，作者证明了对于树图LP代数\（\mathcal{答}_\Gamma）和固定根簇\（C_v\），任何簇变量\（X_i\）（推论3.4）和任何簇变量\（Y_S\）（定理3.8）都可以用\（C_v\）中的簇变量表示为Laurent多项式积极的系数。这两个定理结合起来证明了第一个主要定理，即定理1.1。对于Dynkin型A的簇代数，Schifler引入了T路，给出了一个组合公式，用以写出任意簇变量相对于固定簇的Laurent多项式展开式。在第四节中，作者将（A）型簇代数的T路推广到超T路径对于具有选定根簇（C_v）的树图LP图，利用这些超T路给出了任意簇变量（Y_S）相对于簇变量（C_v\）的Laurent多项式展开的组合公式，证明了另一个主要定理定理1.2。然而，超T路径的定义（定义4.3）有点复杂，读者需要一些时间才能完全理解该结构。在最后一节中，作者讨论了一些可能的未来研究方向，以及将其结果推广到更一般的案例中的一些障碍。审核人：大坪翁（戴维斯） 引用于1审查 MSC公司： 13层60 簇代数 2016年5月 群和代数的组合方面 05C70号 具有特殊属性的边子集（因子分解、匹配、分区、覆盖和打包等） 关键词：洛朗现象代数;簇代数;图LP代数;\（T\）-路径 引文：Zbl 1404.13028号;Zbl 1430.13036号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{E.Banaian}等人，SIGMA，对称可积几何。方法应用。18，第089号论文，第30页（2022年；Zbl 1514.13024） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 有限型簇代数的Bazier-Matte、V’eronique和Chapelier-Laget、Nathan和Douville、Guillaume和Mousavand、Kaveh和Thomas、Hugh和Yildrm、Emine、{ABHY}结合面体和牛顿多项式 [2] 布里奇兰德、汤姆、散点图、，{H} 全部代数与稳定性条件，代数几何，4，5，523-561，（2017）·Zbl 1388.16013号 ·doi:10.14231/2017-027 [3] Buan，Aslak 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