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约阿希姆·克里格;雅各布·斯特本兹;丹尼尔·塔塔鲁

（4+1）维Maxwell-Klein-Gordon方程的全局适定性：小能量。 （英语） Zbl 1329.35209号

杜克大学数学。J。 164，第6期，973-1040（2015）.
设\（φ：\mathbb{R}^{4+1}\rightarrow\mathbb{C}\），和\（A_{alpha}:\mathbb2{R}^{4+1}\right arrow\ mathbb}R}\）、\（alpha=0\点，4\），以及Minkowski度量\（m=\text{diag}（1，-1，-1）\）。引入曲率张量（F{\alpha\beta}:=\partial{\alba}A{\beta{-\partial{\beta}A{\ alpha}）以及协变导数（D_{\alpha}\phi:=（\partial/{\alha}+iA{\alfa}），（无质量）Maxwell-Klein-Gordon（MKG）方程为\[\开始{aligned}\partial^{\beta}F{\alpha\beta{=\mathrm{Im}（\phi\上划线{D_\alpha\fhi}）\]众所周知，MKG是规范不变量，我们可以施加库仑规范条件：\[\sum_{j=1}^4\partial_j A_j=0。\]注意能量\[E（A，\phi）：=\int_{\mathbb{R}^4}\big（\frac{1}{4}\sum_{alpha，\beta}F{\alpha\betaneneneep ^2+\frac}{2}\sum_{\alfa}|D_{\alpha}\phi|^2\big）\，dx\]在流下保持不变，在自然尺度下也保持不变\[\φ（t，x）\rightarrow\lambda\phi（\lambda t，\lambda x），\]这意味着（4+1）-MKG系统是能量关键的。本文证明了（mathbb{R}^{4+1}）上的能量临界MKG方程对于能量较小的光滑初始数据是全局适定性的。
同样的分析和结果适用于尺度不变空间中小数据的所有高维{n} 2-1页}\times\dot H^｛\frac{n} 2-2页}\). 这一点已经在第6维度（n \geq 6）中从I.罗德尼安斯基和陶哲轩《公共数学物理》251，第2期，377-426（2004；Zbl 1106.35073号)]. 另一方面，尽管我们在Eardley-Moncrief、Klainerman-Machedon、Keel-Roy-Tao的著作中得到了（H^{s}）中的全局适定性结果（即使是大数据）和（s>\sqrt{3}/2），但在维（n=3）中是否也存在类似的结果尚不清楚（回想一下，对于（n=3）的临界正则性（s_{c}=1/2），这是能量次临界的情况）。
审核人：王成波（杭州）

引用于2评论
引用于13文件

MSC公司：

35L71型 二阶半线性双曲方程
35立方厘米 PDE解对初始和/或边界数据和/或PDE参数的依赖性
70S15型 粒子力学和系统力学中的Yang-Mills和其他规范理论
35Q61问题 麦克斯韦方程组

关键词：

能量临界的;麦克斯韦尔·克莱恩·戈登

引文：

Zbl 1106.35073号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{J.Krieger}等人，杜克数学。J.164，No.6，973--1040（2015；Zbl 1329.35209）
全文： 内政部 arXiv公司 欧几里得

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