托比亚斯·贾韦基 关于（varphi）-函数Krylov逼近的基于缺陷的误差估计的研究。 （英语） Zbl 07512667号 数字。算法 90，编号1，323-361（2022）. 本文介绍了问题设置，并讨论了Krylov子空间的基本性质。然后，他将重点放在与Krylov近似到（varphi）-函数相关的缺陷上，特别是检查近似指数函数的情况。他的计算缺陷的方法不同于以前的工作，并且基于表征近似误差的非齐次微分方程。通过求解该方程，他获得了误差的积分表示，并考虑了浮点运算的影响。这个结果被扩展到了\（\varphi\）-functions，这在以前的工作中没有涉及。这项工作的重点是研究误差范数的后验界和估计，这些后验界和估计是从使用缺陷（残差）的误差的积分表示中导出的。这些误差界的精度以Ritz值在复杂平面上的定位为特征。作者发现，在实Ritz值的情况下，通过缺陷范数上的积分，导致了严格的误差界。他引入了一个新的误差界限，当Ritz值接近实轴时，该界限特别有效，与现有的误差界限相比，该界限更为有利。他还概述了一个仍然相关的现有误差范围，特别是对于具有重要虚部的里兹值。除了提供误差范围外，作者还提出了一个实时量化所达到精度的标准。他主要通过一个数值例子来说明关于新误差界的主张。作者承认，基于正交的误差估计，例如广义残差估计，并没有提供误差范数的证明上界。他解决了这些估计的可靠性可能存在问题的特殊情况。本文探讨了根据Ritz值对这些情况进行的分析，这对于数值实现很有价值。然而，在大多数情况下，基于正交的估计仍然有效，特别强调有效阶次正交。作者注意到，他的工作允许动态调整误差估计的选择，以获得尽可能可靠、准确和有效的估计。该主题被确定为需要进一步研究的领域。审核人：Abdollahi Farshid（西拉） 引用于1文件 MSC公司： 65层60 矩阵指数和相似矩阵函数的数值计算 65升70 常微分方程数值方法的误差界 65N22型 含偏微分方程边值问题离散方程的数值解 关键词：矩阵指数;\（\varphi\）-函数;克雷洛夫近似;上限;后验误差估计 软件：算法919;菲姆;mctoolbox软件;Expokit公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{T.Jawecki}，数字。算法90，编号1，323-361（2022；Zbl 07512667） 全文： 内政部 arXiv公司 OA许可证 参考文献： [1] Afanasjew，M。；艾尔曼，M。；欧·恩斯特。；Güttel，S.，矩阵函数计算的重新启动Krylov子空间方法的实现，线性代数应用。，429, 10, 2293-2314 (2008) ·Zbl 1153.65042号 ·doi:10.1016/j.laa.2008.06.029 [2] Al-Mohy，A。；Higham，N.，《计算矩阵指数的作用，以及指数积分器的应用》，SIAM J.Sci。计算。，33, 2, 488-511 (2011) ·Zbl 1234.65028号 ·doi:10.1137/100788860 [3] 贝克曼，B。；Reichel，L.，通过Faber变换对矩阵函数进行误差估计和评估，SIAM J.Numer。分析。，47, 5, 3849-3883 (2009) ·兹比尔1204.65041 ·doi:10.1137/080741744 [4] de Boor，C.，《分化差异》，Surv。近似理论，146-69（2005）·Zbl 1071.65027号 [5] 博切夫，M。；格林·V。；Hochbruck，M.，矩阵指数的残差、重启和Richardson迭代，SIAM J.Sci。计算。，35、3、A1376-A1397（2013）·Zbl 1278.65052号 ·数字对象标识代码：10.1137/10820191 [6] Botchev，M.，Knizhnerman，L.：ART：Krylov子空间矩阵指数评估的自适应剩余时间重启。J.计算。申请。数学。doi:10.1016/j.cam.2019.06.027（2019）·Zbl 1427.65060号 [7] Braconnier，T。；Langlois，P。；Rioual，J.，正交性对Arnoldi方法的影响，线性代数应用。，309, 1, 307-323 (2000) ·Zbl 0948.65034号 ·doi:10.1016/S0024-3795（99）00100-7 [8] 卡利阿里，M。；坎多夫，P。；奥斯特曼，A。；Rainer，S.，《重温Leja方法：矩阵指数的向后误差分析》，SIAM J.Sci。计算。，38、3、A1639-A1661（2016）·Zbl 1339.65061号 ·doi:10.1137/15M1027620 [9] Celledoni，E。；Moret，I.，ODE系统的Krylov投影方法，应用。数字。数学。，24, 2, 365-378 (1997) ·Zbl 0885.65073号 ·doi:10.1016/S0168-9274（97）00033-0 [10] Diele，F。；莫雷特，I。；Ragni，S.，矩阵函数多项式Krylov近似的误差估计，SIAM J.矩阵分析。申请。，30, 4, 1546-1565 (2009) ·Zbl 1176.65057号 ·数字对象标识代码：10.1137/070688924 [11] 德鲁斯金，V。；格林鲍姆，A。；Knizhnerman，L.，《在矩阵函数计算中使用非正交Lanczos向量》，SIAM J.Sci。计算。，19, 1, 38-54 (1998) ·Zbl 0912.65021号 ·doi:10.1137/S1064827596303661 [12] 德鲁斯金，V。；Knizhnerman，L.，《计算对称矩阵函数的两种多项式方法》，苏联计算数学。数学。物理。，29, 6, 112-121 (1989) ·Zbl 0719.65035号 ·doi:10.1016/S0041-5553（89）80020-5 [13] 德鲁斯金，V。；Knizhnerman，L.，计算对称矩阵和特征值函数的简单Lanczos程序中的误差界，计算。数学。数学。物理。，31, 7, 20-30 (1992) ·Zbl 0786.65031号 [14] 德鲁斯金，V。；Knizhnerman，L.，《扩展Krylov子空间：矩阵平方根和相关函数的逼近》。SIAM，J.矩阵分析。申请。，19, 3, 755-771 (1998) ·Zbl 0912.65022号 ·doi:10.1137/S0895479895292400 [15] 艾尔曼，M。；Ernst，O.，一种重新启动的用于评估矩阵函数的Krylov子空间方法，SIAM J.Numer。分析。，44, 2481-2504 (2006) ·Zbl 1129.65019号 ·doi:10.1137/050633846 [16] 艾尔曼，M。；欧·恩斯特。；Güttel，S.，矩阵函数的放气重启，SIAM J.矩阵分析。申请。，32, 2, 621-641 (2011) ·兹比尔1264.65070 ·doi:10.1137/090774665 [17] van den Eshof，J。；Hochbruck，M.，将Lanczos近似预处理为矩阵指数，SIAM J.Sci。计算。，27, 4, 1438-1457 (2006) ·Zbl 1105.65051号 ·数字对象标识代码：10.1137/040605461 [18] 弗里斯纳，R。；塔克曼，L。；Dornblaster，B。；Russo，T.，刚性非线性微分方程大系统指数传播的方法，J.Sci。计算。，4, 4, 327-354 (1989) ·doi:10.1007/BF01060992 [19] Frommer，A。；Güttel，S。；Schweitzer，M.，基于求积的矩阵函数的高效和稳定Arnoldi重启，SIAM J.矩阵分析。申请。，35, 2, 661-683 (2014) ·Zbl 1309.6500号 ·数字对象标识码：10.1137/13093491X [20] 加洛普洛斯，E。；Saad，Y.，《利用Krylov近似方法有效求解抛物方程》，SIAM J.Sci。统计师。计算。，13, 5, 1236-1264 (1992) ·Zbl 0757.65101号 ·doi:10.1137/0913071 [21] 哥克勒，T。；Grimm，V.，用于指数积分器中算子函数逼近的扩展Krylov子空间方法的收敛性分析，SIAM J.Numer。分析。，51, 4, 2189-2213 (2013) ·Zbl 1278.65076号 ·doi:10.137/12089226X [22] Güttel，S.：算子函数的有理Krylov方法。德国弗赖堡理工大学博士论文。http://eprints.ma.man.ac.uk/2586/。论文可作为MIMS Eprint 2017.39（2010）获得 [23] Higham，N.，《数值算法的准确性和稳定性》（2002），美国：工业和应用数学学会，美国·Zbl 1011.65010号 ·数字对象标识代码：10.1137/1.9780898718027 [24] Higham，N.：矩阵的函数。美国宾夕法尼亚州费城工业和应用数学学会doi:10.1137/1.9780898717778（2008）·Zbl 1167.15001号 [25] Hochbruck，M.，Hochstenbach，M.：矩阵函数的子空间提取。数学系技术代表。，凯斯西储大学。http://na.math.kit.edu/download/papers/funext.pdf (2005) [26] Hochbruck，M。；Lubich，C.，《关于矩阵指数算子的Krylov子空间逼近》，SIAM J.Numer。分析。，34, 5, 1911-1925 (1997) ·Zbl 0888.65032号 ·doi:10.1137/S0036142995280572 [27] Hochbruck，M。；Ostermann，A.，指数积分器，《数值学报》，19209-286（2010）·Zbl 1242.65109号 ·doi:10.1017/S0962492910000048 [28] 霍奇布鲁克，W。；卢比奇，C。；Selhofer，H.，大型微分方程组的指数积分器，SIAM J.Sci。计算。，19, 5, 1552-1574 (1998) ·Zbl 0912.65058号 ·doi:10.1137/S1064827595295337 [29] Iserles，A。；Kropielnicka，K。；Singh，P.，基于马格努斯展开的有效分裂的薛定谔方程中激光与物质相互作用的紧致格式，J.Comput。物理学。通信，234195-201（2019）·Zbl 07682603号 ·doi:10.1016/j.cpc.2018.07.010 [30] Jawecki，T.，Auzinger，W.，Koch，O.：矩阵指数和相关φ函数Krylov近似的可计算误差上界BIT.doi:10.1007/s10543-019-00771-6（2019）·兹比尔1432.65053 [31] 贾，Z。；Lv，H.，矩阵函数Krylov子空间近似的后验误差估计，Numer。算法，69，1，1-28（2015）·Zbl 1331.65069号 ·doi:10.1007/s11075-014-9878-0 [32] Knizhnerman，L。；Simoncini，V.，矩阵函数计算的扩展Krylov子空间方法的新研究，Numer。线性代数应用。，17, 615-638 (2010) ·Zbl 1240.65154号 [33] 库勒夫，A。；布雷德巴赫，J。；Cederbaum，L.，《多电子波包传播：一般理论与应用》，《化学杂志》。物理。，123, 4, 044111 (2005) ·doi:10.1063/11961341 [34] Lubich，C.：从量子到经典分子动力学；简化模型和数值分析。苏黎世高等数学讲座。欧洲数学。苏黎世（2008）·Zbl 1160.81001号 [35] A.McCurdy。；Ng，K。；Parlett，B.，指数函数除法差的精确计算，数学。公司。，43, 501-528 (1984) ·Zbl 0561.65009号 ·doi:10.1090/S0025-5718-1984-0758198-0 [36] 莫勒，C。；Van Loan，C.，《计算矩阵指数的十九种可疑方法》，25年后，SIAM Rev.，45，1，3-49（2003）·Zbl 1030.65029号 ·doi:10.1137/S00361445024180 [37] 莫雷特，I。；Novati，P.，基于Faber多项式的矩阵指数插值逼近，J.Compute。申请。数学。，131, 1, 361-380 (2001) ·Zbl 0983.65057号 ·doi:10.1016/S0377-0427（00）00261-2 [38] 莫雷特，I。；Novati，P.，《矩阵指数的RD-有理逼近》，BIT，44，595-615（2004）·Zbl 1075.65062号 ·doi:10.1023/B:BITN.0000046805.27551.3b [39] Nauts，A。；Wyatt，R.，《多状态量子动力学的新方法：递归剩余生成方法》，Phys。修订稿。，51, 2238-2241 (1983) ·doi:10.1103/PhysRevLett.51.2238 [40] Niehoff，J.：Projektionsverfahren-Zur近似Von Matrixfunktitionen Mit Anwendungen Auf Die Implementierung指数积分。海因里希·海因·杜塞尔多夫大学博士论文（2007） [41] 尼森，J。；Wright，W.，Algorithm 919:一种用于评估指数积分器中出现的Γ-函数的Krylov子空间算法，ACM Trans。数学。软质。，38, 3, 22:1-22:19 (2012) ·Zbl 1365.65185号 ·doi:10.1145/2168773.2168781 [42] Opitz，G.，Steigungsmatrizen，Z.Angew。数学。机械。，44、S1、T52-T54（1964）·Zbl 0196.48801号 ·doi:10.1002/zamm.19640441321 [43] Paige，C.，对称矩阵三对角化Lanczos算法的误差分析，IMA J.Appl。数学。，18, 3, 341-349 (1976) ·Zbl 0347.65018号 ·doi:10.1093/imamat/18.3.341 [44] 帕克，T。；Light，J.，《迭代Lanczos约化的幺正量子时间演化》，J.Chem。物理。，85, 5870-5876 (1986) ·数字对象标识代码：10.1063/1.451548 [45] Parlett，B.：对称特征值问题。美国宾夕法尼亚州费城工业和应用数学学会doi:10.1137/1.9781611971163（1998）·Zbl 0885.65039号 [46] Saad，Y.，矩阵指数算子的一些Krylov子空间近似分析，SIAM J.Numer。分析。，29, 1, 209-228 (1992) ·Zbl 0749.65030号 ·doi:10.1137/0729014 [47] Saad，Y.：稀疏线性系统的迭代方法，第2版。美国宾夕法尼亚州费城工业和应用数学学会（2003年）·Zbl 1031.65046号 [48] Schweitzer，M.：矩阵函数逼近的多项式和扩展Krylov子空间方法中的重启和误差估计。德国伍珀塔尔贝格施大学博士论文。http://nbn-resolving.de/urn/resolver.pl？urn=urn [49] Sidje，R.，Expokit:计算矩阵指数的软件包，ACM Trans。数学。软件，24，1，130-156（1998）·Zbl 0917.65063号 ·数字对象标识代码：10.1145/285861.285868 [50] Simon，H.，用重正交化方法分析对称Lanczos算法，线性代数应用。，61, 101-131 (1984) ·Zbl 0579.65030号 ·doi:10.1016/0024-3795（84）90025-9 [51] Singh，P.，薛定谔方程中激光与物质相互作用的六阶方案，J.Chem。物理。，150, 15, 154111 (2019) ·doi:10.1063/1.5065902 [52] Stewart，D。；Leyk，T.，矩阵指数的Krylov子空间近似的误差估计，J.Compute。申请。数学。，72, 2, 359-369 (1996) ·Zbl 0859.65040号 ·doi:10.1016/0377-0427（96）00006-4 [53] Tal-Ezer，H.，关于W=F（A）V的Krylov近似的重启和误差估计，SIAM J.Sci。计算。，29, 6, 2426-2441 (2007) ·Zbl 1154.65320号 ·doi:10.1137/040617868 [54] Tal-Ezer，H。；Kosloff，R.，《传播含时薛定谔方程的精确有效方案》，J.Chem。物理。，81, 9, 3967-3971 (1984) ·数字对象标识代码：10.1063/1.448136 [55] Van Loan，C.，矩阵指数的灵敏度，SIAM J.Numer。分析。，14, 6, 971-981 (1977) ·Zbl 0368.65006号 ·doi:10.1137/0714065 [56] Wang，H。；Ye，Q.，计算矩阵指数的Krylov子空间方法的误差界，SIAM J.矩阵分析。申请。，38, 1, 155-187 (2017) ·Zbl 1365.65136号 ·doi:10.1137/16M1063733 [57] Wu，G。；张，L。；Xu，T.，谐波Arnoldi方法的一个框架，用于评估⌀-函数及其在指数积分器中的应用，高级计算。数学。，42, 3, 505-541 (2016) ·Zbl 1338.65123号 ·doi:10.1007/s10444-015-9433-0 [58] Zemke，J.：有限精度中的Krylov子空间方法：统一方法。汉堡理工大学博士论文。doi:10.15480/882.8（2003）·Zbl 1196.65018号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。