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埃尔维，洛伊奇;詹姆斯·勒杜

几何遍历马尔可夫核谱理论的显式界及其应用。 （英语） Zbl 1530.60059号

伯努利 30，第1号，581-609（2024）.
摘要：在本文中，我们讨论了可测状态空间（（mathbb{X}，mathcal{X}）上的马尔可夫链，该状态空间具有一个转移核（P\），它接纳一个非周期小集（S\）并满足标准的几何驱动条件。在这些假设下，在（0，1]\中存在\（\alpha_0\），这样\（PV^{\alpha_0}\leq\delta^{\alpha_0}V^{\阿尔法_0}+\nu（V^{\ alpha_0}）1_S \）。因此，\（P\）是\（V^｛\alpha_0｝\）-几何遍历的，其“第二特征值”\（\varrho_｛\alpha_0｝\）提供了最佳的收敛速度。设置\（R:=P-\nu（\cdot）1_S\）和\（\Gamma:=\{lambda\ in \mathbb{C}，\delta^{\alpha_0}<|\lambda|<1\}，\ varrho_{\alba_0}\）被显示为满足，或者是\（\varrho_{\alfa_0}=\max\{|\lampda|：\lambda \ in \Gamma，\sum_{k=1}^{+\infty}\lambma^{-k}\\nu（R^{k-1}1_S）=1\}\）如果该集合不为空，或\（\varrho_{\alpha_0}\leq\delta^{\alpha_0}\）。实际上，在第一种情况下，该集是有限的，由\（\Gamma\）中\（P\）的谱值组成。当\（P\）在\（\Gamma\）中没有光谱值时，会出现第二种情况。此外，（（zI-P）^{-1}的算子形式的界允许我们导出收敛速度中乘法常数的显式公式，只要“第二特征值”的任何信息可用，就可以对其进行计算。对反射随机游动的经典族进行了这种数值计算。此外，我们还获得了泊松方程基本解定义中涉及的算子形式（（I-P+\pi（\cdot）1_{mathbb{X}}）^{-1}的一个简单而明确的界。这允许我们指定\（P\）的特征值的位置，然后获得\（\varrho_{\alpha_0}\）的一般界。还讨论了可逆情况。特别地，对于正可逆马尔可夫核获得的\（\varrho_｛\alpha_0｝\）的界是期望的界，并为Metropolis-Hastings算法和高斯自回归马尔可夫链提出了数值说明。（（I-P+\pi（\cdot）1_{\mathbb{X}}）^{-1}的运算符形式的界是从（I-R）^{-1-}的运算器形式的估计中导出的，仅依赖于（delta^{\alpha_0}），这为获得泊松方程的解提供了另一种方法。这一估计对于推广扰动离散和原子马尔可夫链在[刘彦（Y.Liu）和W.李，高级申请。普罗巴伯。50，第2期，645–669页（2018年；Zbl 1431.60076号)]一般几何遍历马尔可夫链的情况。在这种情况下，这些误差估计是最简单的。本文中的所有估计都用标准加权算子范数表示。

MSC公司：

60焦耳10 马尔可夫链（离散状态空间上的离散时间马尔可夫过程）
62E17型 统计分布的近似值（非共鸣）
60K25码 排队论（概率论方面）

关键词：

漂移条件;不变概率测度;扰动马尔可夫核;泊松方程;收敛速度;第二特征值;小型设备

引文：

Zbl 1431.60076号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{L.Hervé}和\textit{J.Ledoux}，伯努利30，No.1，581--609（2024；Zbl 1530.60059）
全文： 内政部

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