黄勇;埃尔文·卢特瓦克;迪恩·杨;张高勇 对偶Brunn-Minkowski理论中的几何测度及其相关的闵可夫斯基问题。 （英语） Zbl 1372.52007年 数学学报。 216，第2期，325-388（2016）。 以混合体积和相关概念为中心的Brunn-Minkowski凸体理论，近几十年来已向不同方向扩展。其中一个变体是对偶Brunn-Minkowski理论，更准确地说，该理论并非基于精确的对偶性，而是基于所谓的“概念对偶性”。因此，正确的“双重”概念并不总是容易找到的。本文成功地建立了经典曲率测度的满意对偶，然而，在“对偶”对应成为完美的形式类比之前，必须首先通过逆径向映射将其转换为单位球面。与经典情况惊人的相似，作者通过局部Steiner型公式引入了对偶曲率测度和对偶面积测度。对偶面积测度是径向函数幂的（球面）积分；从启发式角度来说，双曲率度量是在径向和高斯映射的组合下对这些度量的图像度量。证明了对偶曲率测度的弱连续性和估值性质。有点令人惊讶的是，对偶曲率测度的特殊情况是锥体积测度，以及极体的Aleksandrov积分曲率。结果表明，对偶曲率测度可以看作对偶槲质积分的微分。通过建立Aleksandrov变分公式的对偶推广，证明并扩展了这一点，其中涉及Wulff形状及其极点。这也包括Aleksandrov经典变分引理的一个新的证明，没有对混合体积使用不等式。本文的主要结果是Minkowski型存在定理，给出了单位球面上的偶Borel测度是原对称凸体的第k个对偶曲率测度的充分条件。该证明基于最大化问题，需要精确估计；为了证明它有解，需要对称性假设。对于锥体积测度，充分条件包括一些子空间集中性质；本文不讨论这些条件的一般必要性。审核人：罗尔夫·施耐德（弗莱堡i.Br.） 引用于6评论引用于136文件 MSC公司： 52A20型 \（n\）维的凸集（包括凸超曲面） 52A38型 长度、面积、体积和凸集（凸几何方面） 35J20型 二阶椭圆方程的变分方法 52A40型 凸几何中涉及凸性的不等式和极值问题 关键词：对偶Brunn-Minkowski理论;双重槲皮素积分;对偶曲率测度;Wulff形状;Aleksandrov变分引理;锥体积测量;Aleksandrov积分曲率;表面积测量;\（L_{p}\）-Minkowski问题;对数Minkowski问题 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{Y.Huang}等人，《数学学报》。216，No.2，325--388（2016；Zbl 1372.52007） 全文： 内政部 参考文献： [1] Aleksandrov，A.D.，《凸体混合体积理论》。三、 将Minkowski关于凸多面体的两个定理推广到任意凸体。Mat.Sb.，3（1938），27-46（俄语）；Aleksandrov，A.D.的英文翻译，《精选作品》，第1部分，第4章，第61-97页，Gordon and Breach，阿姆斯特丹，1996年·Zbl 1040.53089号 [2] Aleksandrov，A.D.，关于凸体的面积函数。Mat.Sb.，6（1939），167-174（俄语）；Aleksandrov，A.D.的英文翻译，《精选作品》，第1部分，第9章，第155-162页，Gordon and Breach，阿姆斯特丹，1996年 [3] Aleksandrov，A.D.：具有给定积分曲率的凸面的存在性和唯一性。多克。阿卡德。诺克SSSR 35，131-134（1942）·Zbl 0061.37604号 [4] Alesker，S.：凸集上的连续旋转不变估值。数学年鉴。149, 977-1005 (1999) ·兹比尔0941.52002 ·doi:10.2307/121078 [5] Alesker，S.：用P.McMullen猜想的解描述凸集上的平移不变估值。地理。功能。分析。11, 244-272 (2001) ·兹比尔0995.52001 ·doi:10.1007/PL00001675 [6] Alesker，S.：连续多项式估值的乘法结构。地理。功能。分析。14, 1-26 (2004) ·Zbl 1072.52011年 ·doi:10.1007/s00039-004-0450-2 [7] Alesker，S.、Bernig，A.、Schuster，F.E.：平移不变估值的调和分析。地理。功能。分析。21, 751-773 (2011) ·Zbl 1228.53088号 ·doi:10.1007/s00039-011-0125-8 [8] Andrews，B.：高斯曲率流：滚石的命运。发明。数学。138, 151-161 (1999) ·Zbl 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